豎直振動振子振動頻率對所產生表面水波流向影響的研究

尹夢迪　林偉華

【摘 要】觀察一在水中半浸沒的豎直振動水平圓柱周圍的水波，圓柱的振動頻率對其周圍水波流向有明顯影響。在低頻率時，平面波自振子向周圍推進；增加頻率，交叉波逐漸取代平面波，在振子周圍形成不穩定流場；繼續增加頻率，振子周圍形成拉格朗日相干結構，并滿足Lighthill判據，繼而發生水波逆向流動現象。實驗通過改變振動頻率、幅度及振子材質觀察水波流動現象，來探究水波逆向流動的因素，并嘗試用流形解釋這一現象。通過振動驅動水波流向改變，這一非線性動力學現象，可在日后的水運中得到應用，達到節能、高效生產的目的。

【關鍵詞】豎直振動；表面水波流向；拉格朗日相干結構；Lighthill判據；流形

中圖分類號： G649.28 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2017）26-0001-004

The Study of the Effect of Oscillation Frequency of Vertical Oscillator on the Flow Direction of Surface Water Wave

YIN Meng-di LIN Wei-hua

（Physics National Experimental Teaching Demonstration Center，School of Physics Science and Technology，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

【Abstract】Observing the surface water wave generated by a half-submerged vertically oscillating cylinder，the frequency of oscillation would have great influence on the propagating direction of the flow.When the cylinder is vibrating with a low frequency，the waves are observed escaping from the cylinder as plane waves.As the frequency is increased，cross-waves appear and the field around the object becomes unstable.When the frequency is high enough， Lagrangian Coherent Structures is formed around the cylinder and Lighthill criterion is satisfied，as well as the propagating direction of waves reversed.The influence effectors of the reversed flow are experimentally studied by changing the oscillating frequency and amplitude of the oscillators，as well as the materials.Whats more，the effectors could be explained using manifold.The method of changing the propagating direction of water flow by oscillations，a nonlinear dynamic phenomenon，could be applied in water carriage in the future with more energy conservation and higher efficiency.

【Key words】Vertical oscillation；Flow direction of surface water wave；Lagrangian Coherent Structures；Lighthill criterion；Manifold

0 引言

在很長一段時間里，由于水波現象對水運水利工程生產中的方方面面有著顯著影響，人們對水波現象進行了不斷的研究，并取得了顯著成果。而通過技術手段產生能將遠處物體運輸到近處的水波更擁有廣泛的應用前景，例如幫助人們更好地理解海洋中船舶的運動，從而指導人們進行技術改革，發明出更加節能有效的水運工具。

一個半浸沒在水中的圓柱豎直振動時，振子周圍會產生水波。在之前的研究已經表明圓柱振幅[1]、容器壁對水流的反射作用以及振子形狀對水波和流場具有顯著影響[2]，同時發現有限振幅水波的調制不穩定性和交叉波的產生是導致水波流向轉變為朝向振子流動的主要因素之一[2]。根據Lighthill判據[3-4]，調制不穩定性是與水波頻率密切相關的，從而理論上，連續改變振子振動頻率會對水波流動方向產生明顯影響。

本文將探討研究振子振動情況影響其周圍產生的水波流向，即產生背離和流向振子的變化。實驗中選用清水和圓柱體作為研究對象，對在水中豎直振動的水平圓柱因振動頻率、振子材料導致周圍的水波流向產生的變化進行觀察，并對現象展開討論，其中著重探討的是振子振動頻率對水波流向的影響。

1 實驗現象

實驗裝置如圖1所示，在一透明方形水箱（長l=53cm，寬w=39cm，水深h=13cm）中進行實驗，振子取為圓柱體。用鐵質細桿將振子與信號轉換器連接，信號轉換器與信號發生器（型號DF1631F）相連。振動頻率和振動幅度都可直接從信號發生器上直接讀出，其中振動幅度是通過峰峰值電壓（Vp-p）表示，振動頻率范圍是從0Hz到100Hz，Vp-p的取值有22.1v（最大輸出電壓）、17.1v、12.1v，信號源輸出正弦信號。為使實驗現象易于觀察，在水面上加入了一些細小的泡沫塑料顆粒，并用高速攝像機進行拍攝顆粒的運動。endprint

