深度體驗 適時提煉 清晰表達

學會思維，是數學學科所應關注的核心素養。抽象是一種重要的思維方法，它貫穿于小學生數學學習的始終。那么，在數學課堂教學中如何培養學生的抽象思維能力呢？現以蘇教版《義務教育教科書·數學》六年級《正比例的意義》一課為例說明進行。

一、認識相關聯的量

師：孩子們，老師第一次來到你們這個城市，昨天在街上溜達了下，感覺真是漂亮，到處都是高樓大廈，（屏顯高樓圖）仔細觀察，你看到了什么？

生1：我看到大樓越來越高。

師：那大樓的層數呢？

生2：大樓的層數在一層一層地增多。

師：把這兩句話連起來說一說好嗎？

生2：大樓的層數在增多，樓的高度也越來越高。

師：說得真好！隨著樓的層數的增多，樓的高度也越來越高。在數學上我們把這樣有關系的兩種量叫做相關聯的量。在下面的場景中你也能找到相關聯的量嗎？（出示四幅圖）

生3：我們去超市買蘋果的時候買的數量越多，要付的錢就越多，買的數量越少，要付的錢就越少，所以數量和總價是兩種相關聯的量。

師 ：看圖2，老師帶這么多錢買蘋果，用去的少，剩下的就多；用去的多，剩下的就少。

生4：用去的錢和剩下的錢是兩種相關聯的量。

生5：在太陽底下，物體越高，影子越長，所以物體的高度和影子的長度是兩種相關聯的量。

生6：從第四幅圖，我知道杯子的粗細和水的高度是兩種相關聯的量。

師：你說的杯子的粗細，其實就是杯子的底面積。

生7：杯子的底面積和水的高度是兩種相關聯的量。

師：在這些圖中我們都找到了兩種相關聯的量，相關聯，你理解了嗎？

生8：一種量變化，另一種量也跟著變化。

師：這個“跟著”說得多好啊！可見這兩種量的關系得有多親密啊！

理解正比例的意義，首先要理解什么是相關聯的量。教師選取學生熟悉的樓房為話題，自然調動起學生的生活經驗：樓房的高度隨著層數的變化而變化，樓層數越多，樓房越高。看似無意的閑聊中，相關聯的概念已萌發。接著出示四幅學生生活中常見的場景圖，目的是讓學生借助知識和生活經驗并通過觀察、比較、分析、想象等活動，進一步理解什么是相關聯的量，培養學生的判斷、推理能力。

二、探究正比例的意義

（一）探究路程和時間的變化規律

師： 老師在汽車里程表上采集到這樣一組數據，仔細觀察，猜一猜這里路程的變化可能會跟什么有關系？

生1：可能跟開車的速度有關系。

生2：可能跟開車的時間有關系。

師：用上我們剛剛認識的“相關聯”來說一說？

生1：路程和速度是兩種相關聯的量。

生2：路程和時間是兩種相關聯的量。

師：繼續看這張表格，現在你認為路程更有可能跟誰相關聯？

生3 ：這里路程的變化更可能跟時間相關聯。

師：猜得真準，仔細觀察表格，你有什么發現？可以先在作業紙上寫一寫，然后在小組里互相說一說。

學生獨立思考，小組交流后進行全班交流。

生1：時間在變多，路程也在變多。

生2：從左往右看時間在變多，路程也跟著在變多。從右往左看時間在變少，路程也跟著在變少。

師：從不同角度發現兩種量之間的變化，說的真全面。

生3：路程和時間是兩種相關量的量。

師：一句話就把剛才這兩位同學的發現概括地表達出來，學了就能用，真好.

