基于ALE方法的平底結構入水沖擊動力特性研究

楊 力，周 勇，李華峰，王 康，張詠鷗，劉土光

(1.華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢 430074；2.武漢第二船舶設計研究所，湖北武漢 430064；3.中國艦船研究設計中心，湖北武漢 430064)

基于ALE方法的平底結構入水沖擊動力特性研究

楊 力1，周 勇2，李華峰2，王 康3，張詠鷗1，劉土光1

(1.華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢 430074；2.武漢第二船舶設計研究所，湖北武漢 430064；3.中國艦船研究設計中心，湖北武漢 430064)

結構沖擊入水作為一種典型的流固耦合問題廣泛存在于船舶與海洋工程領域，特別是作為海洋平臺簡化模型的平底結構有著重要的工程應用背景和學術研究價值。本文采用ALE算法對二維彈性平底結構等速沖擊入水過程進行數值模擬和分析，分別采用Lagrange單元和Euler單元來表征結構和流體，并通過耦合算法實現對流固耦合過程的模擬，分別討論不同質量、剛度及入水速度情況下空氣墊現象對結構底部壓力的影響。計算結果表明，平底結構入水沖擊過程中，底部邊緣處壓力最先達到峰值，隨后沿寬度方向向中心依次出現壓力峰值，且結構等速沖擊入水后的運動為自由振動。沖擊壓力的峰值隨結構質量及剛度的增大而增大，同時沖擊壓力峰值與速度呈線性關系，隨速度的增大而增大，底部斜升角對沖擊壓力峰值的影響十分顯著。通過上述研究為工程應用中的結構強度設計提供重要依據。

平底結構；沖擊入水；流固耦合；ALE算法

0 引 言

結構沖擊入水是涉及到固、液、氣三者之間相互作用的典型流固耦合問題，針對該問題的研究方法主要有解析方法、試驗方法和數值方法3種。最早對沖擊現象進行理論研究的是Karman[1]，將水上飛機降落過程簡化為二維楔形體入水的數學模型，并把流體對結構的作用用附加質量來代替，提出用附加質量法計算結構入水的沖擊載荷，同時基于動量守恒定律推導出入水沖擊載荷的計算公式。隨后，W agner[2]對Karman的方法進行完善，考慮到水面的抬升現象提出了小斜升角模型的近似平板理論。

試驗是早期研究入水問題的主要方法。Worthington[3]早在1900年就利用當時的閃光攝影技術觀測小球在落入不同液體時的飛濺及空泡現象，并采用高速攝像技術捕捉到剛性球入水過程圖像。率先發現平底結構沖擊入水過程中空氣墊存在的是Chuang[4]，通過平底箱入水實驗觀測到在結構與水面接觸瞬間在結構底部與水面之間始終存在著一層氣泡，該氣泡持續一段時間并最終消失，此外采用2只Mainer船型的二維分段膨體模型來研究結構的彈性對沖擊力的影響。黃震球等[5]研究了在平底體兩側設置不同翼緣高度和翼緣間距對減小平底體沖擊壓力的影響。李國鈞等[6]擬合出一組底部傾角與沖擊壓力峰值關系的計算公式。

21世紀以來，隨著計算機技術的發展，人們開始通過數值仿真方法研究結構入水問題。盧熾華等[7]研究了二維彈性結構的入水沖擊問題的數值方法，通過耦合有限元方程和邊界元方程來求解流場和結構動力響應的相互作用的運動方程。夏斌等[8]對平底結構入水問題進行仿真研究，討論了沖擊速度、底部平板厚度、彈性模量與彎曲剛度對結構沖擊壓力峰值的影響，并通過正交實驗分析了各參數對沖擊壓力峰值的影響程度。進一步，陳震等[9–12]利用 MSC.Dytran 模擬出空氣層與水面的混合情況，并對空氣墊的形成、底部壓力峰值及分布作了詳盡分析，還基于神經網絡方法對底部沖擊壓力作出預報。Matej Vesenjak等[13]基于LS-DYNA評估了不同的方法對簡易容器盒里流體晃蕩問題的計算結果，并與試驗觀測結果進行對比。Oger等[14]用無網格 SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法模擬了二維楔形結構沖擊入水的流固耦合過程。Gong等[15]則對二維楔形結構沖擊入水SPH模型的邊界條件作出改進，通過在邊界加上實體海綿層來模擬無反射邊界條件。吳家鳴等[16]利用Fluent軟件的VOF（Volume of Fluid）方法模擬大型平底結構在一定高度自由下落沖擊限制水域引起的三維流體動力現象。Hu等[17]采用同樣的方法在2013年海底作業工具入水過程數值仿真的研究報告中分析了二維平底模型勻速垂直進入靜水的水動力問題。

