功欲善其事，必先利其器
——?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問題的解題思路探析

張 淼

(浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 315400)

幾何中動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題，歸根結(jié)蒂都是轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，或直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)之間垂線段最短.但如何轉(zhuǎn)化都大有文章，特別當(dāng)動(dòng)點(diǎn)所在圖形未明示時(shí)，思維難度驟增，覺得毫無頭緒，無從下手.為使距離最值問題的求解有圖可索，有序可循，把它分門別類，加以探析.

一、動(dòng)點(diǎn)在已知定直線上

動(dòng)點(diǎn)在已知定直線上時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)個(gè)數(shù)又分兩類.

1.與兩個(gè)定點(diǎn)有關(guān)

(1)當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)在定直線兩旁時(shí)，直接運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，連結(jié)兩定點(diǎn)的線段與定直線的交點(diǎn)即為所求.(當(dāng)定直線改為定圓也同樣)

(2)當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)在定直線同旁時(shí)，通過軸對(duì)稱變換，作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為(1)的情況.(此時(shí)定直線不能改為定圓)

例1 如圖1，已知正方形ABCD，AB=a，E是AD上一定點(diǎn)，在AB上作出一點(diǎn)F，使以EF為一邊的正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形EFGH周長最小，并求出最小周長.

分析由正方形的對(duì)稱性，既然EFGH是它的內(nèi)接平行四邊形，則頂點(diǎn)G必與頂點(diǎn)E關(guān)于正方形ABCD的對(duì)稱中心對(duì)稱，故點(diǎn)G可確定.

2.與一個(gè)定點(diǎn)有關(guān)

動(dòng)點(diǎn)在定直線上與定直線外一個(gè)定點(diǎn)的最短距離，歸結(jié)為直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)之間垂線段最短.具體求解時(shí)，往往要利用題中涉及的幾何圖形性質(zhì)，以促使問題的轉(zhuǎn)化.

例4 如圖7，在直角梯形ABCD中，AD=1，AB=2，BC=3，∠A=∠B=90°，E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)ED并延長至H，使DH=ED，以EH、EC為鄰邊作ECFH，求對(duì)角線EF的最小值.

二、動(dòng)點(diǎn)在定圓上

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定圓上時(shí)，應(yīng)通過旋轉(zhuǎn)變換或相似變換把問題歸結(jié)為已知圓外一點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最值問題.

三、題設(shè)條件未明示動(dòng)點(diǎn)所在圖形

這類問題的求解，必須首先確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線還是圓(弧)，然后再歸結(jié)為上述兩類求解.

例8 如圖15，點(diǎn)A(0，6)，AB=BO，∠ABO=120°，點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，在坐標(biāo)平面內(nèi)作點(diǎn)D，使△ACD∽△AOB，連結(jié)OD，求OD的最小值.

參考文獻(xiàn)：

[1]潘小梅.初中數(shù)學(xué)典型問題100例[M].杭州：浙江教育出版社，2016(10).

[2]應(yīng)立君，余雪贊.圖形變換中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美[J].實(shí)驗(yàn)苑,2016(5).