實驗發現，只要振動幅度和頻率達到足夠條件，水波的方向就會發生逆轉。圖2中顯示的是在Vp-p=22.1v（振子振幅為0.75cm）下塑料圓柱（長d=22.218cm，半徑r=1.830cm）周圍的水波隨振動頻率變化的情況[1]。

當頻率（f）低于7Hz時，圓柱周圍是有橢圓波前的平面波，如圖2（a）、（b）所示；當頻率在7Hz以上時，波前開始抖動，不再是規則的橢圓形狀，如圖2（c）、（d）所示；當頻率到16Hz時，靠近振子處有明顯的交叉波產生[圖2（e）、（f）所示]；當頻率達23Hz時局部區域出現朝向振子行進的水波，繼續增加頻率，逆流水波區域逐漸增大；當頻率達31Hz時全流場出現朝向振子流動的水波[圖2（g）、（h）所示]；繼續增加頻率，觀察到逆流區域逐漸減小，增加到38Hz時，整個流場中水波再次背離圓柱流動，上調頻率，流場中再次出現局部朝向振子行進的水波，但整個流場中水波行進速度十分緩慢，當頻率上調至47Hz時，水流近似靜止。

當Vp-p=17v時，在實驗選取的頻率范圍內（0～100Hz）流場中不出現整體逆流的現象，但有小規模逆流現象，在18Hz時出現小規模逆流，隨頻率增加逆流區域逐漸增大，到25Hz時逆流區域達到最大，范圍在從振子出發到在距離振子12cm處；36Hz以上，水流近似靜止。

但Vp-p=12v時，20Hz時出現小規模逆流；26Hz時在距離振子小于等于8cm的區域內出現朝向振子流動的水流，逆流區域最大；30Hz以上，水流近似靜止。

實驗中將硬質塑料棒換為同等條件但質地較軟的橡膠棒，水流隨頻率的變化規律基本相似，但每次發生變化的頻率會有不同，在Vp-p仍為22.1v的情況下，當頻率低于4.3Hz時，圓柱周圍是有橢圓波前的平面波[參考圖2（a）、 （b）]；當頻率在4.3Hz以上時，波前開始抖動，不再是規則的橢圓形狀[參考圖2（c）、2（d）]；頻率到7.9Hz時，靠近振子處有明顯的交叉波產生[參考圖2（e）、（f）]；17.3Hz時局部區域出現朝向振子行進的水波，繼續增加頻率，逆流水波區域逐漸增大；25.3Hz時全流場出現朝向振子流動的水波[參考圖2（g）、（h）]；增加頻率，觀察到逆流區域逐漸減小，流速減慢，增加到28Hz時，整個流場中水波再次背離圓柱流動，上調至頻率30Hz，流場中再次出現朝向振子行進的水波，但整個流場中水波行進速度十分緩慢，當頻率上調至38Hz時，水流再次向外流動，50Hz以上，水流近似靜止。

而在Vp-p分別為17v、12v時，流場均出現一次逆流現象，頻率分別對應26Hz和31.4Hz。

圖2Vp-p=22.1v（振子振幅為0.75cm）下塑料圓柱（長d=22.218cm，半徑r=1.830cm）周圍的水波隨振動頻率變化 （a） f <7Hz橢圓形波前平面波；（c） f≥7Hz波前開始不穩定；（e）f≥16Hz出現交叉波；（g）31Hz≤f≤38Hz逆流時振子前的波場狀況；（b）、（d）、（f）、（h） 根據流場情況簡化的水流曲線，分別與（a） 、（c）、（e）、（g）對應。（a）、（c）、（e）、（g）中的長方形邊框表示振子

