推廣應用MM方式（下）

摘 要：全文分兩大部分，一是“數學方法論的數學教育方式”（MM方式）簡介，包括基本觀念與時代價值；二是推廣應用MM方式，把提升中小學數學教師核心素養的培訓工作落實在課堂。因為MM方式充分揭示了數學核心素養的深刻內涵與豐富外延，培養和造就一支既能勝任教學又能從事科研的數學教師隊伍，是踐行MM方式的一大目標，MM方式在中小學數學教學中大有用武之地。

關鍵詞：MM方式；中小學數學教師培訓；數學核心素養

中圖分類號：G451. 文獻標識碼：A 文章編號：095-5995（018）04-0053-04

3.MM方式的社會評價與比較研究

江漢大學鄭隆炘教授曾指出：“在我發表過的論文中，曾有不下于10次提到推廣應用MM方式的問題”，他還指出：“MM方式重視科學與社會文化素養與數學品質，從某種程度上講，比問題解決層次更高，也符合我國基礎教育開展全面素質教育的要求。問題解決比起數學方法論來說，覆蓋面要小一些，在這個意義上講，實踐MM方式更有普遍意義。”《數學教育學報》雜志原常務副主編張國杰教授在給其雜志“MM教育方式”專欄所撰寫的按語中指出：“一個數學教育改革實驗能夠做到學生愿接受，老師可創新，家長不反對，領導也支持，無疑是它強大生命力的反映……人們當然要認真思索：這生命力究竟源于哪里？” 江西省初等數學研究會理事長、贛南師范學院數學系熊曾潤教授指出：“MM方式既符合數學思維的規律，又符合數學教育的規律，必將顯示出強大的生命力！此項實驗的意義，無疑遠遠超過了國內以往進行的所有數學實驗。”

王梓坤院士說：“MM數學研究和數學方法系國內首創，是數學界的重要創新。它不僅有充足的理論依據，而且在相當廣泛的范圍內取得了很好的實際效果。”

著名數學家、《數學通報》雜志原主編劉紹學教授也給予了高度評價：

我第一次接觸MM方式是1997年在武漢召開的MM方式交流會上。這是我作為《數學通報》主編了解中學數學教學情況的一次活動。雖然是第一次接觸，但MM方式的主張以及它的實踐活動，卻給了我很深的印象，可以說是“一見如故”。

MM教學法使筆者一下子就聯想到我的老師傅種孫先生的教學。傅先生在筆者大三的時候（1949年）給我們班講近世代數。

1997年筆者寫過一篇小文，記敘了筆者對傅先生教學的兩點印象：講體會，并在某些關鍵處想出“醒耳”的語言，說出自己的體會。這是有時候力氣也不容易做到的。錢學森在數十年后回憶他的中學生活時，仍記得傅先生在課堂上講的一段話（大意）：“只要承認這些前提，這些幾何定理就是對的。在地球上對，到了火星上仍然是對的。”這是傅先生對公理法的深入理解和熱情贊賞，又很有想象力地采用絕妙語言去表達。真是言者無意，聽者有心。借用別人的體會，借用別人的語言，在教學中也會有好的效果。但那最多是講鄰家小孩的故事的效果，絕沒有講自己親生兒女的故事時那種親切感人的效果。關于自己的教學，筆者也曾這樣寫過：“應該承認，在課堂上有許多時候我是把數學作為‘神學’硬著頭皮搬給同學們的，對此我心中是有歉意的。多虧我的科研經歷，它在很多情形下幫助我理解或設計出書上的定理是如何在人們的手中試驗、摸索和制作出來的。當學生聽著這樣的講述而面露會心微笑時，我最認識到自己科研的價值和意義。”許多老師特別是MM方式的實踐者，都會與筆者有同樣的感受。筆者 認為MM方式的主張和傅先生的實際教學的作為是一致的：學習數學，理解數學，研究數學。要深入理解教學內容，要對教學內容有感受有體會，雖然不能對所有內容都做到這一點（這是很難做到的），但一定是努力去做了。這是教好課的首要條件。