本文針對二維平底結構等速沖擊入水過程，采用ALE方法對不同質量、剛度、入水速度及底部斜升角情況下的入水沖擊動力特性進行研究。

1 基本理論

1.1 彈性平底結構的入水過程

一般情況下彈性平底結構入水過程可分為3個階段[8]，如圖1所示。0～T1時結構以速度V從空中垂直沖向水面。由于結構距水面的距離較長，空氣可向四周逃逸，此時結構底部的壓力載荷幾乎為0。t=T1時刻結構下降到距水面某極近處，結構底部的壓力載荷迅速上升。此時自由液面充當空氣的動邊界，空氣介質被迅速壓縮，密度、內能及壓力迅速升高，沖擊開始。沖擊壓力在極短時間T1～T2內產生第1個峰值并快速衰減下去。該階段也叫做氣體壓縮階段（The Compression Phase）。T2～T3時間內，在重力、靜水壓力的作用下結構繼續下降。結構對水平面造成擾動使靜水液面升高，當V（入水速度）較大時可能產生飛濺效應。此期間沖擊壓力會產生第2個峰值，與第1個峰值相比，該峰值明顯較小而且時間周期長。故稱該階段為液體運動階段（The Fuild-Displacement Phase）。當結構的剛度不夠時在此階段可能產生負壓的情況。通常對于結構強度設計來說，重點關注的是第1個峰值的大小。

空氣墊的理論模型如圖2所示，假設空氣為可壓縮的理想氣體，水為無粘不可壓縮理想流體。Chuang通過分析平底箱沖擊入水試驗的結果總結出：在平底結構沖擊入水時，一些空氣也會隨同壓入水中，破碎成氣泡并引起自由液面變形。由于平底結構與水面之間存在空氣墊，作用在平底結構上的壓力峰值實際上比理論值小很多，使得沖擊壓力持續時間延長。空氣墊并非完全以一相狀態存在，而是一些脫離水面的水質點與空氣混合在一起形成的氣水混合物。它的狀態和流動形式很不穩定，氣水比例也發生變動，這給理論描述帶來了困難。近期試驗表明，混合區域首先是出現在平底邊緣，尺寸為平底結構半寬的1/3，而其他區域此時還沒有接觸到水面，之后底部被困的空氣通過邊緣的混合區域向四周逃逸。由于沖擊的瞬態性以及試驗條件的限制，目前尚無法達到對空氣墊的各種物理屬性進行精確測量，這給空氣墊的定量分析帶來困難。

1.2 ALE方法

1.2.1 ALE方法的理論基礎

通常動力學計算可采用Lagrange，Euler和ALE（Arbitrary Lagrangian-Eulerian）3 種算法：Lagrange算法以物質坐標為基礎，應用于固體結構的應力應變分析。其結構變形與網格變形相對應，物質在網格單元之間不會有流動。該算法的主要優點是能夠較精確地描述結構邊界的運動，而本身算法的限制在處理大變形問題時網格會有嚴重的畸變現象，對計算結果有影響。Euler算法以空間坐標為基礎，應用于流體分析。網格和結構相互獨立，可視為2層網格疊加在一起，其中一層網格在空間中固定不動，另一層網格隨材料流動。材料網格發生變形而后將材料單元的狀態變量映射到空間網格中。該方法適于處理大變形問題如流體的流動，但在物質邊界的捕捉上較為困難。ALE方法基于流體動力學數值模擬問題中的有限差分法。該方法兼有前2種算法的優點，即先用L a grange方法處理結構的運動邊界，跟蹤物質結構邊界運動，再用Euler算法劃分網格，使網格獨立于結構，讓物質可以在網格間流動。因此ALE網格在求解過程中可根據定義的參數適當調整網格，以免網格出現嚴重畸變。該方法也適用于處理空間大位移、結構大變形等問題。