實驗觀察流場隨振動頻率變化，其現象可分為4個過程：

（1）頻率較低時，水波有橢圓形波前，背離振子流動，是平面波[圖2（a）、（b）]；

（2）增加頻率，水波波前不再是規則橢圓形，出現抖動，方向仍然是背離振子[圖2（c）、（d）]；

（3）頻率繼續增加，振子兩端出現如圖2（e）、（f）所示的水流，振子周圍流場紊亂，湍流出現，出現交叉波，此時再增加頻率，水波向外流動速度會逐漸減緩，接著流場類似靜止；

（4）繼續增加頻率，水波開始緩慢向內流動，隨著頻率增加，向內流動加劇。此時可明顯發現再振子的兩側形成四個渦旋，靠近振子處有隨機拉格朗日運輸區域的產生，并且振子兩端的水流流向為背離振子。在此區域中，流場為不穩定流場[圖2（g） 圖2（h）]。

值得注意的是，每當臨近水流方向改變的閾值時，按原向流動的水流總是會減速，到流場近似靜止的情況后繼續增加頻率，水流方向會反向，并逐漸增加到一極大值，之后再逐漸減緩。出現水波背離圓柱流動時，振子前的流場均是不穩定的。

改變振子材料時，發現彈性振子相比于剛性振子，對流場產生的擾動更大，出現現象時的頻率比同條件的硬質棒更低，而現象發生頻率也更密集。

2 理論分析

2.1 不穩定流場的成因

觀察實驗中產生水波朝向振子流動的流場，不難發現，此時振子前有不穩定交叉波區域，此區域將振子前液體排開；而流場中大型漩渦的產生，對流向振子的水波有驅動作用。其中最原始的因素是流場中調制不穩定性（modulation instability）[2]的產生。以下首先需探究產生不穩定水波的因素及其影響。

在流場的非線性分析領域，Lighthill判據[3-4]為判斷是否形成不穩定水波的一個重要依據。Lighthill判據可寫為：

L = （1）

其中ω = （2）

ω≈[gk+ 1+ ] （3）

式中T為液體表面張力系數（本文取7.182×10-2N/m）；|a|2為波動強度（a取振子振幅）；k為波數；ρ為液體密度；ωk由式（2）給出；ω為非線性波動的頻率，由（3）式給出。當滿足Lj<0時，不穩定流場產生[3-4]。

根據流體力學邊界條件[5-8]，振子周圍的流場振動受到振子振動的影響，當振子振幅、振動頻率改變時，其周圍流場的振幅、振動頻率也會相應改變。當Lj=0時，式中ω即為閾值。則固定振幅時，隨著振子振動頻率改變，流體振動頻率也逐漸靠近、到達、遠離不穩定閾值，式（1）的值也不斷穿越0值線，于是造成水波流向的陣發性改變。endprint

x圖3（a）Vp-p=22.1v d=22.185cm r=1.830cm半浸沒塑料圓柱振子在頻率改變時流場中某點的速度變化情況圖，其臨界頻率為31Hz。（b）Vp-p=22.1v d=31.220cm r=1.565cm半浸沒橡膠圓柱振子在頻率改變時流場中某點的速度變化情況圖，其臨界頻率為19.2Hz。圖中橫坐標代表頻率（Hz），縱坐標代表某點速度（m/s），紅線為速率的零值線。

圖3中顯示了不同流場中在閾值頻率附近改變振動頻率時流場中某點運動速度的變化情況，記錄時選擇流向振子為速度正向?？梢姡旑l率靠近閾值時，流場的流速（絕對值）呈減小[3]趨勢，而遠離時，流速又呈增加趨勢。當振子材料不同時，其速度改變的頻率閾值也不同。此外，圖3（b）中擬合曲線在頻率大于19Hz之后有一段呈現速度絕對值減小的情況， 一是由于在該流場中，圖3（b）中所對應的點在19.5Hz～20.4Hz的頻段處于一個小型漩渦上；二是由于不排除跟蹤該點時操作誤差的影響。但從整體趨勢可得知，該點的速率變化規律仍然是符合理論的。