中國社會科學研究院林夏水研究員指出：“MM方式為什么會推廣應用到全國，并且適用于大、中、小學等各級各類學校的數學教學改革呢？這是因為它雖然是數學方法論與數學教育結合的產物，但它卻蘊涵多種數學觀，具有深刻的哲理根據；它體現出一種新的數學教育觀。這就是它具有強大生命力的原因所在；這就是它能夠由無錫傳遍祖國大江南北、港澳臺，甚至走上國際數學教育大會講臺的根本原因。MM方式起始于1989年5月無錫市高中階段的MM實驗，它具有原創性和前瞻性。這為爾后在我國展開的新課程改革的實施所證實。”

（1）MM實驗與新課標的性質意義比較

新課標指出：認識數學的科學價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發展智力和創新意識具有基礎性的作用……數學課程是學習物理、化學、技術等課程和進一步學習的基礎。同時，它為學生的終身發展，形成科學的世界觀、價值觀奠定基礎，對提高全民族素質具有重要意義。

這就是說，數學教學它不應該是理論數學也不是應用數學的教學，而應該是為此而奠定基礎的教學；同時它也應該是促進學生的科學素養和文化修養提高的教學。

而MM實驗則開宗明義地在實驗假設中概括地指出，“在數學教學中，如能貫徹數學方法論的教育方式，必將有利于提高學生的一般科學素養，增進社會文化修養，形成和發展數學品質，從而全面提高學生素質”。

當時（1989年5月）在數學教學中，首次提出“全面提高學生素質”這樣的口號，與爾后在我國掀起的素質教育的熱潮是不謀而合的；與上述新課標的闡述相對照，至今也具有現實意義。

（）MM實驗的基本理念、基本原則與數學新課標的基本理念比較

數學新課標的基本理念共10條。如果對它們進一步抽象概括，數學課程不外乎具有科學技術功能和文化教育功能兩種功能。前者或可稱之為數學的實用功能，主要是反映在提高學生使用數學方法解決實際問題的技巧與本領，形成和發展數學品質，使學生具備一般科學素養；后者主要是指學生從對數學的認識、在學習數學和運用數學的過程中，在數學思想方法的潛移默化與熏陶之下，提高社會文化修養方面的作用。而這正是MM實驗的實驗假設，也是MM方式的基本理念。

既教證明又教猜想的原則是MM實驗最根本的原則，它在實驗研究與教學中起著畫龍點睛的作用。通過多年來的實踐，我們體會到，應把它列為數學教學的一條重要原則。任何時候，教師背離了這條原則，數學教學就是不完整的教學。近年來，初中新課程標準的實施，就出現過忽視數學的形式和邏輯推理，而片面地強調所謂的實驗、觀察等非邏輯推理的傾向。因而遭到數學家和一線數學教師的一致反對。事實上在一線的數學教學中，教師從來就沒有這樣做。高中數學新課程標準一出臺就注意到了這一點。高中新課程基本理念第7條“強調本質，注意適度形式化”中就有這樣的詮釋：“數學課程要講邏輯推理，更要講道理。”我們認為如果把這句話改為“數學課程既要講邏輯推理，又要講合情推理”更妥當些。

（3）MM實驗目標和評價方法與新課標的課程目標及其評價體系比較

義務教育數學新課程標準規定課程的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要，其具體目標有6條。

MM實驗方案中的實驗目標與之也是吻合的。比如，新課標第6條中的“科學價值”“應用價值”和“文化價值”分別與MM方式的一級指標“科學素養”“數學品質”和“社會文化修養”相對應。新課程目標尤其是其中的第3條，是西語系的一種表述。它是美國數學教師全國委員會（NCIM）于1989年發表的Curriculum and Evaluation for chool Mathematics中所提出的5個具體目標（學會認識數學的價值，對自己的數學能力具有信心，具有數學地解決問題的能力，學會數學地交流，學會數學地推理）的一個翻版。而我們用“合理地進行思考，清楚地表述思想，有條不紊地工作”作為學生應具有的一般科學素養的分指標，顯得更貼近我們的生活，也更適合中國人的表達方式，而又充分體現了數學科學的教育功能。這是1989年5月在設計MM實驗方案之初就明確的，當時我們也并沒有NCIM的資料進行參考。把MM方式的實驗目標進行分解，借助于現代實驗心理學的術語“顯示器”和“指導語”來對它們加以直觀觀察，又考慮到可以對它們進行模糊綜合評判，我們綜合構建了指標體系表。它既是指標體系，又是一種評價手段。[7]

