淺析變量替換在高等數(shù)學(xué)中的典型應(yīng)用

梁月亮+續(xù)曉欣

【摘要】定積分的計(jì)算、二重極限的計(jì)算、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及微分方程的求解是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，這些內(nèi)容既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).本文結(jié)合作者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生的探討總結(jié)，將變量替換的簡(jiǎn)單應(yīng)用做了典例分析，希望能對(duì)理工科學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】定積分；二重極限；微分方程

【基金項(xiàng)目】資助項(xiàng)目：中北大學(xué)教學(xué)教育改革項(xiàng)目。

文獻(xiàn)[1-2]通過具體例子說明了變量替換在不定積分計(jì)算方面的廣泛應(yīng)用.本文作者通過典型例題分析了變量替換在定積分的計(jì)算、二重極限的計(jì)算、變限積分函數(shù)的求導(dǎo)，以及微分方程的求解等方面的廣泛應(yīng)用.以下例題是筆者在高等數(shù)學(xué)授課過程中學(xué)生們經(jīng)常遇到的問題.

一、變量替換在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

所給定積分按照（分部積分等）常規(guī)思路很難解決，但是通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q問題就變得很簡(jiǎn)單.事實(shí)上，在證明定積分“偶倍奇零”時(shí)就是通過做變量替換t=-x獲證的.

二、變量替換在二重極限計(jì)算中的應(yīng)用

變量替換除了在一元函數(shù)定積分的計(jì)算中表現(xiàn)出很重要的地位，同時(shí)在計(jì)算函數(shù)極限時(shí)有時(shí)也會(huì)突顯其作用，有時(shí)甚至可以將二元函數(shù)的極限問題簡(jiǎn)化，即將二元函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)的極限問題.

三、變量替換在偏微分方程求解中的應(yīng)用

變量替換除了在計(jì)算函數(shù)極限與積分時(shí)用來簡(jiǎn)化問題之外，在求方程解時(shí)，往往也通過變量替換來化簡(jiǎn)方程.大家熟知的伯努利方程就是通過變量替換z=y1-n化成一階線性非齊次方程后進(jìn)而求出其通解的.事實(shí)上，在偏微分方程的求解過程中，變量替換也會(huì)起到關(guān)鍵作用.

四、變量替換在偏微分方程求解中的應(yīng)用

即便是大家熟知的比較簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo)問題，有時(shí)也有必要通過做相應(yīng)的變量替換來化簡(jiǎn)問題.特別是被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)的變上（下）限積分函數(shù)的求導(dǎo)問題，往往需要通過變量替換來計(jì)算.

【參考文獻(xiàn)】

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