Z分數分布理論在教育評價體系中的應用

張志銀 劉丹丹

(1.鄭州升達經貿管理學院基礎部 河南 鄭州 451191；

2.中原工學院理學院 河南 鄭州 451191)

Z分數分布理論在教育評價體系中的應用

張志銀1劉丹丹2

(1.鄭州升達經貿管理學院基礎部 河南 鄭州 451191；

2.中原工學院理學院 河南 鄭州 451191)

本文簡單介紹了標準分數(Z分數)分布理論，并著重論述了標準分數(Z分數)分布理論在教育評價體系中的應用，以使教育評價更為客觀、公平、公正，這對于提高教育評價水平和管理水平有著重要的意義.

標準分數；正態分布；教育評價；應用

1 引言

目前,我國在教育評價方面取得了很大的成績,教育評價理論逐步深化,教育評價實踐活動也廣泛開展.但同時也存在著評價模式呆板單一、評價技術手段水平不高等問題.在教育評價中有許多資料和指標是屬于定性方面的,如工人的工作業績,學生的思想品德,教師的教學水平等,往往以好、中、差或優、良、中或合格、不合格等來劃分.假如教師的教學水平用三個指標(教學能力、教學態度、教學方法)反映,每個指標又分為三等(優、良、中),教師張三的三個指標等級分別為優、良、中,教師李四的三個指標等級分別為中、優、良.試問這兩位教師誰的教學水平更高呢？要回答這個問題，我們面臨這樣一個困難：對這兩位老師評價的指標屬于定性描述或等級化，若僅僅停留在定性描述或等級化，則無法將兩個或多個具有若干定性指標基本相同的個體進行比較.有時候即使對于有些定量的資料和指標,如果不進行技術處理,也很難將兩個或多個具有相同定量指標的個體進行比較.那么，如何將定性指標加以量化或對定量指標進行處理，并盡量地做到評價的合理、公平、公正，是值得深入研究的問題.一方面可以用概率統計中正態分布知識將這些定性描述具體數量化；另一方面，我們努力找到找到一種處理定量數據的方法.為了方面討論問題，下面我給出正態分布的相關知識及標準分數(Z分數)的相關理論。

2 正態分布概述

正態分布是一種連續性隨機變量的概率分布，在其次數分配中，中間的次數多，由中間往兩邊的次數逐漸減少，兩邊的次數多少相等，呈一種“兩頭小、中間大”的分布形態.其標準正態曲線如圖1:

圖1

從標準正態曲線可知，它具有以下特點：

(1)曲線在X=0(即平均數)處為最高點；

(2)曲線以X=0處為中心，雙側對稱；

(3)曲線從最高點向左右緩慢下降，并無限延伸，最后接近基線，但永不與基線相交；

(4)標準正態分布上的平均數為0，標準差為1，基線上從X=-3到X=3幾乎有6個標準差的距離，并且多數數據都集中在平均數附近，具體地說有：

P(-1

P(-2

P(-3

即是說，在平均數上下一個標準差單位范圍內，包含曲線下總體面積的68.26%，在±2個標準差范圍內，包含總體的面積為95.46%，在±3個標準范圍內，包含總體的面積的99.73%.因此，在±3個標準差范圍以外，僅有0.27%的面積，在統計中可以忽略不計.但是，需注意的是，橫軸上的距離相等，因在曲線中所處的位置不同，所包括的面積是不相同的.越離平均數較遠的地方,在其標準差內所包括的面積越少.

3 標準分數(Z分數)概述

在考試中，學生所得分數稱為原始分數.但有時原始分數也說明不了學生的學習好壞.比如,某學生在一次數學考試中得了90分(試題比較容易)，在另一次數學考試中得了75分(試題比較難)，那么試問該學生是進步了還是退步了呢?為了解決這個問題，下面引入了標準分數(Z分數)的概念.

S為原始分數的標準差

Z為標準分數

由概率統計知識可知

(1)

(2)

上述(1)(2)說明標準分數Z這個統計量服從標準正態分布，即Z～N(0,1).

4 標準分數(Z分數)分布理論在教育評價體系中的應用

下面就介紹在幾類教育實踐中用到標準分數(Z分數)分布理論的例子.

4.1 定性指標的比較

對于那些定性的品質資料或質量指標,我們又該怎么辦呢?首先,我們要做的工作是需要將它們量化為標準分數Z.具體做法如下：

(1)算出個體的品質資料或質量指標所得等級在群體中所占的比例,此比例可視為各等級的概率.(給出的各等級的人數應服從或基本服從正態分布).假設

P(優)=a，P(良)=b，P(中)=c，P(合格)=d，P(不合格)=e

這里a+b+c+d+e=1.