師：剛才這幾位同學都看到了這兩種量的變化情況，你們也發現了嗎？還有什么不同的發現嗎？

生4：我發現路程和時間不但是兩種相關聯的量，而且速度是始終不變的。

師：你的發現與眾不同，請你再大聲說一遍。都聽到了嗎？看一看，想一想，她說的對嗎？

師：還有的同學還在思考，就請你當小老師來講一講你是怎么發現速度不變的？

生4：80÷1=80 160÷2=80 240÷3=80 ……這里的商就是速度，始終沒有變。

生5：我把路程和時間寫成比：=80 =80 ……比值也不變。

師：剛才這兩位同學都能用聯系的眼光從變化中看到了不變，真了不起！他們在舉例證明的時候不管是求商還是寫比，都注意到80和1為一組，160和2為一組……這又給我們什么啟示呢？

生6：路程除以相對應的時間，求出的值才有意義。

師：回顧剛才的學習過程，你能把你的發現作一個簡單的總結嗎？

生7：路程是跟著時間的變化而變化的。

生8：路程和時間是兩種相關聯的量，它們的比值始終不變。

師： 兩種相關聯的量在不斷地變化，這是我們看到的現象；而相對應的數的比值一定，這是我們發現的規律。是什么原因使得它們的比值始終不變呢？我們需要探究規律背后的真相了。

這個問題有點難度，我們一起來吧，從1小時80千米開始，時間從1到2擴大2倍，相應的路程也從80到160擴大2倍。

生9：時間從1到3擴大3倍，路程也從80到240也擴大了3倍。

生10：我知道了，這里其實就是比的基本性質。

生11：也可以看作是分數的基本性質。

生12：還可以看作商不變的規律。

師：現在大家明白比值為什么不變了吧？學數學我們就要這樣知其然，更要知其所以然。

師：剛才我們從不同的角度來觀察這張表格，現在把大家的發現來總結一下，請你想一想，填一填，說一說。

（二）探究樓層數與樓的高度的變化規律

師：你能用同樣的方法來研究樓的高度和層數之間的規律嗎？

屏顯下表。

學生思考后回答：

生1：樓層數和樓的高度是兩種相關聯的量。

生2：樓的高度和樓層數的比值也是一定的。

師：這個比值是多少？表示什么意思？

生3：樓的高度和樓層數的比值是3，表示每層樓的高度。

師：能寫出它們之間的關系式嗎？

生4：=每層樓的高度（一定）

3.引導抽象正比例的意義

師：這是我們剛才研究的兩組相關聯的量（屏顯）。

師：在這里，我們把路程和時間就叫做成正比例的量 ；同樣的，樓的高度和層數也叫做成正比例的量。看著這兩張表格想一想：怎樣的兩種量就是成正比例的量？請大家先獨立思考，然后在小組里說一說。

這是學生第一次真正探究成正比例的兩個量之間的關系。教師采取細思慢想的策略，首先出示一張數據無規律的表格讓學生根據生活經驗猜想路程和什么相關聯，然后出示一張數據有規律的表格讓學生猜想路程和什么相關聯，自然地引導學生從生活經驗走向數學思考。接著，進一步引導觀察、思考路程是怎樣隨著時間的變化而變化的，再組織組內交流、全班反饋。學生的思維得以沉潛，并在思維的碰撞中漸漸地發現路程與時間的變化規律。教師的適當追問、講解，凸顯了對應的量，滲透了比較的方法和對應思想。教師引導學生用聯系的觀點多角度探究比值一定的深層原因，促使學生自主構建、完善知識結構，思維得以通透。在學生研究了路程與時間的變化關系后，教師再次放手讓學生探究樓層數與樓的高度的關系，旨在豐富學生的感知，加深學生的體驗，有利于學生歸納、發現正比例的意義。通過路程與時間、樓層數與樓的高度變化規律的研究，學生已經積累了一定的感性認識，教師適時地集中出現兩張表，引導學生進行觀察、比較、分析，舍棄其數據不同、現象不同等非本質屬性，概括正比例的意義。

