多面體體積計算中的多種思維方法

江蘇省沭陽高級中學 陳淮陽

多面體體積計算中的多種思維方法

江蘇省沭陽高級中學 陳淮陽

編者的話:“經典題突破方法”欄目里例、習題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學們更好地領悟數學解題思想方法,通過多解多變培養同學們多思多想的好習慣。學會解題反思,無疑是同學們學習的一條捷徑,愿同學們不斷在反思中進步,在反思中收獲!

對于空間幾何體的體積問題,依據題設的特殊性可以用公式法、割補法、等積變換法、分割法、補形法等求解,凸顯“非規則體化為規則體”的整體思維的具體應用。本文探究幾何體體積計算中的多種思維方法。

一、公式法求體積時的多種思維方法

圖1

例1 如圖1,在三棱柱A1B1C1-A B C中,D,E,F分別是A B,A C,A A1的中點。設三棱錐F-A D E的體積為V1,三棱柱A1B1C1-A B C的體積為V2,則V1∶V2=。

解法1:注意三棱錐和三棱柱它們的底面和高之間的關系,可用公式法求體積比。設三棱錐F-A D E的高為h,則

解法2:構造輔助的三棱錐。連接A1C,AB,則V=V,而VV,所11A1-ABCA1-ABC2以V=V。12

解法3:特殊化處理。若三棱柱A1B1C1-A B C為正三棱柱,設A B=2,A A1=2,則V2=S h=×22×2=2,V1××1=,所以V∶V=1∶2 4。12

感悟:柱、錐、臺的體積計算,確定底面面積和高,用公式V=S h或V=S h或柱體錐體V=(S+S S′+S′)h求解,關鍵是合臺體理選擇底面,尋求頂點在底面上的射影。對于體積比的問題,合理設元,溝通關系,分割成常見的規則體,利用加減法得到錐體與非規則體的體積比。

二、三棱錐體積求解中的“公式法”和“直截面分割法”

例2 已知三棱錐S-A B C的所有頂點都在球O的球面上,S C是球O的直徑。若平面S C A⊥平面S C B,S A=A C,S B=B C,三棱錐S-A B C的體積為9,則球O的表面積為____。

解法1:取S C的中點O,連接O A,O B,因為S A=A C,S B=B C,所以O A⊥S C,O B⊥S C。因為平面S A C⊥平面S B C,所以O A⊥平面S B C。設O A=r,S C是球O的直徑,S A=A C,S B=B C,則 R t△S B C,R t△S A C是等腰直角三角形,且斜邊為2r,高為r,所以=×S×O A=×△SBC×2r×r×r==9,所以r=3,所以球的表面積為=3 6 π。

解法2:取S C的中點O,連接O A,O B,因為S A=A C,S B=B C,所以O A⊥S C,O B⊥S C,S C⊥平面O A B。因為平面S A C⊥平面S B C,所以O A⊥平面S B C,而S C是球O的直徑,則R t△S B C,R t△S A C是等腰直角三角形。設O A=r,則O B=r,且△A O B為等腰直角三角形,于是有VA-SBC=×S×S C=××r×r×2r=r3△AOB=9,所以r=3,則球的表面積為4 πr2=3 6 π。

感悟:對于三棱錐的體積問題,可以任選一面作底面,然后求出該底面對應的高。關于棱對稱的特殊三棱錐,通過作此棱的直截面,將三棱錐分割成共底面的兩個三棱錐,該側棱就是兩個小三棱錐高的和。

三、三棱錐體積計算中的“等積變換法”和“分割法”

例3 如圖2所示,三棱錐A-B C D中,A B⊥平面B C D,C D⊥B D。

(1)求證:C D⊥平面A B D;

(2)若A B=B D=C D=1,M為A D的中點,求三棱錐AMB C的體積。

解析:(1)因為A B⊥平面B C D,C D?平面B C D,所以A B⊥C D。又因為C D⊥B D,A B∩B D=B,A B?平面A B D,B D?平面A B D,所以C D⊥平面A B D。

圖2

(2)解法1:(等積變換法)由A B⊥平面B C D,得A B⊥B D。因為A B=B D=1,所以S=×1×1=。因為M是A D的△ABD中點,所以S=S=×=。△BDM△ABD由(1)知,C D⊥平面A B D,所以三棱錐C-A BM的高h=C D=1,因此三棱錐AMB C的體積V=V=×C D×A-MBCC-DBMS=·1·=。△BDM1解法2:(體積分割法)由A B⊥平面B C D,得平面A B D⊥平面B C D,且平面A B D∩平面B C D=B D。

