立體幾何 “易錯題”歸類剖析

江蘇省啟東市匯龍中學 樊 勇

立體幾何 “易錯題”歸類剖析

江蘇省啟東市匯龍中學 樊 勇

編者的話:同學們在學習的過程中,難免會出現錯解的現象。本期“易錯題歸類剖析”欄目推出的文章,注重剖析錯解原因,注重補充知識缺陷,注重題目引申變換,希望同學們認真領會,學以致用,不再發生類似的錯解。

立體幾何主要考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、將“空間問題平面化、模型化和代數化”的轉化能力,以及一些重要的數學思想方法的應用。同學們在學習和復習中受認知水平的限制,容易進入種種思維誤區,本文對立體幾何的易錯題歸類剖析,給出提醒,希望助同學們一臂之力。

一、三視圖與空間幾何體體積和面積的計算

易錯點1:三視圖中忽視投影面和實、虛線

例1 在空間直角坐標系O-x y z中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2)。若S1,S2,S3分別是三棱錐D-A B C在坐標平面x O y,y O z,z O x上的正投影圖形的面積,則( )。

錯解:忽視正投影面,選A或B或C。

圖1

剖析:如圖1,把側面當作正投影面,誤認為S2,S3分別為△D O C,△D B C的面積。

正解:在空間直角坐標系內,作出三棱錐在三個坐標平面上的正投影,計算三角形的面積。如圖1所示,△A B C為三棱錐在坐標平面x O y上的正投影,所以S=×2×2=2。1三棱錐在平面y O z上的正投影與△D E F(E,F分別是O A,B C的中點)全等,所以S2=×2×2。三棱錐在平面x O y上的正投影與△D GH(G,H 分別為A B,O C的中點)全等,所以S=×2×=。所以S=32S3且S1≠S3。故選D。

提醒:本題正投影的面積,實質就是四個頂點向坐標平面x O y,y O z,x O z上的正投影的面積,選擇正確的投影面,找到正投影面上的△A B C,△D E F,△D GH進而獲解。

易錯點2:三棱錐體積求解中忽略等積變換

例2 如圖2,在棱長為5的正方體A B C D-A1B1C1D1中,E F是棱A B上的一條線段,且E F=2,Q是A1D1的中點,P是棱C1D1上的動點,則四面體P Q E F的體積是( )。

圖2

A.有最小值的一個變量

B.有最大值的一個變量

C.沒有最值的一個變量

D.一個不變量

錯解:選A或B或C。

剖析:忽略三棱錐體積等積變換的目標。

正解:連接Q A,則Q A為Q點到A B的距離。又因為E F=2,故S△QEF為定值。又因為C1D1∥A B,則由線面平行的判定定理易得C1D1∥面Q E F。因為P是棱C1D1上的動點,故P點到平面Q E F的距離也為定值,即四面體P Q E F的底面積和高均為定值,故四面體P Q E F的體積為定值。故選D。

提醒:對于三棱錐的體積,可任選一面作底面,目標是求出該底面面積和對應的高。

二、直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關系

易錯點3:盲目類比平面幾何中的定理和性質

例3 如圖3所示,已知E,F分別是正方體A B C D-A1B1C1D1的棱A A1,C C1上的點,且A E=C1F。求證:四邊形B E D1F是平行四邊形。

錯解:在正方體A B C D-A1B1C1D1中,平面A1A D D1∥平面B1B C C1,由兩平行平面與第三平面相交得交線平行,故D1E∥F B,同理可證D1F∥E B,故四邊形B E D1F為平行四邊形。

剖析:錯解盲目地套用平面幾何定理。

正解:在△A B E和△C1D1F中,因為A B=C1D1,A E=C1F,∠E A B=∠F C1D1=9 0°,所以 R t△E A B≌R t△F C1D1,所以E B=D1F。同理可證D1E=B F。連接E F,B D1,則它們相交于各自中點,從而B,E,F,D1四點在同一平面內,所以四邊形B E D1F是平行四邊形。

提醒:平面幾何中的有關結論在空間不一定成立,平面幾何的結論在立體幾何中應用遵循兩點:(1)空間中放在同一平面內用;(2)先證明其在空間是真命題再用。

易錯點4:忽視線線垂直和線面垂直的相互轉化

圖3

圖4

例4 如圖4所示,三棱柱A B C-A1B1C1中,點A1在平面A B C內的射影D在A C上,∠A C B=9 0°,A C=C C1。求證:A C1⊥A1B。