2.2 影響水流方向的因素

通過對不穩定流場的成因的分析可知，流場不穩定是出現水流方向改變的前提，但單純從不穩定流場出發，并不能解釋為何流場內會同時出現不同流向的水流，也不足以充分研究影響液體流向的因素。而些更深層次的問題需要借助流形來探究。本小節中將首先從流形出發，對問題進行解釋。在流場中用實質面MS（material surface）表示流場中某條實質線ML（material line）在一定時間t中位移、形變所產生的曲面[9]。當流體軌跡都以指數離開MS時，稱該MS是不穩定的，此時滿足條件：

[ （t，t+Δt）]·J（ ）n（ ，t）≥e （4）

式中J（ ）為場的雅可比矩陣， [ （t，t+Δt）]為行進時間間隔Δt后該點的單位矢量，n（ ，t）為初始點的單位矢量， 為初始位置條件，t為時間。

當MS在反演時間中滿足上述條件時，則稱為穩定實質面。根據參考文獻[9]，在此定義下，MS的穩定性與動力學流形的不穩定性相照應，即穩定的實質面（stable material surface） 對應的是不穩定流形（unstable manifold）。而由上述定義可推知，實質面是實質線在相空間中的擴展，定義初值條件 、t0下，在時間間隔[t0，t-1]內的穩定時間（stability time）T（ ，t0）為[9]：

T（ ，t0）= dτ（5）

積分區域為流場中的最大開放空間，受到實質面之間的距離限制；t-1為反演時間。沿著實質線，T（ ，t0）將達到區域最值。當其達到區域最大值時，實質線周圍液體將朝向該實質線流動。結合實驗現象，不難解釋，當振子前穩定實質面上的穩定時間達到區域最大值時（此時動力學為不穩定），液體朝振子匯聚，從而形成流向振子的水流；而在其余區域，沿著實質線上分布的穩定時間達到最小值時，會形成背離振子流動的水流。此外，不同水流方向的界線也可以由此推知，應分布在T（，t0）最大、最小值的交界處。

從參考文獻[2-5]可知水波逆向流動時振子周圍會形成LCSs（Lagrangian Coherent Structures），而流場可以根據FTLE（Finite-time Lyapunov exponent）進行研究判斷[2-10]，結合兩者，可以找到不穩定流場中水波向外流和向內流的界線——最大李亞普諾夫指數所構成的脊線。

2.3 振子材料對閾值的影響

由于振子的振動，振子周圍的液體不斷被振子推開，在振子離開時又由于重力等因素回到原來位置，于是流場中產生擾動。對于有限振幅，當振子振動頻率很高時，振子在離開圖4（c）、（d）位置之后迅速回到原位置，流體團所能由回復所得到的擾動減少，從而導致在高頻率時流場趨于靜止的現象。

彈性材料與硬質材料不同，在振動時伴隨著相對較大的形變改變，在振子形變、恢復的過程中，振子偏離振動中心處的區域有明顯的振動延遲，從而使振子對流場的擾動增加，流場的不穩定性增強。圖4（a）、（b）給出了振子相應的運動狀況圖。當振子離開（進入）水面時，如圖4（a）、（b）所示，彈性振子兩端相比中心有一定的相位延遲，從而導致了水流受到擾動的不均一性，使得彈性振子周圍的流場變化與非彈性振子明顯不同。

圖4 （a）、（b）向上振動和向下振動的橡膠棒； （c）、（d）硬質棒振動情況，振子下的流場振動均一。

3 總結

實驗研究了振子振動因素對振子前水波流向的影響，通過改變振動頻率、振動幅度、振子材質來研究振子前水波流向的關系，觀察流場，發現隨著頻率增加、幅度增大和材質彈性增強均會對水波流向產生影響，從而得出結論：流場不穩定是導致水波流向改變的主要因素，水流方向是由不穩定流場中實質面上的實質線值的分布確定，流動邊界可以通過計算FTLE場確定。

本文研究得出參變量變化主要影響了流場穩定性，當超過流場穩定的閾值條件之后，振子前流場不穩定，結合流形，可通過位于實質面上的實質線確定水流方向， 又振子前水波會產生LCSs， 對水波流動會起到引導的作用，再計算流場的FTLE場，則可明確不同流向水波之間的分界線。

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