不可壓縮流體的運動微分方程可以描述為：

其中u為流速；p為壓力；初始條件及邊界條件分別為：

在ALE算法中引入除Lagrange和Euler坐標之外的另一個任意的參照坐標系，此參照坐標系屬性可用式（5）的微分關系來表征：

其中，Xi為Lagrange坐標；xi為Euler坐標；wi為兩者相對速度。

因此，由材料及參考幾何構型的時間導數之間的邏輯關系可推得所求的ALE方程。

假設物質速度為v，網格速度為u，為簡化上述方程可以引入相對速度w=v–u。ALE算法的微分方程可由下述方程給定：

1）質量守恒方程

2）動量守恒方程

在固定控制域上，根據給定的初始邊界條件，得出Navier-Stokes方程的ALE表述：

應力張量σij用式（8）表示：

其中：

式中：Г為完整的計算域邊界，Г1和Г2為Г的部分域。上標參數表示初始的定值。ni為邊界外法線的單位向量，δij為K roneckerδ函數。若給定了整個計算域在t=0時刻的速度場，即

3）能量守恒方程

流體力學中有2種方法表示歐拉觀點，因此求解ALE方程也有2種方法：第1種是用計算流體力學方法求全耦合問題。但該方法只能控制單個單元的單一屬性；另一種方法是算子分離計算法，此方法通過時間步來劃分，每個時間步上又分成2個階段。首先采用Lagrange方式，即網格隨著物質一起運動，其中由計算速度、內外力引起的內能改變量平衡方程為：

由于單元的邊界沒有物質流過，因此滿足質量守恒。在第2個對流階段，對邊界上的質量輸運、動量以及內能進行計算，可以認為是將Lagrange過程中移位網格重新映射至初始位置或者任意位置。

對每個節點，將其速度和位移表達式重新述寫：

1.2.2 流固耦合算法

ALE算法。基本單元是定義一個流固耦合面即結構和流體的交界面，如圖3所示，結構和流體分別采用Lagrange單元和Euler單元，通過約束條件將兩者耦合起來，從而力學參量即可聯系在一起。此算法中歐拉材料的流動產生的壓載荷會自動作用到結構網格上，與此同時結構網格產生的變形又會影響歐拉材料的流動及對應的壓力值。因此完全耦合的流體-結構響應可以用此方法表達。

1.2.3 時間積分

在數值計算中，Euler算法需要穩定的時間步?t，即需滿足：

其中?x為單元特征長度，c為材料聲速，u為質點速度函數。

時間步?t還應滿足Courant穩定條件（Hallquist 1998）：

式中：?x為單元特征長度；Q為沖擊波粘度的導出項；C1為沖擊波粘度線性系數；C2為2次項系數。當材料被拉伸時，Q取0；當材料被壓縮時，Q取正值。

固體物質的材料聲速為：

式中：ρ為材料密度；G為剪切模量；P（ρ，e）為狀態方程壓力；式（22）右邊第2項可以計算當材料受壓時由于內能變化導致的硬化效應數。

若為流體物質則：

式中：ρ0為流體質量密度；c為聲速；計算聲速時忽略流體物質的粘度。

對位移x矢量以及速度u矢量進行更替：

其中：加速度矢量an=Fn/M；Fn為節點上總的力矢量；M為質量矩陣。再將式（25）中的加速度項代入則有：

由于節點內力可表達為應力σn的函數，該應力包括偏應力項-PnId及材料強度矢量：

式中：Bt為應變-位移矩陣；Id為應變張量的第一不變量。外力矢量又分為體積力、邊界力、非反射邊界條件及接觸力。

Lagrange結構（從物質）和Euler流體（主物質）間的相對位移d。檢查每一個從節點相對于主物質表面的情況，如果不貫穿就無需做任何操作。如果貫穿，界面力F應分布至Euler流體物質的節點上。其中界面力F的大小與貫穿數量有如下關系：