二、MM方式落實

（一）MM方式充分揭示了數學核心素養的基本內涵和豐富外延

我們不妨先給出MM方式的基本操作表和指標體系表1。

MM方式經林夏水研究員修改后，其蘊涵的數學觀被凸顯出來了，充分體現了數學方法論、數學觀與MM方式的一致性。這一基本操作表是實現數學方法論和數學觀到MM方式的一個轉換器。

把MM方式的實驗目標進行分解，就得到下面的指標體系表（見表）。

從縱向看，數學教學必須使學生具備一般科學素養，提高社會文化修養，形成和發展數學品質，這些我們稱之為“縱向要求集”；從橫向看，指導語欄內給出了每一類指標所要達到的三級水平，我們稱之為“橫向水平集”。

評價：我們把縱向要求集（一般科學素養、社會文化修養、數學品質）和橫向水平集（合格水平、較高水平、高級水平）的“笛卡兒乘積集”的某些子集作為MM方式的綜合評價研究。若一般科學素養符合指導語欄目中的全部內容，社會文化修養和數學品質符合相應的指導語欄目中的合格水平，我們稱之為達到了數學教學的基本要求，并形象地說是達到了“”型評價（這可能對以后從事文科和社會科學工作的人們來說就已經夠了，他們升入了高一級的學校以后，還需要進一步接受適合的數學教育）；若一般科學素養和社會文化修養達到相應指導語的全部內容，數學品質達到合格水平，我們就說達到了數學教學的較高要求，并形象地說達到了“F”型評價（這可能對以后從事工科工作的人們來說也已經夠了）；若一般科學素養、社會文化修養和數學品質都達到其相應指導語的全部內容，我們就說達到了數學教學的高級要求，并形象地說是達到了“E”型評價（這是對以后可能從事理科和數學工作的人們來說需要達到的）。（如圖，表的評價示意圖）

在各個不同的歷史時期，數學素養的內涵和外延以及社會對人們所要達到的數學素養的要求是不同的。在人類的農耕文明時代，熟悉歐氏幾何與算術的人們就被認為是具備了較高的數學素養的人了；工業革命以后，只有掌握和使用了微積分的人，才有資格被認為是具備了一定的數學素養；在知識經濟和信息革命時期，數學本身的內涵和外延已經發生了根本的變化。

我們知道，古代人是以博才取勝的（如諸葛亮，上知天文下知地理），近代人是以專才取勝的（如牛頓，堪稱科學之父），而現代人則要在專才基礎上加上博才，才能取勝。從事基礎教育的數學教師應該具備較高的數學素養和境界。

然而，我們不應該用一桿標尺去要求獲取基本知識的學生，不同個性和不同志向的學生需要達到的數學素養和數學的思想境界不同，MM方式蘊含了對他們各自所需要達到的數學核心素養的培養方法。

（二）發展學生的核心素養首先要提升教師素養

要發展和提高學生的數學核心素養，我們當然應該首先提升教師自身的數學核心素養。綜觀國內外自“新數運動”以來的較大規模的數學教育改革，總結其經驗教訓，盡管其成功和失敗的因素很多，但都與廣大師資力量的準備及其水平息息相關。

“教”是不進則退的，在職教師如果不注意在教學實踐中不斷提高自身的數學素養，一位大學畢業的數學教師在中小學教了三四年書后，就會把自己的數學水平下降到一個中學生的水平。而如果教師的數學素養欠缺，他（她）就不能正確認識與處理知識、能力與創新之間的關系。

