立體幾何知識結構及解題方法

河南省實驗中學 杜 瑜

立體幾何知識結構及解題方法

河南省實驗中學 杜 瑜

編者的話:基本知識和基本技能是高中數學的核心,同學們一定要高度重視。本期特約河南省實驗中學杜瑜等幾位老師為同學們解讀相關知識。河南省實驗中學是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學們通過閱讀,能從中感悟知識的結構與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

一、知識結構框架

二、解題方法

立體幾何是高中數學的主要知識板塊之一,在高考中占有重要位置。解立體幾何試題可以提高同學們的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力,基本的解題方法是綜合法,在這個基本方法下,還有一些技巧性方法,下面做簡單介紹。

方法一:還原幾何體法

類型1.模型法還原空間幾何體

例1 已知某幾何體的三視圖如圖1所示,正視圖和側視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形,俯視圖是邊長為1的正方形,則該幾何體的體積為( )。

圖1

思路點撥:根據三視圖可以判斷該空間幾何體是正方體的一部分,先畫出正方體,再根據三視圖確定空間幾何體。

解析:該幾何體的直觀圖(圖2)為正方體中的一個三棱錐B-A1C1D1,其體積為單位正方體體積的,即該幾何體的體積為。故選A。

圖2

類型2.模型法判斷空間位置關系

例2 已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中為真命題的序號是( )。

①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,則α∥β;

②若l?α,l∥β,α∩β=m,則l∥m;

③若l∥α,α∥β,則l∥β;

④若l⊥α,l∥m,α∥β,則m⊥β。

A.①④ B.①③ C.②④ D.②③

思路點撥:長方體中存在各種平行、垂直關系,構造長方體模型,結合選項,考慮線面位置的各種可能,從而作出判斷。

解析:構造長方體模型。命題①,如圖3,顯然不正確,排除選項A、B。根據選項C,D可知②一定正確,只要判斷③是否正確即可得出結論。對于命題③,如圖4,有直線l在平面β內的可能,所以命題③不正確。綜上可知,正確選項為C。

圖3

圖4

方法總結:長方體、三棱錐等模型包含了空間線面位置關系的所有可能,在進行空間線面位置關系的分析判斷時,借助于幾何模型的直觀作用,能提高解題的準確率。

方法二:展開法

圖5

圖6

例3 如圖5,正三棱錐S-A B C中,∠B S C=4 0°,S B=2,一質點自點B出發,沿著三棱錐的側面繞行一周回到點B的最短路線的長為( )。

A.2B.3

C.2 3 D.3 3

解析:由于質點的運動是沿三棱錐的側面,故把側面展開后,所求的最小距離就是展開后點B與B′之間的線段的長度。把該正三棱錐的側面沿側棱S B展開成平面圖形,如圖6,設B B′的中點為D,連接S D,在△S B B′中,S B=S B′=2,∠B S B′=1 2 0°,所求的最短路線的長度就是B B′的長度,B B′=2B D=2 3。故選C。

方法總結:涉及空間幾何體表面上折線、曲線長度之和的最值問題時,把空間幾何體的表面展開,把折線、曲線轉化為直線。

方法三:割補法

例4 已知某幾何體的三視圖如圖7所示,則該幾何體的體積為( )。

圖7

思路點撥:幾何體是由圓柱切割得來,把其補充為圓柱,利用補充前后的體積關系得之。

解析:該幾何體是一個底面半徑為1,高為4的圓柱被一個平面分割成兩部分中的一個部分,故其體積為π×12×4-×12×2=3 π,選C。

方法總結:涉及空間幾何體表面上折線、曲線長度之和的最值問題時,把空間幾何體的表面展開,把折線、曲線轉化為直線。

方法四:平行線法

類型1.平行線法求兩異面直線所成的角

圖8

例5 如圖8,在正△A B C中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為D E,A F的中點,將△A B C沿D E,E F,D F折成正四面體PD E F,則四面體中異面直線P G與DH所成的角的余弦值為____。

