解析幾何知識結構與拓展

河南省實驗中學 丁海麗

解析幾何知識結構與拓展

河南省實驗中學 丁海麗

一、知識結構

詳見本期封二。

二、知識拓展

1.直線的傾斜角與斜率的關系。

例1 已知直線xs i nα+y=0,則該直線的傾斜角的變化范圍是____。

思路點撥:直線斜率k=t a nβ(β為直線的傾斜角)在[0,π)上是不單調的且不連續。由直線的斜率求傾斜角的范圍問題,一般借助正切函數在[0,π)上的圖像,數形結合確定斜率與傾斜角的范圍。

解析:由題意得直線xs i nα+y=0的斜率k=-s i nα。因為-1≤s i nα≤1,所以-1≤k≤1。

2.直線方程的分類討論。

例2 (1)a為何值時,直線l1:x+2a y-1=0與直線l2:(3a-1)x-a y-1=0平行?

(2)a為何值時,直線l3:2x+a y=2與直線l4:a x+2y=1垂直?

思路點撥:求直線方程,特別是研究含參數的直線方程問題時,一定要對直線的斜率存在還是不存在進行討論,這是避免出錯的重要方法。

解析:(1)①當a=0時,兩直線的斜率不存在,直線l1:x-1=0,直線l2:x+1=0,此時,l1∥l2。

(2)①當a=0時,直線l3的斜率不存在,直線l:x-1=0,直線l:y-=0,此34時l3⊥l4。

②當a≠0時,直線l3:y=-x +與直線l4:y=-x+,直線l3的斜率為k3=-, 直線l4的斜率為k4=,要使兩直線垂直,必須k3·k4=-1,即-·(-)=-1,不存在實數a使得方程成立。

綜合①②可得,當a=0時,兩直線垂直

跟蹤練習2.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=4,則過點(3,5)且與圓C相切的切線方程為____。

3.圓錐曲線方程的焦點位置。

思路點撥:在求解圓錐曲線方程問題過程中,當焦點位置不明確時要注意依焦點所在位置分情況進行討論,以免造成漏解。

綜上,m=1或1 6。

跟蹤練習3.以坐標原點為對稱中心,兩坐標軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為,求雙曲線C的離心率。

4.定點問題。

例4 已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F作兩條相互垂直的弦A B,C D,設弦A B,C D的中點分別為M,N。求證:直線MN恒過定點。

思路點撥:直線恒過定點是指無論直線如何變動,必有一個定點的坐標適合這條直線的方程,問題就歸結為用參數把直線的方程表示出來,無論參數如何變化這個方程必有一組常數解。本題容易出錯的地方有兩個:一是在用參數表示直線MN的方程時計算錯誤;二是在得到了直線系MN的方程后,對直線恒過定點的意義不清楚,找錯方程的常數解。

跟蹤練習4.已知雙曲線C-=1(a＞0,b＞0)的焦距為2 7,其一條漸近線的傾斜角為θ,且t a nθ=。以雙曲線C的實軸為長軸,虛軸為短軸的橢圓記為E。

(1)求橢圓E的方程。

(2)設A是橢圓E的左頂點,P,Q為橢圓E上異于點A的兩個動點,若直線A P,A Q的斜率之積為-,問:直線P Q是否恒過定點?若恒過定點,求出該點坐標;若不恒過定點,說明理由。

由①②解得a2=4,b2=3,所以橢圓E的方程為+=1。

當m=2k時,直線P Q的方程為y=k x+2k=k(x+2),此時直線P Q過定點(-2,0),顯然不適合題意。

當m=-k時,直線P Q的方程為y=k x-k=k(x-1),此時直線P Q過定點(1 0)。

綜上,直線P Q恒過定點(1,0)。

(責任編輯 劉鐘華