(2)作一標準正態曲線的草圖,并大致將正態曲線下圖形的面積從右向左按a,b,c,d,e的次序劃分.如圖2:

圖2 原始分數標準正態曲線圖

(3)由于同等級內也有差異,因此我們把各等級均視為集中在中位點上,找出各等級中位點的標準分數Z來代表各等級的標準分數Z.

由圖2可知

然后根據標準正態分布表可查出Z不合格,Z合格,Z中,Z良,Z優.

4.2 等級評定

在學生成績或能力符合正態分布時,可將正態分布基線上X=-3至X=+3之間六個標準差的距離分成相等的幾份,然后求出各段Z值間的面積,再乘以總人數,即為各等級評定人數.

例如某校初中一年級有學生500人,其數學成績符合正態分布,把學生數學成績定為優、良、中、差四個等級,問各等級內應有多少學生.其確定方法為,將X=-3至X=+3分成四等份,每等份X值為1.5,即如圖4：

圖4

查正態分布表可知,X=3的面積比例P=49.87%,X=1.5的面積比例為P=43.32%，則優等人數面積比例為P=49.87%-43.32%=6.55%.那么,優等人數500×6.55%=32.8人，即該年級數學成績優等生約有33人.

查正態分布表得知，X=1.5的面積比為43.32%,則成績良等者約有500×43.32%≈217人.由于屬正態分布,成績屬中等者與成績良等者相同也約有217人,成績屬差等者與成績優等者相同,也約有33人.

利用正態分布不僅可以根據等級求人數,而且可以估計分數區間的人數.例如,某初中一年級380名學生,數學考試成績平均分為85分,標準差為6,問70-80分之間有多少人？這仍屬求某一段分數區間的概率問題.首先把原分數轉換為Z分數.

然后求-0.83個標準差與-2.5個標準差之間所包含的面積.查表P1=0.2967，P2=0.4938則70-80分之間所含的面積比例為P=0.4938-0.2967=0.1917.故70-80分之間的學生約有380×0.1971≈75人.

4.3 品質評定

品質評定數量化主要用于不同的評價者對評價對象的等級評分,以求得評價對象的平均成績情況.其方法就是把評價者所評定的各等級人數的百分比作為正態曲線下的面積,再以平分每塊面積的Z值(即中位數)作為各等級數量化的分數,最后計算每個評價對象等級的數量化分數.

例如,某校年度考核評優時,學校三位領導對全校40名教師按A、B、C三個等級進行了評定,結果為如表1:

表1

現要從教學實績一樣的甲、乙、丙三位教師中評出兩位優秀,三位領導的評價結果如表2:

表2

試問,應選評哪兩位?由于不同評價者評的等級不同,要選評哪兩位,這類問題就需要把等級數量化.即把評定的等級轉換為標準分數Z.

首先,計算各等級的比率.即用各等級人數除以總人數,并將此數值看作該等級在正態曲線下所占的面積值.

最后,計算等級分數.即用不同評價者所評的等級所對應的值相加并求其平均數,則為各評價對象的等級分數.

那么,甲、乙、丙三位教師的等級數量化分數分別為:

甲教師:[(-1.36)+0.71+(-0.45)]÷3=-0.367

乙教師:[(-0.19)+(-1.44)+0.75]÷3=-0.293

丙教師:[0.98+(-0.42)+(-1.65)]÷3=-0.545

從等級數量化分數比較,-0.293>-0.367>-0.545,所以,學校評優應評乙、甲兩位教師.

這樣,就把定性的評價轉化為定量化的評價,更為客觀、科學、公平、公正.總之,正態分布應用在教育評價實踐中,可以克服許多弊端,使教育評價更加客觀、公平、公正,使教學管理工作更加科學化.數學知識在各個領域有著廣泛的應用,特別是概率統計知識與我們的生活實際密切相關，但這需要我們數學工作者不斷地努力探索。

[1] 馬忠林.數學教育評價[M].南寧:廣西教育出版社,1999.

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[4] 侯風波.經濟數學基礎[M].北京:科學出版社,2005.

[5] 王漢瀾.教育統計學[M].北京:教育科學出版社,1986.

[6] 楊鳳英.淺析運用學生成績評價教師的利弊與注意事項[J].教學與管理,1997,(12).

[7] 孫益領.教職工成績評估辦法的改革嘗試[J].教學與管理,1997,(10).

張志銀(1983-)，男，漢族，河南鹿邑人，講師，碩士，鄭州升達經貿管理學院基礎部，研究方向：從事大學公共數學教學等方面的研究；劉丹丹(1984-)，女，漢族，河南鹿邑人，講師，博士，中原工學院理學院，研究方向：從事大學物理教學及原子與分子物理等方面的研究。

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1672-5832(2017)12-0106-02