式中ki為基于節點質量模型特性的剛度系數。

2 仿真模型

2.1 幾何模型

為減小數值仿真的計算量，忽略長度方向的影響，將實際三維的平底結構入水沖擊模型簡化為“二維”，即整個模型在厚度方向只取一個單元，并約束整個模型沿厚度方向的位移。本文所采用的二維平底結構入水沖擊模型如圖4所示，空氣域寬4m、高1m，水域寬 4m、深 2m，結構寬 0.4m、高 0.2m、厚 0.02m，結構距水面的初始距離為0.05m，整個模型厚度方向取1mm。

為抑制沖擊波在邊界產生反射導致反射波與結構發生耦合作用，需模擬無限流體域，即在流體域的邊界定義無反射邊界條件。同時無反射邊界條件的定義使得整個流體域不需要很大，這有利于降低計算成本。實際上從結構開始下落到沖擊入水有很長一段距離，模擬這一段過程需消耗大量的計算成本，因此忽略結構自由下落過程，初始狀態取結構在距水面一小段距離處以等速沖擊入水，以提高計算效率。

2.2 計算參數

結構采用Lagrange單元，流體（空氣、水）采用Euler單元，結構的外表面為流固耦合面，采用ALE算法。在結構底部取40個觀測點，用來擬合整個底面上的壓力情況。空氣和水的網格需共節點，結構與流場不共節點。結構和流場均取Solid 164實體單元，結構劃分為Lagrange單元，流場劃分為Euler單元，采用ALE罰函數耦合算法計算流固耦合作用。為提高計算精度需將網格細化，考慮到計算成本，本文對流固耦合區域的網格進行局部細化，比例為10:1，如圖5所示。

本文研究彈性平底結構的沖擊入水過程，結構的材料模型采用密度為 7 800 kg/m3、彈性模量為 2.1×1011Pa、泊松比為0.3的線彈性材料。水的密度為998 kg/m3，動力粘性系數為 0.87×10–3。空氣的密度為 1.25 kg/m3，動力粘性系數為1.74×10–5。空氣和水分別采用線性多項式狀態方程和Gruneisen狀態方程進行描述。

2.3 收斂性驗證

采用入水速度為10m/s為典型模型來研究平底結構沖擊入水全過程。取 t=5ms，7ms，10ms，14ms，17ms，20ms六個時刻的結果圖，可以觀察到出入水過程中自由液面的變化情況、空氣墊的形成過程及飛濺效應。

網格劃分對數值結果收斂性至關重要。網格越小相應計算成本也越大，但只有在網格細化到一定程度時數值計算結果才會收斂。本文采用的結構-流體網格比例為1:1，圖7對比了5mm網格和2.5mm網格的底部均壓的計算結果，通過該圖可以看出5 mm時網格已經收斂。圖中5mm網格時第1峰壓為5.195 MPa，2.5mm網格時第1峰壓為5.026 MPa，相對誤差僅為3.36%，小于5%，符合工程預報的要求。本文采用2.5mm網格進行計算。

此外，將仿真結果Chuang經驗公式、李國鈞試驗公式對比發現，10m/s入水速度時Chuang經驗公式計算出的剛性壓力理論值為5.048MPa，李國鈞試驗公式計算出的理論值為4.802MPa，均與該數值仿真結果相近，較5 mm的網格2.5 mm網格的結果精度較高，2種網格的計算誤差分別為0.44%和4.66%。

3 結果分析

3.1 底部壓力

將所有觀測點的壓力峰值沿寬度方向表示可得到結構底部壓力分布情況，如圖8所示。該圖的橫坐標與縱坐標均采用無量綱量表示，橫坐標為無量綱量X/L，X為底部取值點距邊緣的距離，L為結構半寬；縱坐標P為底部取值點的壓力值。圖中可以得出，當X/L=1時P為5.596MPa，由于空氣墊對中心區域的沖擊產生緩沖作用使得結構底部壓力值從中心點沿寬度方向向兩側遞增，并在X/L=0.425時出現最大值，為6.219MPa，隨后急劇衰減。

