常微分方程中常數變易法的推廣解析

賈永興

【摘要】常微分方程是高等數學中非常重要的一個構成部分，而常數變易法則也是求解線性微分方程一種極為有效的方法.文章以常數變易法在常微分方程中的運用為前提，進行了深入分析，并提出了幾點建議，希望能夠為這方面研究提供有價值的參考.

【關鍵詞】常微分方程；常數變易法；推廣；高等數學

所謂常數變易法，即求解微分方程的一種特殊且有效的方法，基于一些特定條件，對微分方程進行求解，十分簡便.而常微分方程作為高等數學中一個非常重要的構成部分，運用常數變易法進行求解，也是其中最為有效的一個方法.加之常微分方程與生活實際聯系比較緊密，所以在求解方面也具有一定的簡便性.然而當前階段對常微分方程進行求解時，對于常數變易法的運用依然存在誤區，基于此，本文重點對其進行了分析.

一、常數變易法與常微分方程概述

在數學領域，常微分方程是實際應用最為普遍的一種數學形式，對一階線性常微分方程進行求解的過程中，應用最廣泛的則是常數變易法[1].常數變易法即將一階齊次線性微分方程通解所包含的常系數進行變易，使其成為待定函數，以此對一階非齊次線性微分方程解進行明確.關于常微分方程，一般學習過中學數學的人都比較熟悉這一數學內容，初等數學范疇內已經包含比較多的方程形成，例如，線性方程、指數方程、對數方程、二次方程等，這些方程中的共同點是將研究問題內已知數與未知數存在關系進行確定，并且列舉出不同數量的方程式，進而對其進行求解[3].

二、常微分方程中常數變易法的運用與推廣

（一）運用于伯努利方程

對伯努利方程進行求解，首先要將其轉化成為線性方程，隨后按照現行方程的求解方法進行求解，除此之外，也能夠語言常數變易法對其進行求解.

（二）運用于二階常系數非齊次線性微分方程

運用常數變易法進行二階常系數線性方程的求解，體現了十分顯著的優勢，比如，無須求解非齊方程特解，僅需求解一個與齊次方程相關的基本解組便可，以此便可以通過方程求解得出通解公式.

所謂二階常系數非齊次線性微分方程基本形式如下：y″+py′+qy=f（x） ①，這一方程所對應的其次方程是y″+py′+qy=0 ②，而方程②特征方程是r2+pr+q=0 ③，實際求解時，需要按照方程中實根與復根的實際情況，進行詳細考慮，主要包含以下幾種情況：

三、結束語

綜上所述，常微分方程作為高等數學中的一個非常重要的組成部分，對其進行求解一直以來是專家研究的主要部分，而使用常數變易法對其進行求解，也是諸多求解方法中最為常見的一種，通過使用常數變易法，能夠提升常微分方程解的準確性，以此為常微分方程研究貢獻力量.

【參考文獻】

[1]郭曉曄.求解三階非齊次線性微分方程的常數變易法[J].齊齊哈爾大學學報（自然科學版），2017（2）：92-94.

[2]于亞峰.n階非齊次線性微分方程的常數變易法[J].貴州師范大學學報（自然科學版），2015（6）：83-86.

[3]王奕挺，胡良根，張曉敏.常數變易法的探究式教學研究[J].高等數學研究，2015（3）：7-9.

[4]楊秀香.微分方程中常數變易法的應用[J].渭南師范學院學報，2016（8）：9-13，30.endprint