冪級數在多復變函數論中的一個推廣

金帥+毛奕岑

【摘要】復變函數中研究解析函數主要有兩種方法：一個是由Cauchy提出的積分表示方法，另一種是由Weierstrass提出的冪級數方法.冪級數方法是研究解析函數的一種重要方法，是復變函數論中的主要內容.本文將單復變解析函數的冪級數展式在多復變的乘積域中做了一個簡單的推廣，成為研究多復變全純函數的一個重要工具.

【關鍵詞】冪級數；多復變函數；全純函數；Cauchy積分公式；一致收斂

【基金項目】廣東科技學院科研項目（GKY-2016KYYB-15）.

一、引 言

復變函數主要包含三個方面的內容：Cauchy積分定理、Weierstrass冪級數定理以及Riemann映射定理.其中Weierstrass提出的冪級數方法成為研究復變函數的一個重要工具.在單復變函數論中，我們熟知如果一個函數在某一點解析，那么它一定可以在這一點的某個鄰域展成冪級數[1]-[3].這是單復變函數論中解析函數的一種等價描述.多復變函數是單復變函數在多維情形的一種推廣，但性質卻發生了很大的變化，例如，多復變函數論中比較經典的Poincare定理和Hartogs延拓定理[4].在本文中，我們將把單復變解析函數的冪級數展式推廣到多復變乘積域的情形，得到了全純函數在乘積域的冪級數展式.

二、冪級數的一個推廣

在這里，我們先介紹多復變函數論的一些基礎知識[5].

三、結 論

本文主要利用單復變函數論的Cauchy積分公式與冪級數展式等工具，給出了多復變全純函數在乘積域上的冪級數展式，使之成為研究多復變全純函數的一個有效工具.

【參考文獻】

[1]譚小江，伍勝健.復變函數簡明教程[M].北京：北京大學出版社，2006：48-86.

[2]龔升.簡明復分析[M].北京：北京大學出版社，1996：16-28.

[3]劉燈明.解析函數泰勒展開的一種新方法[J].長春師范大學學報（自然科學版），2016（4）：4-7.

[4]涂振漢.多元復分析[M].北京：科學出版社，2014：19-50.

[5]蕭蔭堂，陳志華，鐘家慶.多復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2013：1-8.endprint