“紅包派發”所引出的風險問題和統計檢驗方法分析

吳京洪++孫紀濤

【摘要】本文針對近幾年出現的搶紅包熱潮，運用統計檢驗分析方法對現實生活中紅包和抽獎問題涉及的概率論原理進行研究.針對某金融基金管理公司M采取兩種獎金派發模式：一種是抓鬮模式，另一種是領獎模式.通過相關數據分析，得出了獎金的分布情況，引出了統計假設檢驗.建立近似于正態分布的泊松分布模型和兩個正態總體的假設檢驗.

【關鍵詞】風險決策；泊松分布模型；統計檢驗；期望；假設性檢驗

【基金項目】國家自然科學基金（11371230）；山東省自然科學基金（ZR2012AM012）.

一、引 言

2014年年初，微信紅包橫空出世，隨后是支付寶紅包、騰訊QQ紅包等.因此，微信群和QQ群每逢節假日或者聚會活動等，大家爭先恐后搶紅包，派發紅包，特別是在春節等重要的節假日，成為全民參與的游戲，這就是每年春節期間的紅包大戰.微信紅包功能是對現實生活中真實紅包的擬物設計，而開發的隨機紅包又將“抽獎”與“紅包”相結合.而紅包和抽獎本身就是大家喜聞樂見的游戲玩法，微信紅包將其電子化，沒有距離和空間的約束，千里之外可以參與游戲，為其廣泛性和便捷性帶來了堅實的基礎.

二、問題的提出

每到年終，許多公司為員工發年終獎的時候選擇各種獎金派發模式.這里我們假設選擇兩種最常見的方式：一種是隨機抓鬮模式，另一種是領獎模式（30萬元）.下面我們對其涉及的概率論、統計分析、假設檢驗和風險評估等問題進行理論研究.

研究的問題：

問題1 若核心員工A對待風險持中立態度，既不回避風險，也不主動追求風險.不管風險狀況如何，預期收益的大小是他們選擇資產的唯一標準，這是由于所有相同預期收益的資產將給他們帶來同樣的效用.我們要用概率論相關知識計算出期望值來判斷A員工的決策.

該員工為風險中立者，核心員工A對待風險的態度是中立的，他的選擇取決于若采取抓鬮方式他所能獲得獎金的數學期望與不進行抓鬮所獲得的30萬元獎金的比較.若數學期望高于30萬元，員工A將會采取抓鬮方式，否則不采取.

問題2 若核心員工B選擇抓鬮模式，他在箱子中抽獎，在這種情況下他獲得的錢數小于等于30的概率是多少（即他承擔的風險），運用相關知識判斷他獲得總獎金的概率分布是什么.

核心員工B采取抓鬮方式，他所承擔的風險可以理解為抓鬮所得的獎金額小于30萬的概率，對于他所獲得的總獎金的可能取值，首先通過Excel將0.1至10共100個數據列出，應用隨機求和函數進行隨機抽取其中的6個數并加和的運算.從而得到一組新數據，該數據即為6張獎券的總金額的可能取值.求取總金額的方式可應用MATLAB軟件、SPSS軟件或Excel，也可以通過C-Free編程得到.對于所求得的表示獎金總金額的新數據，通過Excel生成頻率分布直方圖，可以清晰直觀地看出這組數據的特點及分布情況.對于該員工總金額的概率分布情況，用上述求得的獎券金額的數據，應用MATLAB軟件中的畫圖程序，畫出概率分布圖，從而可直觀地得到該員工所獲得的獎金的概率分布情況.

問題3 該公司派出一些員工到哈佛大學金融學進修，用抽樣調查來獲得數據，運用假設性檢驗的方法來判斷進修的員工業績是否有顯著性提高，并以此次數據假設性檢驗得到的結果決定是否應該繼續派遣員工到哈佛大學金融學進修.

對于員工進修項目能否提高員工業績以及是否應繼續實施的問題.通過數據可知，接受培訓的員工的業績的均值，記為X1；未接受培訓的員工的業績的均值，記為X2.可求接受培訓的員工的業績的方差，記為S21；未接受培訓的員工的業績的方差，記為S22.由其概率分布，在給定的顯著性水平下，應用統計假設檢驗方法得出結論.

三、模型的建立與求解

我們做出如下假設：

（1）抽樣調查獲取的數據準確且能夠對總體做出預測.

（2）一個員工抽取的各種結果相互獨立且服從員工一次抽取各種情況概率相等的古典概型.

