中考專題復習——線段（和 差）最值問題

一、考點分析

“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”、“點關于線對稱”、“線段的平移”、“飲馬問題”、“造橋選址問題”。考的較多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圓、坐標軸、拋物線等。

二、教學目標

1、理解并掌握實際生活中最短問題的實質就是垂線段最短、兩點之間，線段最短；2、鞏固、提高空間觀念、模型思想和幾何直觀的思想和意識。

三、重點、難點分析

教學重點：借助三大變換轉移線段達到共線的目的。

教學難點：①正確合理的添加輔助線，尋找解決問題的方法；②通過探索解決問題的過程，進行方法的歸納和建模，形成解決問題的通法。

四、典例分析

例1：（1）、如圖，⊙O的半徑ＯＡ＝５cm，弦AB=8cm，點P為弦AB上一動點，則點P到圓心O的最短距離是______cm．(圖略)

設計意圖：復習回顧：直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短，簡稱垂線段最短；引出第一個數學模型: (圖略)

（2）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為______(圖略)

設計意圖：轉化問題背景，進一步深入思考，發現問題的本質仍是垂線段最短的應用。

（3）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（ ）

A.130° B.120° C.110° D. 100°(圖略)

設計意圖：周長最小時三條線段和最小，仍是利用對稱實現共線時和最小，總結出數學模型：

（4）如圖，直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=x2+bx+1與直線交于A，E兩點，與x軸交于B，C兩點，且B點坐標為 (1，0).①求該拋物線的解析式；②在拋物線的對稱軸上找一點M，使 MA-MC的值最大，求出點M的坐標；(圖略)

設計意圖：體會利用對稱實現共線能使線段和最小，也能使線段差最大，給出簡單的理論證明，總結出數學模型: (圖略)

例3、（1）在△ABC中，∠ACB=90o，∠ABC=30o，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為（0o＜＜180o），得到△A′B′C，

設AC中點為E，A′B′中點為P，AC= ，連接EP，當= " " " " °時，EP長度最大，最大值為 " " " " ．(圖略)

設計意圖：學習抓住旋轉過程中的不變量，找到問題本質，總結出數學模型

（2）如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為（ " ）(圖略)

A． B． C．D．

設計意圖：學習抓住旋轉過程中的不變量，找到問題本質，總結出數學模型

例4、（1）如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）(圖略)

設計意圖：學會分析問題，抓住問題本質，找到與已經熟悉的“小河問題”的聯系，體會利用平移實現共線總結出數學模型: (圖略)

（2）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=.試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，

則此時AM+NB=( ) (圖略)

設計意圖：理解數學模型，給出具體數據能準確計算。

五、提升作業

1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，點O是對角線AC，BD的交點，點E是CD邊上動點，連接BE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接DF，則DF的長最小為 (圖略)

2、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點、D點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

⑴(如圖1)求證：△AMB≌△ENB；⑵ ①畫出當AM＋BM＋CM 最小時M點的位置.（另作圖）

②當AM＋BM＋CM的最小值為 時，求正方形的邊長.(圖略)

設計意圖：鞏固提高本節課知識，提高靈活抓住問題本質的解題能力。