錯解:由于缺少線線垂直轉化為線面垂直的意識,導致思維混亂致錯。

剖析:線線垂直常常構造證明一條和另一條所在的平面垂直,注意題設的特殊性,轉化為A C1⊥平面C A1B。

正解:由A1D⊥平面A B C和面面垂直的判定定理知平面A A1C1C⊥平面A B C。

由題設得B C⊥A C,由面面垂直的性質定理知B C⊥平面A A1C1C,則A C1⊥B C。

連接A1C,因為A C=C C1,所以側面A A1C1C為菱形,所以A C1⊥A1C。

故A C1⊥平面C A1B,則A C1⊥A1B。

提醒:兩異面直線垂直,可以通過構建,使一條直線和另一條直線所在的面垂直,進而得到兩異面直線垂直。直線與平面垂直、平面與平面垂直往往須借助直線和直線垂直加以證明。

易錯點5:折疊問題中忽視折疊前后的“不變量”

例5 △A B C的邊B C上的高線為A D,B D=a,C D=b,將△A B C沿A D折成大小為θ的二面角B-A D-C,若c o sθ=,則三棱錐A-B C D的側面△A B C是( )。

圖5

圖6

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.形狀與a、b的值有關的三角形

錯解:選D。

剖析:將平面圖形折成空間圖形后線面位置關系理不清,易出錯。

正解:作出平面圖形(圖5)和空間圖形(圖6),尋求折疊前后在同一平面內的圖形為不變量。如圖6,∠B D C=θ,c o sθ=,且B D=a,C D=b,由余弦定理知c o sθ==, 所以b2=a2+B C2,則B D⊥B C,由三垂線定理知B C⊥A B,故選C。

提醒:平面圖形在折疊過程中,某些幾何元素的幾何量保持不變,或幾何元素間的某些幾何性質或位置關系不變,這些定值問題也是立體幾何中的重要問題,但是我們容易忽視。翻折與展開是一個問題的兩個方面,均要注意平面圖形與立體圖形各個對應元素的相對變化,元素間的大小與位置關系。在翻折過程中,處在同一個半平面內的元素是不變的,弄清這一點是解決這類問題的關鍵。

三、空間角與距離

易錯點6:求點到面的距離找不到點在面上射影的位置

例6 如圖7,在棱長為4的正方體A B C D-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,點P在棱C C1上,且C C1=4C P。求點P到平面A B D1的距離。

圖7

錯解:因為A B C DA1B1C1D1為正方體,所以A B⊥面B C C1B1,所以B P⊥A B,所以B P即為點P到平面A B D1的距離,在R t△B C P中,B P=。

剖析:線面垂直的判定有誤,B P⊥A B,但B P與平面A B D1不垂直,所以點P到平面A B D1的距離不是B P。

正解:連接B C1,在平面B C C1B1中,過點P作P Q⊥B C1于點Q。因為A B⊥平面B C C1B1,P Q?平面B C C1B1,P Q⊥A B,P Q⊥平面A B C1D1,P Q就是點P到平面A B D1的距離,在 R t△C1P Q 中,∠C1Q P=9 0°,∠P C1Q=4 5°,P C1=3,所以P Q=,即點P到平面A B D的距離為。1

提醒:線到面、面到面的距離均可轉化為點到面的距離。點到面的距離可以確定點在面上的射影直接作出來算值,也可以用向量法求解。

易錯點7:混淆異面直線所成角、線面角與兩向量夾角的概念

圖8

例7 如圖8所示,四棱錐P-A B C D中,底面四邊形A B C D是正方形,側面P D C是邊長為a的正三角形,且平面P D C⊥底面A B C D,E為P C的中點。

(1)求異面直線P A與D E所成角的余弦值;

(2)求A P與平面A B C D所成角的正弦值。

錯解:如圖9所示,取D C的中點O,連接P O,因為△P D C為正三角形,所以P O⊥D C。又因為平面P D C⊥平面A B C D,所以P O⊥平面A B C D。

圖9

剖析:(1)異面直線P A與D E所成的角和直線A P與平面A B C D所成的角均為銳角或直角,余弦值一定非負。

(責任編輯 王福華)