探究立幾最值 提高數學素養

河南省平頂山市第一中學 張玲敏

河南省平頂山市第一高級中學 劉海洋

探究立幾最值 提高數學素養

河南省平頂山市第一中學 張玲敏

河南省平頂山市第一高級中學 劉海洋

求解立體幾何的最值問題,要么構建目標函數,要么利用幾何性質,探究兩種途徑在發生和發展過程中所蘊含的思維方法,可以提高構建函數模型、直觀想象、邏輯推理、合理運算等核心素養,凸顯空間問題“平幾化、代數化、特殊化、邏輯化”的本質屬性。

一、構建目標函數模型求解立幾最值

1.依據正三棱錐的特征構建函數模型,導數法求解包裝問題中的最值。

例1 某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品,用半徑為1 0c m的圓形包裝紙包裝。要求如下:正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合,包裝紙不能裁剪,沿底邊向上翻折,其邊緣恰好達到三棱錐的頂點,如圖1所示。設正三棱錐的底面邊長為xc m,體積為Vc m3。在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中,V的最大值是多少?并求此時x的值。

圖1

解析:正三棱錐側面開展鋪平內接于半徑為1 0c m的圓內。按照底邊包裝時體積最大,設正三棱錐側面的高為h0,高為h。

當x∈(0,8 3)時,y′＞0,當x∈(8 3,1 0)時＜0,所以當x=8時,y取得最大值,即ymax=1 53 6 0,Vmax=3 2(c m3)。

素養點擊:借助半徑為1 0c m的圓形包裝紙包裝正三棱錐,利用斜高和底面邊長x+h

0=1 0的關系,構建三棱錐體積和邊長的函數模型,導數法求最值解決了包裝的實際應用問題。

2.利用圓錐的幾何特征構建目標函數,通過均值不等式求體積的最值。

圖2

例2 某工件的三視圖如圖2所示,現將該工件通過切割,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用

圖3

解析:作出軸截面,如圖3,設長方體的長,寬,高分別為x,y,h,長方體的上底面與圓錐的截面半徑為a,所以x2+y2=4a2=,所以h=2-2a,所以V=x y h≤h=2a2h=(2 -2a)=

素養點擊:借助圓錐的軸截面探究內接長方體的長、寬、高與圓錐的截面半徑的關系,合理選擇圓錐的截面半徑為變量構建函數模型,利用三元基本不等式求其最值,進而解決了新定義的材料利用率問題。

二、幾何法探求立幾最值

1.利用垂直關系確定高的最值。

例3 (2 0 1 7年云南省部分名校高三1月)表面積為6 0 π的球面上有四點S、A、B、C,且△A B C是等邊三角形,球心O到平面A B C的距離為3,若平面S A B⊥平面A B C,則三棱錐S-A B C體積的最大值為____。

解析:由題意畫出幾何體的圖形,如圖4,因為球的表面積為6 0 π,所以球半徑為,由于面S A B⊥面A B C,所以點S在平面A B C上的射影D落在A B上。設O在平面A B C上的射影為O′,由于O O′⊥平面A B C,S D⊥平面A B C,即有O O′∥S D,當D為A B的中點時,S D最大,三棱錐S-A B C的體積最大。由于O C=,O O′=,則 C O′=,D O′=,故△A B C是邊長為6的正三角形,S△ABC=×62=9 3。在直角梯形S D O′O中,作O E⊥S D于點E,O E=D O′=,D E=O O′=3,S D=D E+S E=+=3 3,即有VS-ABC=S h=×9×3=2 7。

圖4

素養點擊:求底面為定值的三棱錐的體積的最值,可以合理轉化為求高的最大值,借助面面垂直性質和球的屬性再轉化為平面內直角梯形S D O′O下底的長,整個轉化探究過程可以提高同學們的直觀想象、邏輯推理、合理運算等核心素養。

2.依據正方體和正四面體的特征確定最值。

例4 一個棱長為6的正四面體紙盒內放一個正方體,若正方體可以在紙盒內任意轉動,則正方體棱長的最大值為( )。

A.2 B.3 C.1 D.2

解析:正四面體內放一個正方體,可以任意轉動,則這個正方體就是這個正四面體的內切球的內接正方體。容易求得,棱長為6的正四面體的內切球半徑為×6=,于是這個球的內接正方體的體對角線長為6,設正方體的棱長為x,則3x=6,于是x=,即滿足條件的正方體棱長的最大值為,選擇D。

素養點擊:正四面體的內接最大正方體,都是多面體,無法直接尋找關系,我們通過尋找球來過渡,在正四面體和正方體中依靠球來轉換,先尋找正四面體的內切球半徑,再求解這個球的內接正方體的棱長。借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律。

3.鋪平法探究多面體或旋轉體表面上兩點間的距離。

圖5

例5 如圖5,已知圓錐的底面半徑為1,母線A S長為6,M為A S的中點,有一根繩子從A點出發,沿圓錐的側面繞一周到達M點,問繩子最短是____。

解析:如圖5,沿母線S A將圓錐側面展開,A,M點分別對應展開圖中的A1,M1點,則在展開圖中,線段AM1的長度即為最短繩長。因 為 ∠AS A==6 0°,

1S A1=S A,所以△S A1A是正三角形,所以AM1⊥S A1。所以 AM1===3,即繩子最短為3 3。

素養點擊:多面體或旋轉體表面上兩點的最短距離,“沿母線或棱剪開鋪平側面展開化為平面上兩點之間的距離”求解。

注:本文系河南省教育科學“十三五”規劃2 0 1 7年度課題“高中數學核心素養的案例研究”(課題編號:【2 0 1 7】-J K G B-0 7 1 4)的階段性研究成果之一。

(責任編輯 王福華)