資金時間價值計算難點的分析及解決

在《財務管理》的學習過程中，主要秉持兩大價值理念，即資金的時間價值和風險價值。其中，風險價值的計算相對來說比較制式化，學生只需要結合在數學、統計學等學科中學到的“期望”、“方差”知識，將相關數據按照固定的步驟和每一步固定的公式代入，就可以計算出風險價值的大小。而另一個價值理念資金的時間價值一直是《財務管理》的重點和難點，之所以說它重要是因為該學科中籌資管理，投資管理等的決策都要依賴于資金時間價值的基礎知識，但與風險價值的計算不同，時間價值的計算沒有固定的條框可以遵循，因此一直是學生認為比較難攻克的一座大山。針對這個難題，筆者結合多年教學經驗，分析了資金時間價值計算難點產生的原因，在此基礎上以遞延年金為例，就資金時間價值計算中的難點做以討論和解決。

一、資金時間價值計算難點產生的原因

資金時間價值雖然也像風險價值一樣，需要公式的代入，但是不同的是資金的時間價值被區分成了很多不同的類型，整個時間價值首先被區分為復利和年金兩個概念，進一步細分的話，年金又包括了普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金四種類型，同時每種年金又要計算其終值和現值，個別年金的終值現值公式還不止一個，這就決定了資金時間價值的公式非常之多，學生不能單純的代入公式，而是需要理解公式，同時準確解析題意，正確判斷題目涉及到的是哪種年金，以及題目要算的是該種年金的終值還是現值。例如：“企業計劃投資一個項目，需要投資500萬元，項目建設期3年，可以使用10年，每年產生收益90萬元，如果企業要求的投資報酬率9%，問該投資項目是否可行？”這道題的問題只是問項目是否可行，如果只是機械性的背誦所有的公式，學生在面對這道題目的時候根本無法判斷應該使用哪個公式，即使確定使用哪個公式，但公式里的期數n這個要素也是需要進一步判別的，這就是時間價值比較難以被學生理解接受的其中一個原因。

導致時間價值比較難的另一個原因在于傳統觀念的束縛。在學習資金時間價值的過程中，首先要打破以往的單利思想，比如本金1000元，年利率10%，那么一年的利息就是1000*10%=100元，依此類推五年的利息就是5*100=500元，針對同樣的條件，資金的時間價值則認為在第二年不僅僅只是本金1000元在繼續產生利息，第一年產生的100元利息也在計息，并且往后的年份也是同樣的道理，不僅僅是本金可以產生利息，以往年度的利息也在計息，也就是通常所說的“利滾利”的情況，在資金時間價值里把這個思路叫做復利。所以，認識資金時間價值的第一步就是樹立復利思想。

在復利的基礎上，時間價值之所以難懂的第三個原因在于現實生活中，可能每一年都有資金流的產生，不管是流入或者流出。比如說一個儲戶去銀行存錢，可能第一年存1萬元，第二年存3萬元，第三年存2萬元，這樣我們整個的計算考慮的就不止是一筆錢的復利問題了，但是筆者剛剛提及的例子雖然每年都有資金流的產生，但是沒有任何規律性，所以只能把這三筆錢單獨看成三個復利問題，然后相加計算其終值或者現值。由此，我們在復利和多筆資金流的基礎上衍生出了年金的概念，而時間價值的難點其實就是年金的難點。

二、資金時間價值難點的分析與解決

所謂年金，指的是在一定時期內每隔相同的時間發生相同數額的系列收付款項，如利息、折舊、保險、金租金等。在年金的計算中，存在幾個特定的值，比如年金A，終值F，現值P，期數n，利率i，將這些值表現在現金流量圖上如下：

在現金流量圖里，時間軸上的每一個數字代表的是第n期的期末或者第n+1期初，比如圖中“2”代表第2期期末，或者第3期期初，最左邊的“0”代表現在這個時點，也就是現值“P”所在的位置，每一期等額同向的資金流就是年金“A”，而最后一期n位于時間軸的最右邊，表示第n期期末，同時也是終值“F”所在的時點位置。資金時間價值的很多難點問題通過畫圖都能迎刃而解。

前文曾提到的，年金被細分成普通年金，預付年金，遞延年金和永續年金四大類，這個分類的依據在于現金流產生的時點和期限。這四個類別的年金中，普通年金的現金流發生在每期期末，是最基本的年金，其他年金都是在普通年金的基礎上派生出來的，尤其是后續的遞延年金和永續年金，大多數教材中總結的公式都默認這兩種年金的現金流產生在期末，所以公式都具有一定的局限性。在掌握最基礎的普通年金計算之后，預付年金跟普通年金的差別在于它的現金流產生在每期期初，所以兩者的計算只相差一期，最終的計算也只是多計息或者多貼現一期，即在普通年金的終值、現值公式的基礎上多乘（1+i）。永續年金由于其期數n趨于無窮大，所以不存在終值的計算，而其現值的計算最終通過數學歸納法總結得到P=A/i，假若永續年金的現金流量產生在每期期初，只需要在此公式的基礎上多貼現一期即可。最終年金的難點就集中在了最為復雜的遞延年金上。