從圖9可以看到底部邊緣處最先達到峰值，隨后沿寬度方向向中心依次出現壓力峰值。空氣墊的緩沖作使得中心區域幾乎同時達到最大值，其中中心點附近會略先達到最大值。

3.2 結構質量對沖擊壓力的影響

根據Karman理論，沖擊壓力的大小與結構入水時的動量有關，本文采用統一的模型，通過僅改變結構的密度參數來討論結構質量對沖擊壓力的影響。取3 900 kg/m3，5 850 kg/m3，7 800 kg/m3，9 750 kg/m3，11 750 kg/m3五種密度作對比，計算出結構的質量分別為：0.087 36 kg，0.131 04 kg，0.174 72 kg，0.218 40 kg，0.262 08 kg。其中 0.174 74 kg 為典型模型的質量，記為M，于是這5種結構的質量可轉化為0.5M，0.75M，M，1.25M，1.5M，從而可得結果圖 10。

從圖10中取5條曲線中心點的值記為P0，最大值記為Pmax，Pmax–P0為最大值與中心點處的差值，P0/Pmax為中心點的值與最大值之比，Xmax為出現最大值的位置，列出表1。

表1 質量對沖擊壓力峰值的影響Tab.1 Effect of mass on pressure

表中可以得出，隨著質量的增大，沖擊壓力值增大。而Pmax–P0減小，P0/Pmax增大則表明空氣墊的作用隨之減弱，最大值的位置沿寬度方向向中心移動。

由于結構的質量由密度與體積2個參數同時決定。當結構質量為M時，取上述5種密度并將結構改為相應的板厚，討論質量不變情況下不同密度對沖擊壓力的影響如圖11所示。從圖中可以得出，質量相同時密度越大沖擊壓力越大。

3.3 結構剛度對沖擊壓力的影響

在結構入水沖擊問題中平底結構的彈性效應一直都是人們關注的重點內容。在結構靜力學中，彎曲剛度D是表征結構彈性特征的一個重要物理量。當載荷和邊界條件確定時，結構的變形完全由彎曲剛度決定。本文采用統一的模型，通過改變結構的彈性模量和泊松比來討論結構剛度對沖擊壓力的影響。

取 1.05×1011Pa，1.575×1011Pa，2.1×1011Pa，2.65×1011Pa，3.15×1011Pa五種彈性模量作對比分析，如圖12所示，其中2.1×1011Pa為典型模型的彈性模量，記為 E0，于是其他 4 種彈性模量可轉化為 0.5E0，0.75E0，E0，1.25 E0，1.5 E0。

取不同的彈性模量作對比分析繪制表2，從表中可看出，隨著彈性模量的增大，彎曲剛度增大，沖擊壓力值增大。而Pmax–P0增大，P0/Pmax減小則表明空氣墊的作用隨之增強，最大值的位置基本不變。

取0.22，0.26，0.3，0.34，0.38五種泊松比作對比分析繪制表3。表中可以得出，隨著泊松比的增大，沖擊壓力值增大。而Pmax–P0增大，P0/Pmax減小則表明空氣墊的作用隨之增強，最大值的位置基本不變。

3.4 結構入水速度對沖擊壓力的影響

在Karman理論中，沖擊壓力的大小與結構入水時的動量有關，而影響動量大小的另一個重要因素就是速度。入水速度與結構下落的高度有關，因此討論結構入水速度對沖擊壓力的影響從側面反映了下落高度對入水沖擊壓力的影響。本節取 7m/s，12m/s，17m/s，22m/s，27m/s，32m/s，37m/s 七種入水速度進行對比，從圖中可以看出，速度對底部壓力分布情況的影響不顯著。

表2 不同彈性模量對沖擊壓力的影響Tab.2 Effect of different elastic moduls on pressure

表3 不同泊松比對沖擊壓力的影響Tab.3 Impactof differentpoisson ratioson pressure

取 7m/s，12m/s，17m/s，22m/s，27m/s，32m/s，37m/s七種入水速度進行對比。表中可以得出，隨著速度的增大，沖擊壓力值增大。而Pmax–P0出現波動，P0/Pmax增大，最大值的位置在小范圍內波動，可見速度對空氣墊作用的影響較為復雜。

