Bayes理論在雷達探測距離評估中的應用*

王軍東

(中國飛行試驗研究院，陜西 西安 710089)

0 引言

機載火控雷達探測距離是機載火控武器系統重要性能指標之一，也是全機系統定型試驗中必須驗證考核項目，在以往型號試驗項目當中，通常雷達探測距離試飛是試驗周期長，需要的人力、物力多的試驗項目之一。按照國軍標要求，為得到置信度較高的試驗結果，進入定型試驗階段后，通常試驗項目需進行多次重復，從而不可避免地導致了試驗周期長、試驗成本高等問題，同時也給試驗的組織、協調和實施帶來了極大難度。也有一些試驗總共采集11組數據，將所得數據進行排序，按統計學中P分位數法給出試驗結果，該方法雖簡單便捷，但是樣本量少，導致置信概率偏小[1]，可信度不高。

為了解決這些實際問題，需要對現有火控雷達探測距離的試驗評估方法進行優化和改進，探索出一種合理的試驗方法。要求評估結果可信，同時在定型試驗中盡量減少飛行試驗架次，小樣本 Bayes 方法可以滿足試驗需求[2]。近年來，國內相關領域的學者和工程技術人員，從理論到工程應用方面，特別在武器裝備可靠性、維修性和測試性試驗領域，對Bayes小樣本理論方面作了大量的研究，并已取得了很好的成果[3-9]。

在火控雷達探測距離的試驗中同樣適用。通過利用先驗信息，使得試驗樣本總量保持在一定數量。Bayes方法在利用定型階段試驗所獲得的樣本信息的同時，還充分利用了先驗信息。在定型試驗之前，通過對試驗過程中所獲得的先驗數據進行分析和決策，使得先驗數據的部分或全部參與總體性能的估計[10-13}，同樣可達到相同的試驗目的，使得定型階段所需的樣本數目將大為減少，從而能夠有效地縮短試驗周期，提高試驗效率，降低試驗成本。

1 Bayes 驗前信息分析

Bayes 方法是目前解決小樣本問題的主要方法，在保持檢驗精度不變的前提下對定型試驗階段試驗樣本量的要求相比原始方法要小。由于在開展定型試驗之前，已經得到了一些驗前信息，該驗前信息可以彌補定型試驗信息的不足。Bayes 小樣本統計推斷方法就是驗前信息的獲取和處理。在定型試驗中，應用 Bayes 方法來對試驗結果進行統計推斷，一個重要的環節是必須充分利用驗前信息，即在應用當前定型試驗信息的同時，還必須考慮其他試驗信息的充分利用，包括前期研制試驗中的部件試驗、分系統試驗、系統鑒定試驗等信息，只要驗前信息的獲得接近實際試驗條件，則大部分驗前信息都可以收集、分析、處理和利用。

火控雷達在進行系統定型試驗前，通常要進行設備級、分系統級等大量的研制試飛，最后才進入系統設計定型階段。按照研制試飛過程特點，雷達探測威力通常是研制階段首先要摸清的性能，在設備級和分系統級研制試飛階段已經得到了大量探測距離試驗信息。因此，調整試飛階段的探測距離信息都是寶貴的驗前信息，經過分析整理，完全可以應用到定型信息當中。這樣雷達探測距離的考核就得到了較多的驗前信息量，可以補充到定型試驗信息當中，增加定型試驗樣本。

2 驗前信息的應用

根據數理統計原理，雷達探測距離的 Bayes 估計問題就是有定型試驗樣本(Rfi，1≤i≤n1)和定型之前所得試驗樣本(Rsi，1≤i≤n2)，即調整試驗樣本，2個樣本分別來自正態母體，如何估計定型試驗總體分布的分位點。要解決此問題，首先要解決如何估計均值和標準差。首先，如果知道兩母體分布無差異。則把調整試驗樣本合并到定型試驗樣本中，用合并樣本均值和標準差(即完全合并均值和標準差估計) 作估計，這將很好地改進只用定型試驗樣本信息作出的估計。可實際上，從工程概念上兩母體肯定是有聯系，但不能確定兩母體是否有差異，差異有多大。另外，如果兩母體有比較顯著的差異，那么無疑用合并均值和標準差作估計，其估計精度會很差。在這種情況下，就需要一種檢驗方法，就是用一個檢驗統計量檢驗兩母體是否有顯著差異，如果不顯著，則用完全合并均值和標準差估計，否則，通過對驗前信息調整試驗樣本進行分析整理，利用調整試驗樣本提供的信息，避免了只用定型試驗樣本的樣本均值和標準差作估計樣本量太少問題，或者對調整試驗提供的樣本信息全用或不用的錯誤估計。在實際應用當中，兩母體肯定會有差異，比較合理的辦法就是根據檢驗統計量，使用調整試驗樣本中部分(或全部)數據。

2.1 均值對比法檢驗驗前樣本

零假設H0：μs<μf，備擇假設H1：μs≥μf

檢驗步驟如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

第2步：計算自由度

ν1=n1-1，ν2=n2-1.

