例談高中數學思想方法的運用

李學東

摘要：數學思想方法是數學知識的精髓，高中數學常用的思想方法有：函數與方程的思想、數形結合的思想、分類整合的思想、轉化與化歸的思想、特殊與一般的思想

關鍵詞：函數與方程；數形結合；分類整合；轉化與化歸；特殊與一般

數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的催化劑。筆者結合多年的教學經驗，以具體的實例來談談高中數學思想方法的運用，希望對讀者朋友們能有所借鑒。

一、 函數與方程的思想

【例1】已知A（0，1）、B（2，3）拋物線y=x2+mx+2，若拋物線與線段AB相交于兩個不同的交點，求實數m的取值范圍。

解析：線段AB的方程為y=x+1（0≤x≤2），由已知條件y=x+1

y=x2+mx+2

在[0，2]上有不相等的實數根，消y化為關于x的一元二次方程，由x+1=x2+mx+2，得x2+（m-1）x+1=0.

設函數f（x）=x2+（m-1）x+1則

f-m-12<0

f（0）≥0

f（2）≥0

0<-m-12<2

解得：-32≤m<-1

故實數m的取值范圍是：-32，-1

函數與方程思想，就是要找到已知量與未知量之間的等量關系，然后設未知數、列方程或方程組，再解方程或方程組等步驟，從而達到求值目的，函數與方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。

這種思想的運用技巧主要有：求變量的取值范圍，常常轉化為求該函數的值域；通過構造函數，利用函數的性質進行解題。在解題過程中還應注意：要從分析問題的結構入手，找出主要矛盾，抓住某一關鍵變量，把等式看成關于這個主變量（常設為主元）的方程，再具體研究這個方程；數學中常見的如求曲線的交點，函數的值域等問題常常轉化為方程問題來解決。

二、 數形結合的思想

【例2】已知實數x，y滿足y=9-x2求m=y+3x+1的取值范圍。

解析：y=9-x2≥0，變量x，y表示一個半圓，而m=y+3x+1=y-（-3）x-（-1），這與斜率公式結構相吻合，因此我們可以看做動點D（x，y）到定點M（-1，-3）兩點連線的斜率，所以我們可以用數形結合的方法來求解。點D（x，y）在半圓y=9-x2≥0上，定點M（-1，-3），所以m=kDM，又已知的半圓與x軸的交點為N（-3，0），Q（-3，0）

kMN=-3-0-1-（-3）=-32，

kMQ=-3-0-1-3=34，結合圖形知，所求m的取值范圍為：- ，-32∪34，+

數形結合的思想是把數量關系轉化為圖形的性質，或者是把圖像的性質轉化為數量關系，這種解決問題過程中“數”與“形”相互轉化的研究策略，就是數形結合的思想。在運用過程中，由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要有轉化的意識，所以數形結合思想的運用常常偏重于由“數”到“形”的轉化。

數形結合的運用技巧主要有：以形助數、以數解形。前者主要體現在如利用曲線方程、直線的斜率、單位圓、兩點間距離、點到直線的距離、直線的截距、函數的圖像等來解題；后者主要體現在平面解析幾何、向量坐標運算、立體幾何中空間向量的坐標運算等來解題。

三、 特殊與一般的思想

常用技巧主要有：通過構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運動變化問題、不確定問題等。

如果同學們能夠熟練掌握高中數學的這些基本的思想方法，那么對于解數學題來說，基本上可以“以不變應萬變，萬變不離其宗”。中國有句古話叫“授人以魚不如授人以漁”，說的就是這個道理。endprint