圓錐曲線 “易錯題”歸類剖析

甘肅省禮縣第一中學 楊 薇

圓錐曲線 “易錯題”歸類剖析

甘肅省禮縣第一中學 楊 薇

在圓錐曲線的學習中,同學們由于未從根本上理解曲線與方程之間的一一對應關系,故而在數形結合與轉化時常出現偏差和遺漏,在繁雜的運算中,忽視等價性,導致“失根”或“增根”的現象。本文針對圓錐曲線中常見的易錯、易混、易忘的典型題進行錯解剖析和警示展示,希望能引起同學們的重視。

易錯類型1——忽略圓錐定義中的隱含條件

A.直線 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

剖析:錯解中忽略了定點(1,2)就在直線3x+4y-1 1=0上這個隱含條件,應選A。

警示:平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線。當定點在定直線上時,軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線,而非拋物線。

雙曲線的定義中易忽視2a＜|F1F2|這一條件。若2a=|F1F2|,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若2a＞|F1F2|,則軌跡不存在;若去掉定義中的絕對值,則軌跡僅表示雙曲線的一支。

易錯類型2——忽略橢圓或雙曲線焦點所在位置的討論

警示:由橢圓標準方程求解參數值時,一定要注意焦點所在的位置,當位置不確定時要分兩類進行討論。

易錯類型3——忽略橢圓參數方程(三角換元)的應用

例3 設點P(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,求x+y的最大值、最小值。

錯解:因為4x2+y2=4,所以4x2≤4,解得-1≤x≤1。同理得-2≤y≤2。故-3≤x+y≤3,所以x+y的最大值、最小值分別為3,-3。

剖析:本題中x,y除分別滿足-1≤x≤1和-2≤y≤2條件外,還受制約條件4x2+y2=4的約束。當x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3。選用點參式(三角換元)代入,令x=c o sθ,y=2 s i nθ,則x+y=c o sθ+2 s i nθ=5 s i n(θ+φ),故其最大值為5,最小值為-5。

警示:凡是動點在圓或橢圓上的有關最值問題,用圓或橢圓的參數方程,點參式代入構建目標函數,利用三角變換化為三角函數的有界性求解,凸顯了參數方程的簡化功能。

易錯類型4——直線與拋物線或雙曲線的位置關系研究中忽略特殊情形

例4 已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=2 2,記動點P的軌跡為W。

(1)求W的方程;

錯解:(1)由|PM|-|PN|=2 2知,點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,實半軸長a=2,又半焦距c=2,故虛半軸長b=2,所以W 的方程為-=1(x≥ 2)。

剖析:(1)的解答是正確的。(2)的解答中忽視了直線A B斜率不存在的情況,從而出現A·無最小值的錯誤結論。錯解中應補上“當A B⊥x軸時,x1=x2,從而y1=-y2,所 以·=x1x2+y1y2=x21-=2,則·的最小值為2”。

警示:在直線與雙曲線或拋物線位置關系的研究中,設出直線方程,然后將直線方程和曲線方程聯立組成方程組,消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程。利用根與系數的關系,并結合題設條件建立有關參變量的等量關系,凸顯“設而不解,整體思維”的特點,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形的討論。如本題忽略斜率不存在導致無最小值的結論。

易錯類型5——“點差法”求解與弦中點有關問題時忽略相交的前提條件

例5 已知雙曲線x2-=1,過點B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于兩點M,N,且B為MN的中點?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由。

錯解:設M (x1,y1),N (x2,y2),MN的中點B (x ,y),MN的斜率為k,由題設可知-y=1-=1,兩式相減得(x1++x=2,y+y=2代入,有=k=2122,這說明直線的斜率為2,即y=2x-1為直線l的方程。

剖析:把y=2x-1代入x2-=1,整理得2x2-4x+3=0,Δ=1 6-4×2×3＜0,所以此方程無實數根,即M,N根本不存在,不存在這樣的直線l,上述錯誤的原因是忽視直線和雙曲線相交的前提。

正解1:在錯解的基礎上補充:y=2x-1代入x2-=1,整理得2x2-4x+3=0,因為Δ=1 6-4×2×3＜0,只能說明y=2x-1不滿足。還得研究x=1能否滿足,顯然過B點垂直x軸的直線也不符合題意,則不存在。綜上,這樣的直線不存在。

正解2:用通法,顯然過B點垂直x軸的直線不符合題意。只考慮有斜率存在的情況。設l的方程為y-1=k(x-1),代入雙曲線方程x2-=1,整理得 (2 -k2)x2-2k(1 -k)x-k2+2k-3=0。設M(x1,y1),N(x,y),則有x+x==2,解2212得k=2。由直線與雙曲線必須有兩不同交點,所以Δ=4k2(1 -k)2+4(2 -k2)·(k2-2k+3)＞0,把k=2代入得Δ=-8＜0,故不存在滿足題意的直線l。

正解3:以形助數,作出雙曲線和漸近線,對于漸近線與雙曲線圍成的區域內的任意點,過該點且以該點為中點的雙曲線的弦均不存在,而點(1,1)恰在漸近線與雙曲線圍成的區域內,故不存在滿足題意的直線l。

警示:“點差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點的橫、縱坐標來表示。凡涉及弦的中點等有關問題都可選用“點差法”簡化求解。但用此法必須以直線和圓錐曲線相交為前提,否則就會出錯。

(責任編輯 王福華)