（3）員工抓鬮獲得總獎金的概率分布是泊松分布.

統計檢驗方法概述：以小概率為標準，對總體參數或分布形式所做出假設進行判斷.基本思路如下：

（1）提出原假設與備擇假設.結合實際問題背景，一般原假設為零假設或無效假設，備擇假設為期望出現的結論.再根據備擇假設選取單雙側檢驗.

（2）構造檢驗統計量.

（3）根據顯著性水平確定拒絕域.

（4）計算檢驗統計量樣本觀測值.

（5）如果樣本觀測值落入拒絕域，就拒絕原假設，接受備擇假設；反之，則不否定原假設.

適用性條件：樣本總體服從正態分布或樣本容量較大時，也可能產生兩類錯誤，可以通過增加樣本容量，盡量控制兩類錯誤.

Z=X1-X2-（μ1-μ2）S21n+S22m.

（一）針對問題1模型的建立與求解

根據古典概型可以列出員工抓鬮獲得的總錢數，利用概率論知識求得期望E（X）=∑XiPi=30.3.結論1：E（X）=30.3>30，根據所求得數據，該核心員工抓鬮獲得的預期收益比確定的領獎方式獲得的收益大，他會選擇抓鬮的方式來確定他獲得獎金的多少.

（二）針對問題2模型的建立與求解

收益與風險是相對應的，也就是兩者是相伴而生的.正所謂“高風險，高收益；低風險，低收益”.若核心員工B采取抓鬮模式會帶來兩種結果：（1）核心員工B所獲得的獎金大于等于確定的獎金；（2）核心員工B獲得的收益小于確定的獎金額.第二種情況就是核心員工采取抓鬮模式所帶來的風險.根據概率求解公式P=具有某種屬性特征的個數總體的個數=4797≈0.485.由計算的數據可得核心員工B采取抓鬮模式需承擔的風險是48.5%.

由于泊松分布P（X=k）=e-λλkk！描述的是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率.對于單位時間內隨機事件發生的次數可以由泊松分布來描述.當λ大的時候泊松分布與正態分布接近（見下圖）.結論2：由下圖可以看出，核心員工采用抓鬮模式獲得的獎金服從泊松分布.endprint

（三）針對問題3，假設檢驗和統計推斷

假設檢驗是統計推斷的另一重要內容，其目的是比較總體參數之間有無差別.實際中多數情況是用樣本數據去推斷總體.對于該樣本的假設檢驗，要進行參數假設檢驗.根據樣本數據，對原假設是否成立做出判斷.原假設是否成立做出的判斷是“小概率原理”，如果在原假設成立前提下，在一次觀察中小概率事件發生了，則認為原假設不正確，予以否定；反之，如果小概率事件沒有發生，則不否定原假設.由隨機抽取的樣本數據，利用上述概率分布進行統計檢驗，應用兩正態總體的假設檢驗得出進修項目是否提高員工業績.

從上表可以看出未接受培訓員工創造平均業績小于接受培訓員工創造平均業績.μ1：接受培訓的員工平均業績；μ2：未接受培訓員工平均業績；n=4，m=8.

（1）建立原假設和備擇假設.H0：μ1≤μ2，H1：μ1>μ2.

（2）構造Z檢驗統計量Z=（X1-X2）-（μ1-μ2）S21n+S22m.

（3）在顯著性水平α=0.05下，根據備擇假設，選右側檢驗Zα=1.645，拒絕域[1.645，+∞）.

（4）檢驗統計量的樣本觀測值Z=X1-X2S21n+S22m=11.112 58.514 057 5≈1.305 1.

（5）Z=1.305 1

結論3：由近似方法得出進修員工平均業績高于未進修員工平均業績.由上述統計檢驗結果，因為樣本數據太少，不能認為接受培訓員工的平均業績高于未接受培訓員工的平均業績.

四、結 語

通過理論分析，獲得如下結論：

（1）該核心員工抓鬮獲得的預期收益比確定的領獎方式獲得的收益大，他會選擇抓鬮的方式來確定他獲得獎金的多少.

（2）核心員工采用抓鬮模式獲得的獎金服從泊松分布.

（3）進修員工平均業績高于未進修員工平均業績.

因此，在派發紅包時，不論是從預期收益還是游戲樂趣，不論是派發紅包的人還是搶紅包的人都樂于選擇隨機派發，而不是均等派發.

【參考文獻】

[1]吳建國.數學建模案例精編[M].北京：中國水利水電出版社，2005.

[2]姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，1983.