第3步：給出顯著性水平α，分別用ν1,ν2查T分布分位數表，得到tα(ν1)和tα(ν2)值，并用式(5)計算：

(5)

第4步：計算統計量T的值

(6)

第5步：判斷檢驗結果。

若T>Tα，則拒絕H0，即認為調整試驗樣本數據可以直接利用；若T≤Tα，則不能拒絕H0，不能直接將調整試驗樣本數據合并到定型試驗樣本當中。

2.2 驗前樣本的剔除-逆序減尾檢驗法

若以上對比檢驗結果為T≤Tα，則驗前樣本不能全部利用，部分驗前樣本需要剔除。當然，對樣本的剔除不能簡單地剔除大值或小值。對于定型試驗設備而言，試驗設備的各項性能，通常會隨著試驗時間的推移，性能慢慢更趨于穩定，因此，越接近定型階段所得的驗前樣本，更能反映設備的工作性能。鑒于此，提出了采用“逆序減尾檢驗法”，剔除部分驗前試驗樣本，將其余部分驗前試驗樣本合并到定型試驗樣本當中，來完成總體分布的估計。具體方法如下：

假設開始所得驗前試驗樣本為Rs1，Rs2，…，Rsn2，試驗樣本排列順序按所得先后進行排列，即Rs1為驗前第1個所得試驗樣本，Rsn2為驗前最后一個所得試驗樣本。通過以上2.1中的檢驗步驟，得到檢驗結果為T≤Tα時，第1次剔除Rs1，用其余n2-1個樣本重復進行2.1中的5步檢驗。若仍不能達到T≤Tα，則繼續將Rs1和Rs22個樣本剔除，依次重復進行檢驗，直到T>Tα為止。再將剩余樣本用于總體分布的估計。

3 雷達探測距離估計

火控雷達探測距離(記作Rmax)，通常是指一定累積概率條件下的檢測距離。雷達檢測目標也是在特定狀態下進行，包括目標的雷達截面積、相對飛行速度和飛行高度，試驗載機的飛行高度等。當載機和目標機以一定距離相互接近過程，機組成員在雷達或戰術臺顯示器上最先發現目標的距離，即判定為本次進入雷達對目標的最大發現距離。重復此動作，即可得到雷達探測距離的一組試驗樣本。

雷達探測距離可定義為試驗最大探測距離R的分布函數的p分位點，即

P(R>Rmax)>1-p.

(7)

假設雷達探測距離的分布為正態分布N(μ，σ2)，如果記Φ-1(p)為正態分布函數Φ(x)的p分位點。則最大探測距離為

Rmax=μ-Φ-1(p)σ.

(8)

因為R的分布類型已知，μ，σ2未知，現對μ，σ2進行估計，按最大似然法，似然函數為

(9)

將其取對數，并令關于μ，σ2的一階導數為0，則得

(10)

(11)

(12)

解此關于μ，σ2方程組得μ，σ2的估計值：

(13)

(14)

為了得到σ2的無偏估計用

(15)

從而得到標準差σ的估計：

(16)

通過以上可得，最大探測距離的估計

S.

(17)

在統計學中，樣本量在10～30之間，通常認定為小樣本，總體為正態分布的處理按小樣本進行統計處理，即利用T分布進行統計處理。文中討論雷達探測距離試驗總樣本量要求小于30，因此，雷達探測距離試驗樣本服從非中心T分布，非中心T分布的密度函數為

-∞

(18)

式中:n為自由度;δ=μ/σ為非中心參數，稱非心度[14]。

式(7)可轉換為

(19)

點tp(n-1)為該T分布的下p分位數。

Φ-1(x)被t1-p(n-1)代換，式(17)可表為

(20)

式(20)中，可通過分位數p值和自由度n-1 值查找T分布分位數表可得。

(21)

4 試驗驗證

通過上述方法，就可得雷達探測距離的 Bayes 估計結果，那么樣本總量達到多少組，才使探測距離的估計精度比較合理？由式(13)和(16)可得探測距離平均值的均方根差為

(22)

令

(23)

圖1 Q 與觀測次數n 的關系曲線Fig.1 Relationship curve between Q and n

雷達最大探測距離是按T分布進行的估計，由于T分布在樣本量達到一定程度后，隨著樣本量的變化，其概率分布曲線形狀的變化相當緩慢，也就是T分布分位數值tp(n-1)的變化很小，在樣本總量大于20以后，分位數值變化相當緩慢[15]，綜合考慮，雷達探測距離統計樣本總量取20組比較合理。下面以試驗數據說明樣本總量取20組的合理性。

該試驗數據為以往雷達對特定目標的23組探測距離數據，數據按試驗先后所得順序排列。數據結果如下,km：

(49.4, 52.8, 46.7, 53.5, 50.8, 39.4, 41.8, 52.6, 43.2, 50.8, 45.2, 44.6, 49.3, 45.5, 48.0, 47.0, 46.5, 48.5, 46.0, 46.5, 49.0, 49.5, 47.5).

對以上樣本數據按式(20)估計最大探測距離，按90%探測概率查T分布分位數表，即下p分位數值為0.10。式(20)中，各變量與樣本量對應計算結果見表1。從表1最大探測距離估計結果可以看出：隨著樣本量n的增加，最大探測距離估計結果趨于穩定，在樣本量大于20以后，最大探測距離估計值變化很小。

表1 樣本量與最大探測距離對應案例Table 1 Case of sample size and maximum detection distance

5 結束語

機載武器裝備定型試驗中，機載火控雷達指標的驗證通常要消耗大量時間，難以滿足目前武器急需裝備的要求，本文對小樣本條件下雷達探測距離的試驗評估進行了探索和研究，對研制試驗階段數據通過分析，實現研制階段試驗信息的綜合利用，從而完成雷達探測距離指標的考核和鑒定，達到減少試驗次數，縮短試驗周期，節約試驗經費，提高試驗效益的目的。

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