表4 入水速度對沖擊壓力的影響Tab.4 The impact of water velocity on pressure

3.5 結構底部斜升角對沖擊壓力的影響

在船舶與海洋工程領域的實際應用中，船體結構底部會有一定角度的斜升角。前人通過一系列不同斜升角的楔形體模型入水沖擊實驗來研究斜升角對結構底部壓力的影響。其中，李國鈞等[7]通過對該問題進行實驗研究得出的結論為：從0°開始峰值壓力P隨傾角β的增大而增大，在達到臨界傾角β*（β*=2°～3°）后又會隨β的增大而減小。

本節取 1°，2°，3°，4°，5°五種底部斜升角討論其對沖擊壓力峰值的影響情況，其余參數與典型模型保持一致。如圖15所示。0°～2°時沖擊壓力峰值隨底部斜升角的增大而增大，在約2°時達到峰值后又會隨底部斜升角的增大而減小，3°之后其值趨于穩定。該結果與李國鈞得出的結論基本一致。

4 結 語

本文采用ALE方法對二維彈性平底結構等速沖擊入水過程進行數值模擬仿真研究，得出了如下主要結論：

1）平底結構入水沖擊過程中，底部邊緣處最先達到峰值，隨后沿寬度方向向中心依次出現壓力峰值。底部中心區域（X/L=0～0.6）形成空氣墊，空氣墊對該區域的沖擊產生緩沖作用。其緩沖作用在中心點處最明顯，并沿寬度方向向兩側減弱，在X/L=0.6處為空氣墊的邊緣，出現壓力最大值。

2）結構等速沖擊入水后的運動為自由振動。沖擊壓力的峰值隨結構質量的增大而增大。不同質量下底部均壓的峰值幾乎出現在同一時刻，壓力分布曲線的形狀基本一致，質量越小整個底部的壓力值均越小。同時，質量越小空氣墊的作用越明顯，空氣墊邊緣的位置會隨結構質量的增大向底部中心移動。

3）沖擊壓力的峰值隨剛度的增大而增大。不同剛度下底部均壓峰值出現的時刻隨剛度的減小而順延，沖擊作用時間的長短會隨彈性模量的減小而延長，壓力分布曲線的形狀基本保持一致。同時，剛度越大空氣墊的緩沖作用越明顯，且不同剛度下空氣墊的邊緣位置幾乎不變。

4）沖擊壓力峰值與速度呈線性關系，隨速度的增大而增大。速度對底部壓力分布情況的影響并不顯著。

5）底部斜升角對沖擊壓力峰值的影響十分顯著。0°～2°時沖擊壓力峰值隨底部斜升角的增大而增大，2°～3°時隨底部斜升角的增大而減小，3°之后其值趨于穩定。

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Research on im pact characteristics of water entry of a flat-bottom structure based on ALE method

YANG Li1,ZHOU Yong2,LIHua-feng2,WANG Kang3,ZHANG Yong-ou1,LIU Tu-guang1
(1.School of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China;2.Wuhan Second Ship Design and Research Institute,Wuhan 430064,China;3.China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China)

Asa typical fluid-structure coupling problem,structure impacting into water is widely used in the field of ship and ocean engineering,especially as a flat model of offshore platform.It has important engineering application background and academic research value.In this paper,the ALE algorithm is used to simulate and analyze the two-dimensional elastic flat-bottomed structures under constant velocity impact.The Lagrange element and Euler element are used to characterize the structure and fluid.The simulation of the fluid-solid coupling process is realized by the coupling algorithm.The influence of air cushion on the bottom pressure of the structure,the conditions of mass,stiffness and water velocity are discussed.The results show that the pressure at the bottom edge of the flat bottom structure first reaches the peak value,and then the pressure peak appears in the direction of the width direction,and the motion after the constant velocity impact into the water is free vibration.The peak value of impact pressure increases with the increase of structure mass and stiffness,and the peak value of shock pressure has a linear relationship with velocity,increases with the increase of velocity,and the effect of the bottom angle on the peak value of impact pressure is significant.The above study provides an important basis for structural strength design in engineering application.

flat-bottom；structure impact into water；fluid-structure interaction；ALE algorithm

U663

A

1672–7649(2017)12–0125–09

10.3404/j.issn.1672–7649.2017.12.027

2016–11–10

國家自然科學基金資助項目(10702022)；華中科技大學青年教師基金資助項目(0114140034)

楊力(1993–)，男，碩士研究生，研究方向為計算流體動力學、流固耦合。