圖3

如圖3所示,過點M 作MN⊥B D于點N,則MN⊥平面B C D,且MN=A B=。又C D⊥B D,B D=C D=1,所以S=,所以三棱錐A-MB C△CBD的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=(A B-MN)·S=××=。△BCD

感悟:求三棱錐的體積,等積變換是常用的方法,轉換原則是換底使高易求或底面放在已知幾何體的某一面上;求不規則幾何體的體積,常用分割或補形的方法,將不規則幾何體轉化為規則幾何體求解。

四、三棱錐體積計算中的“等積變換法”和“特殊化”

例4 如圖4,已知正方體A B C DA1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段A A1,B1C上的點,則三棱錐D1-E D F的體積為____。

圖4

解法1:(等積變換法)三棱錐D1-E D F的體積即為三棱錐F-DD1E的體積。因為E,F分別為A A1,B1C上的點,所以在正方體A B C DA1B1C1D1中,△E DD1的面積為定值,F到平面A ADD的距離為定11值1,所以V=××1=。F-DD1E

解法2:(特殊化)E點移到A點,F點移到C點,則V=V=××1×1D1-EDFD1-ADC×1=。

感悟:把握正方體的特征,合理選擇底面使高易求,解法1中注意到△E DD1的面積為定值,F到面E DD1的距離為1,從而使問題簡單化;解法2中利用點的特殊性對點進行移動,轉化為對特殊四面體的體積求解,凸顯等價轉化思想的具體應用。

五、正四面體體積計算中的“公式法”和“割補法”

例5 底面邊長為2的正三棱錐P-A B C,其表面展開圖是△P1P2P3,如圖5,求△P1P2P3的各邊長及此三棱錐的體積V。

圖5

解析:在△P1P2P3中,P1A=P3A,P2C=P3C,所以A C是中位線,故P1P2=2A C=4。同理,P2P3=4,P3P1=4。所以△P1P2P3是等邊三角形,各邊長均為4,則三棱錐P-A B C是邊長為2的正四面體。

解法1:(公式法)如圖6,設頂點P在底面A B C內的投影為O,連接B O,并延長交A C于點D,所以D為A C的中點,O為△A B C的重心,P O⊥底面A B C,所以B O=B D=,P O=,V=··2·2··=。解法2:如圖7,把正四面體P-A B C補形為正方體A D B EG PHC。設正方體的棱長為a,則有a2+a2=22,解得a=,所以V=()3-4···)2=。

圖6

圖7

感悟:在棱長為1的正方體中割出一個內接正四面體后,還“余下”4個正三棱錐。每個正三棱錐的體積均為,故內接正四面體的體積為。

六、三棱錐體積計算中的“補形法”

圖8

例6 在四面體A B C D中,設A B=1,C D=3,直線A B與C D的距離為2,夾角為,則四面體的體積等于____。

解法1:如圖8,將四面體A B C D補成四棱錐A-B D C E,且B E∥C D,B E=C D,則∠A B E=或2,B E=,C D∥面A B E,所以C D與A B的距離,即為C D到平面A B E的距離,即C到平面A B E的距離,也就是三棱錐C-A B E的高h=2,所以VA-BCD=VA-BEC=VC-ABE=S=×2××A B×B E×△ABEs i n=。

解法2:如圖9,把四面體A B C D補成三棱柱A B E-F C D,則面A B E∥面C D F,A B∥C F,且C F=1,則A B與C D的距離就是平面A B E與平面F C D的距離,即三棱柱的高h=2,且∠D C F=或。所以V=S·h=×柱△FCDC D×C F×s i n×2=,故四面體的體積V=V=。A-BCD柱

圖9

圖10

解法3:如圖1 0,把四面體A B C D補成平行六面體,則四面體的體積是平行六面體體積的,V平行六面體=·h=×1×3×s i n×2=,故四面體的體積為。

感悟:三棱錐補成四棱錐、三棱柱或正方體可以簡化求體積問題,本題將兩異面的直線段構成的四面體用三種不同的補形探究出其結論:在四面體A B C D中,設A B=a,C D=b,直線A B與C D的距離為h,夾角為θ,則四面體的體積V=a b hs i nθ。

(責任編輯 王福華)