數學追求的就是“簡”與“易”，[DK1]“真”與“美”。掌握知識與具備創新能力是不矛盾的。當然，掌握了知識不會運用也是不可取的。要知道一個數學家（科學家），他（她）之所以成為數學家（科學家），并不取于他（她）所掌握的那些數學知識（科學知識），而取于他是如何使用這些知識的。這才是所謂的創新精神。數學教師素養的高低直接影響到數學教學，并最終直接影響到學生核心素養的培養。作為一個中小學數學教師，不僅應該通曉初等數學知識，而且也應該了解高等數學知識，從而掌握中小學數學教學的主動權。一個教師的數學素養越高，他（她）就越能夠寬和平等地對待自己的學生，在課堂上深入淺出地把知識講清楚。

因此，我們要培養和造就一支既能勝任教學又能從事科研的數學教師隊伍。這是踐行MM方式的關鍵。教師通過學習了解MM方式的成功經驗，將是提高培訓有效性和針對性的捷徑。實踐證明MM方式明顯地具有既能提高學生又能提高教師的雙重作用。在近30年的實踐過程中，執教者發自內心地感受到教師自身的提高更大于學生的提高。這是因為這種教育方式較之其他一些教學方式更能緊密地結合和充分運用數學本身的特點。所以，它能更有效地喚起教師自身的教學經驗，從而提高他們的教學積極性。

另外，教師的“教”和學生的“學”總是緊密地聯系在一起的（它們處于同一教學系統中），由于MM方式能夠充分調動學生學習數學的積極性，因而解除了教師由于學生的厭學而帶來的煩惱，師生都從研究科學方法論和數學方法論，尤其是一般解題方法即解題方法論中獲益，擺脫了題海的羈絆，從而為教師的業務進修和教育科學理論的學習創造了條件，促使教學進入良性循環。因此，MM方式是培訓高層次數學教師的有效途徑。

（三） MM方式在中小學數學教學中大有用武之地

MM方式有6條數學教學的狹義原則，包括數學教學中的德育原則、數學教學中的美育原則、充分暴露數學思維活動過程的原則、數學家學習機制激勵原則、既教證明又教猜想原則、一般解題方法教學的原則。其中最能體現MM實驗特色的兩條基本原則是：教學·研究·發現——同步協調原則，既教證明又教猜想的原則。

MM方式的出現一改過去學生學習的被動局面，使他們對既教證明又教猜想的探索規律產生濃厚興趣，整個教學過程也就融入發明發現的主旋律之中。

綜上所述，一方面，MM方式徹底改變了學生學習的被動局面，為他們提供了正確的思想方法和學習方法；另一方面在方法論的意義上，中小學數學不再局限于初等數學這一小塊彈丸之地，而與整個數學領域連成一片。這就為學生吸取數學科學中的現代思想，自我增進現代科學技術的文化素養開辟了一塊良好的運動場。

MM方式已經在全國許多地區進行了推廣，并取得了豐碩的成果。特別是在新課程改革背景下，更顯示出其對全面提高學生素質的顯著作用。[8]長期實踐證明，在中小學數學教師培訓中，通過推廣應用MM方式，學員普遍加深了對數學和數學教育本質的理解，掌握了提高學生數學學習興趣的方法，形成了塑造學生良好數學學習習慣的課堂教學技能，學會了如何啟發學生進一步探索數學奧秘以及在課堂落實提升學生數學核心素養，特別是有部分學員受MM方式的啟發，已逐漸開始嘗試研究在數學學科培養學生創新能力和實踐能力方面的途徑和方法，這是一項十分具有現實意義的創舉，也是MM方式的生命力所在。在中小學數學教師培訓中推廣應用MM方式，能夠真正提高中小學數學師資的培訓質量，最終促進中小學數學教學質量和中小學生數學核心素養的全面提升。

（唐志華，南京曉莊學院教師發展學院，南京 10017）

參考文獻：

[7] 徐瀝泉.教學·研究·發現——MM方式演繹[M].北京：科學出版社，003（3）：4.

[8] 唐志華.數學方法論應用傳播叢書[M].大連：大連理工大學出版社，009：9.

（責任編輯：彭 慧）