三角代換積分法教學體會

張奕河

摘 要： 針對學生在學習第二換元積分法中的三角代換法遇到的困難，本人在教學中，從學生比較熟悉的直角三角形入手，先構造輔助直角三角形來破解這一難點，化難為易，便于學生理解和掌握。從教學效果來看實用且有效。

關鍵詞： 換元；積分法；三角代換

換元積分法中的三角代換是積分學的難點，由于高中階段對同角三角函數關系等知識要求的削弱，大多數學生反映難以理解和掌握，感覺無從下手。讓數學基礎不好的高職學生記住三種根式對應的換元絕非易事，很多同學一開始就選擇“知難而退”，作業靠抄襲應付。針對學生學習遇到的問題，本人在教學中，從學生比較熟悉的直角三角形入手，先構造輔助直角三角形來破解這一難點，化難為易。從教學效果來看有效且實用。

一、構造輔助直角三角形的方法、步驟。

1、以 為三邊構造直角三角形，若x為直角邊，則角t的對邊選x，若x不是直角邊，則角t的對邊也要選含x（即 ）。

2、利用輔助直角三角形可以得出 的三角函數式和 的三角函數式，從而得出換元的表達式和去根式的結果。

二、應用舉例

例1 求 。

解：由知 ，x和 為直角三角形的直角邊，2為斜邊，構造如圖1所示的直角三角形，由圖知

例2 求 。

解：由知 ，3和 為直角三角形的直角邊，x為斜邊，構造如圖2所示的直角三角形，由圖知

由輔助直角三角形，可以直接得出被積函數

于是

例3 求 。

解：由知 ，x和a為直角三角形的直角邊， 為斜邊，構造如圖3所示的直角三角形，由圖知

由輔助直角三角形，可以直接得出被積函數

于是

歸納、總結可以發現當換元表達式為x=a sec t，則根式化簡后為a tan t。反之，當換元表達式為x=a tan t，則根式化簡后為a sec t。

三、小結

積分學是求導、求微分的逆運算，比較抽象和復雜，而三角代換換元積分法又是難中難，學生在學習這一部分內容感覺阻力大，有畏懼感。通過先構造輔助直角三角形，讓學生比較直觀理解和掌握換元的思路，找到解題的門路，使學生能獨立完成練習和作業，讓學生有收獲感，激發學生學習樂趣，提高學習能力。endprint