圖9

解析:畫出立體圖形,根據中點找平行線,把所求的異面直線所成角轉化為一個三角形的內角。如圖9,連接HE,取HE的中點K,連接G K,PK,則G K∥DH,故∠P G K即為所求的異面直線所成的角或其補角。設這個正四面體的棱長為2,在△P G K中,P G=3,c o s∠P G K=,即異面直線P G與DH所成的角的余弦值是。

方法總結:兩異面直線所成角的最基本求法是根據定義,把其化為兩相交直線所成的角,平行線法是實現上述轉化的基本方法。

類型2.線面垂直法求線面角

例6 如圖1 0,在三棱柱A B C-A1B1C1中,側棱垂直于底面,底面是邊長為2的正三角形,側棱長為3,則B B1與平面A B1C1所成的角的大小為( )。

圖10

解析:如圖1 1,分別取B C,B1C1的中點D,D1,連接A D,D D1,A D1,顯然D D1⊥B1C1,A D1⊥B1C1,故B1C1⊥平面A D D1,故平面A B1C1⊥平面A D D1,故D D1在平面A B1C1內的射影在A D1上,∠A D1D即為直線D D1與平面A B1C1所成的角。在R t△A D1D中,A D=,D D=3,所以t a n∠A DD=所11以∠A DD=。因為B B∥D D,111所以直線B B1與平面A B1C1所成的角的大小為。故選A。

方法總結:直線與平面所成的角是平面的斜線與其在該平面內射影所成的角,作線面角時離不開線面垂直。

類型3.線面垂直法求二面角

例7 已知點E,F分別在正方體A B C D-A1B1C1D1的棱B B1,C C1上,且B1E=2E B,C F=2F C1,則平面A E F與平面A B C所成的二面角的正切值為____。

思路點撥:兩個平面A E F與A B C有一個公共點A,只要再找到這兩個平面的另一個公共點即可作出兩個平面的交線,然后根據正方體中的垂直關系不難作出二面角的平面角,具體計算即可。

圖11

圖12

解析:如圖1 2,在平面B C1內延長F E與C B相交于點G,過點B作BH⊥A G。又E B⊥A G,所以A G⊥平面B EH,所以EH⊥A G,所以∠BHE是平面A E F與平面A B C所成二面角的平面角。設正方體的棱長為a,可得B E=,B G=a,所以BH=,則t a n∠BHE==。 方法總結:二面角是高考中的一個考查重點,一般偏重使用空間向量的方法求解,實際上幾何法求二面角更為簡潔明了,其關鍵是作出二面角的平面角,基本方法是在二面角的一個半平面內找一點A作另一個半平面的垂線A B,B為垂足,再過垂足B作二面角棱的垂線B C,垂足為C,則可得二面角的棱垂直平面A B C,從而A C垂直于二面角的棱,即∠A C B為二面角的平面角。應用這種方法作出的二面角的平面角在一個直角三角形中,角的求解非常簡單。

圖13

跟蹤練習:如圖1 3,在三棱錐S-A B C中,S A⊥底面A B C,A B⊥B C。D E垂直平分S C,且分別交A C,S C于點D,E。又S A=A B,S B=B C,求二面角E-B D-C的度數。

解析:連接S D(圖1 4)。設S A=1,則A B=1,S B=2,B C=2,S C=2· 2=2。在 R t△S A C中,A C===。

圖14

因為E B是R t△S B C斜邊S C上的中線,所以E B=1,連接S D,則S D平分∠A S C,∠A S D=∠D S E=3 0°。在R t△D E S中,D E=S Et a n 3 0°=1×=,從而C D=A C-A D=-=。

在R t△A B C中,設B D=x(圖1 5)。

圖15

故∠E D C是所求二面角的平面角。

在R t△D E C中,因為∠D C E=3 0°,所以∠E D C=6 0°,故所求二面角的度數為6 0°。

(責任編輯 劉鐘華)