高速變焦液體透鏡理論建模與分析

摘要：本文針對固著液滴進行了理論建模分析，通過利用Rayleigh液滴模型進行理論建模，并且應用Matlab軟件對理論建模方程進行擬合求解，得出了凸出球冠的高度對透鏡固有頻率影響關系以及液滴透鏡的質心運動規(guī)律。通過對液體透鏡理論建模和擬合分析結果，為進一步分析液體透鏡的動力學特性提供了詳細的理論指導。

關鍵詞：液體透鏡；Rayleigh液滴模型；動力學分析；Matlab擬合

1.介紹

隨著社會的發(fā)展，通過改變液滴表面曲率或多種液體的交界面曲率達到改變焦距的液體變焦透鏡[1]逐漸走入了人們的視野之中，其中利用聲學激發(fā)液滴自振來改變液滴表面曲率的方式更是成為大大提高液體透鏡拍攝速度的最具有前景的方法之一[2]。因此，研究液體透鏡的理論建模及其工藝方法具有至關重要的工程應用意義。

本文對基于高頻聲波驅動的高速變焦液體透鏡進行研究，主要研究了高速變焦液體透鏡的理論建模過程，結合Matlab軟件對理論建模方程進行仿真擬合，研究液體透鏡的質心振蕩規(guī)律和工藝影響參數(shù)。

2.高速變焦液體透鏡理論建模

2.1 液滴固有頻率理論方程

目前，研究液滴的振動在流體力學中成為熱門的研究方向，其中Lord Rayleigh在1879推導出非黏性液滴子在無束縛的情況下，微小振幅振動時的固有頻率和振型[3]。液滴固有頻率公式為：

（2.1）

公式中， 表示表面張力系數(shù)， 分別表示液滴內外側的液滴密度，表示球形液滴曲率半徑。勒讓德多項式（ ）可以用來表示液滴在徑向方向的變形。

假定凸出球冠表面曲率半徑是R、液體內部為無旋流動、同時液體具有非黏性以及不可壓縮。由于液體透鏡可注入液體體積量極其微小，重力對液體初始和工作狀態(tài)的影響很小，在理論分析中做忽略考慮，同時液體透鏡為對稱結構。

2.2液滴動力學方程

圓柱管道內液滴上下對稱振動過程中，球冠曲率變化趨勢呈線性變化，假定f為球冠表面曲率，則f與液滴在徑向方向的速度可表示：

（2.2）

假定透鏡圓形孔周圍為 。因為透鏡基板的材料選用聚四氟乙烯，因此在孔的周圍具有好的疏水特性，即透鏡周圍區(qū)域速度是零，其方程為：

（2.3）

2.3液滴的邊界條件

球冠液滴里面、外面的壓力的差值以及表面張力使液體透鏡處于穩(wěn)定狀態(tài)，另外，pi、pe的差值和球冠的表面半徑為反比。則球冠的pi、pe可用伯努利方程表示：

其中， 表示球冠表面局部的變形曲率[4]：

由于液體的體積不變和液體不可壓縮，因此球冠的振動可用方程（2.11）表示：

（2.6）

3.高速變焦液體透鏡的理論模擬分析

通過以上公式推導及計算，可以求解出液體透鏡的質心變化量、共振頻率的大小、振幅大小等參數(shù)的關系，并擬合參數(shù)變化曲線。由液滴固有頻率公式2.1可以看出，由液體體積不變以及平移不變性能夠得出，當n=1時，即液體1階共振頻率是0。Strani和Sabetta通過理論推導及實驗分析，驗證了當n=1時，液體透鏡呈現(xiàn)質心的簡諧運動，并通過假設求出固有頻率。本文中，假設透鏡上下球冠與基板的接觸面為一個點時，液體透鏡固有頻率基本符合瑞利理論模型。圖2.3即為運用MATLAB軟件對式（2.6）擬合后的曲線。

上圖直線是相對應每一階的瑞利固有頻率，并用R表示，如圖2.3所示。根據圖2.3所示，可以看出時，呈現(xiàn)完全不同的規(guī)律，并且具有明顯的周期規(guī)律。其中在n=2、n=3階可以發(fā)現(xiàn)固有頻率最大值出現(xiàn)在附近；在n=4階可以發(fā)現(xiàn)液體透鏡在μ=0.4和μ=0.7附近時會出現(xiàn)兩個不同的固有頻率。另外從圖2.3可以發(fā)現(xiàn)液體透鏡理論模型最大變焦速率可達275Hz。但從圖可知，在五階模態(tài)時候，振動劇烈，球冠表面會出現(xiàn)多個頂點[5]-[6]，對后續(xù)的成像檢測沒有研究意義，因此后面把研究重點放在分析1-4階模態(tài)上。

4.結論

通過建立的高速變焦液體透鏡理論數(shù)學模型，并提出采用計算質心改變量以及液體球冠的振幅變化量的和對球冠表面頂點的位移改變量的公式進行推導。本章采用此方法把高速變焦液體透鏡的共振頻率和聲源激勵頻率結合起來，模擬凸出球冠的高度與液滴固有頻率之間的關系曲線。得出采用增大球冠高速或者減小圓孔直徑的方法提高變焦液體透鏡的固有頻率，通過采用外界聲源激勵可以達到高速變焦液體透鏡的固有頻率，并基于共振原理進行液滴動力學實驗。由于本章理論分析中簡化了一定的參數(shù)，在高階次會存在較大的偏差，本文對于液體透鏡的理論建模方法僅局限于低階次模態(tài)分析，在高階次模態(tài)中液體面形振動將比較劇烈。

參考文獻

[1] Gan Yu， Xiaolin Chen， and Jie Xu .Acoustophoresis in Variously Shaped Liquid Droplets[J].Mechanical Engineering， Washington State University， Vancouver， WA， 98686， USA.

[2] L. Rayleigh， On the capillary phenomenon of jets[J] Proc. R. Soc. London. 1879， 29， 71.

[3] Bostwick J B，Steen P H.Coupled oscillations of deformable spherical-cap droplets. Part 1. Inviscid motions[J].Journal of Fluid Mechanics，2013，714：312～335

[4] 鄢振麟，解文軍，沈昌樂等.聲懸浮液滴的表面毛細波及八階扇諧振蕩[J].物理學報，2011，06：414～420

作者簡介：

王子濤（1992—），男，漢族，河北唐山市人，機械碩士，單位：長春理工大學，專業(yè)：機械工程，研究方向：精密、超精密加工。