所謂的遞延年金，是指等額系列收付款項發生在第一期以后的年金，即前m期沒有現金流量產生，后n期才有等額系列收付款項發生，這里沒有收付款項的若干期稱為遞延期（m）。

由圖可以看出，遞延期位于時間軸的左邊，所以遞延年金終值F的計算是完全不受遞延期m影響的，因為終值F的位置在時間軸的右邊，也就是說計算終值F的過程就是把時間軸上所有的收付款向右計算，至于左邊的遞延期，不管m=1還是m=100，絲毫不會影響遞延年金的終值。那么，遞延年金的計算難點就集中在其現值P的計算上。

遞延年金現值P的計算就是將后n期的收付款向左計算到0時點，這就決定了計算現值P的過程一定要經過遞延期m，這就加大了計算的難度。針對遞延年金現值P的計算，大體歸納了三種解決方法：

（1）先求后n期年金在m期初的現值，再將該值貼現至0時點，求出其現值P，也就是 “兩次折現法”，總結公式如下：P=A*（P/A， i ，n）*（P/F， i ，n）。

（2）將前m期遞延期補充上等額系列收付款，這樣原本的遞延年金就變成了一個m+n期的普通年金，然后用m+n期普通年金的現值減去人為補充的m期普通年金的現值，這種方法叫“補齊扣除法”，總結公式如下：P=A*（P/A， i ，m+n）-A*（P/A， i ，m）。

（3）先求后n期年金在m+n期期末的終值，再將該終值復利折現至0時點，求出其在第1期初的現值P，也就是“先終值后折現法”，總結公式如下：P=A*（F/A， i ，n）*（P/F， i ，m+n）。

舉個例子：“甲公司于年初投資一項目，預計投資期限為15年，但前5年為建設期，從第六年開始每年年末產生凈收益500萬，假定年收益率為10%，那么甲公司最初最多投資多少元才有利？”通過分析，這道題前5年沒有現金流量產生，從第6年開始每年年末產生500萬凈收益，這是一個標準的遞延年金，且可以直觀判斷出m+n=15，m=5，n=10，同時問題里的關鍵詞“最初”決定了這道題要求的現值P，那么套用上面論述的三種方法，答案如下：

（1）兩次折現法：

P=500*（P/A，10%，10）*（P/F，10%，5）=500*6.1446*0.6209=1907.59（萬元）

（2）補齊扣除法：

P=500*（P/A，10%，15）-500*（P/A，10%，5）=500*7.6061-500*3.7908=1907.65（萬元）

（3）先終值后折現法：

P=500*（F/A，10%，10）*（P/F，10%，15）=500*15.9370*0.2394=1907.66（萬元）

這么看來，遞延年金好像不是特別難，但是這三個方法有一個大的前提條件就是后續的資金流都是發生在每期期末，這才是標準的遞延年金，我們可以通過讀題，非常容易的判別出遞延期m是多少，后續年金期n是多少，那么運用上述三個方法來解決遞延年金是完全沒有問題的。但是一旦我們嘗試把上述的題目改寫，將現金流量產生的時點改成每年年初，那么我們還可以說這道題的遞延期m=5，n=10嗎？顯然是不可以的，畢竟年初（1月1日）與年末（12月31日）之間相差了1整年的時間，但并不意味著我們上述的三種方法就無用武之地了。我們依然可以利用上述方法進行計算，只是有一個前期準備工作就是我們要學會改寫題目。筆者在前文介紹現金流量圖的時候解釋過圖上每個時點的含義，即“時間軸上的每一個數字代表的就是第n期的期末或者第n+1的期初”，通過這一層含義我們可以得知“第6年年初即為第5年年末“，這樣我們就再一次把題目還原成標準的遞延年金問題了，現金流依舊發生在年末，同時還要樹立一個思維就是“既然第5年年末才開始產生凈收益，也就意味著前4年是沒有產生凈收益的”，這個想法就決定了改寫后的題目遞延期m=4，年金期n=11，接下來就是將新確定好的遞延期m，年金期n代入上述三種方法中進行運算即可。

最后還有一個難點不得不提，就是關于期數n的判斷。除了在剛剛論述具體例題的情況下，筆者在描述期數時用到了“年”這個單位之外，其他地方均是以第n期來論述的。這也是資金時間價值學習過程中學生容易犯錯的地方，大多數人會默認期數n的單位是年，但是遇到有些題目計息期短于一年的情況，如日、月、季度、半年等，依舊不會變通，還是直接代公式，這樣的做法是錯的，因為期數n已經不是以“年”為單位了，但是利率i依舊是年利率，這樣的不一致會直接導致計算結果錯誤，這種題目我們只需要將題目的年利率換算成對應的日、月、季度、半年利率等就可以繼續代入公式進行計算了。

綜上所述，資金時間價值的計算需要在掌握其基本計算原理的基礎上，靈活運用多種方法，同時不要刻板的記憶公式，而是在理解的基礎上，結合現金流量圖，改寫句子等方法來更好的處理資金時間價值問題。（作者單位為廣州工商學院）