三、運用新知，解決問題

師：認識了正比例，我們怎么去判斷兩種量是不是成正比例呢？請大家來試一試。出示：購買一種鉛筆的數量和總價如下表：

（1）觀察上表，說說總價是隨著哪個數量的變化而變化的？

（2）寫出幾組對應的總價和數量的比，并比較比值的大小。

（3）這個比值表示的實際意義是什么？你能用式子表示它與總價、數量之間的關系嗎？

（4）鉛筆的總價和數量成正比例嗎？為什么？

師：相對于你們得到的結論，老師更感興趣的是：你們是怎么判斷的？

生1：數量在變總價也在變，數量和總價是兩種相關聯的量。

生2：數量和總價是兩種相關聯的量，而且它們的比值也是一定的都是0.4，表示這種鉛筆的單價。

生3：=單價（一定）

師：有了判斷兩種量成正比例的方法，下面就讓我們牛刀小試一下。（屏顯課初的四幅圖）剛才我們在這些圖中都找到了兩種相關聯的量，他們都成正比例嗎？為什么？

師：生活中，像這樣成正比例關系的兩種量還有很多很多，請在小組里互相說一說？（略）

師：數學的神奇就在于簡潔，你能想辦法用字母來表示正比例關系嗎？

生6 ：=c，c一定。

生7： =z，z一定。

師：在數學上我們一般用y和x來表示像這樣的兩種相關聯的量，用k來表示它們的比值，這樣正比例關系式我們就可以寫成 =k（一定）。

師：學習正比例有什么用呢？

師：從這兩張表格中，我們都可以預測出6小時行駛的路程嗎？

生8：第一張表格可以預測出行駛的路程。

師：為什么呢？

生9：第一張表格中路程和時間成正比例，第二張表格中路程和時間不成正比例。

師：那我們來預測下6小時可行多少千米，行800千米需要多少小時？

師：學習正比例可以幫助我們進行合理的預測、判斷。

這里的練習，旨在引導學生運用正比例的意義對生活中的問題進行分析判斷、預測，加深學生對正比例意義的理解，培養學生的數感、數據分析觀念以及解決實際問題的能力。讓學生用字母表示關系式，是學生抽象思維的再一次具體表現。教師對學生思考過程與方法的追問，體現教師不僅關注學生思維的結果，更關注學生思維的過程以及能否有條理地表達。

四、回顧反思、積累經驗

師：學到這里，能說說這節課的收獲嗎？

生1：我知道了什么叫做正比例。

生2：我學會了如何去判斷兩種量成正比例。

生3：我知道了不是所有的相關聯的兩種量都是成正比例的量。

師：老師為同學們有這么多收獲感到高興。我們再一起來看課題，正比例，哪個詞我們特別熟悉啊？

生：比例。

師：那這個“正”字我們該怎么理解呢？

師：在剛才的例題中，路程和時間是兩種相關聯的量，如果老師這樣表示時間，→（動態演示）時間在變，路程會隨著它一起變→。現在理解這個“正”字了嗎？

如果我把時間這樣表示，→路程這樣表示↑，我們又會以怎樣的方式來表達他們之間的關系呢？下節課我們來研究。

這一環節，通過回顧學習過程，幫助學生積累觀察、比較、推理等數學基本活動經驗和思維經驗。對課題中“正”字的提問，使學生的思維從深入走向淺出，最后一問，則使學生帶著問題走出教室，為下節課學習正比例的圖像埋下伏筆。

豐富而有深度的體驗是抽象的基礎。感知越豐富、體驗越深刻，才越有利于學生抽象出知識的本質。所以，感知的內容要是學生喜聞樂見的，能喚起他們已有的生活經驗和認知基礎；感知的步子要小一些，每一步要堅實，不能浮光掠影；感知的時間要充足，要能讓學生靜得下心，細思慢想；感知的氛圍要寬松民主，讓學習像呼吸一樣自然；感知的方法要多樣，要設計觀察、操作、比較等有效的數學學習活動引領學生探究發現。

適時比較提煉是抽象的關鍵。適時，需要教師精準地把握學情、調控教學，過早，勢必有火候不到、生拉硬拽的感覺，過遲，學生往往會被過多的非本質屬性所牽絆，抓不住本質。這個階段，學生往往會看山是山，看水是水，教師要注意培養學生跳出一個個具體的情境，抽取出共同的、本質的屬性而舍棄個別的、非本質的屬性。

準確清晰地表達是抽象的外顯結果。語言是思維的外殼，想得清楚，方能說得明白。把思維的過程用一定的語言形式表達出來，思維會更加清晰，對知識的理解會更加深刻。教學中，教師要組織學生充分地交流，一方面可以了解學情，調控教學，另一方面，可以促進學生思維的碰撞，在碰撞中完善認知；要鼓勵學生個性化地表達，可以是文字、符號、圖表等多種形式。

（作者單位：江蘇省鹽城市亭湖區教研室，鹽城市亭湖新區實驗學校）

（責任編輯：楊強）