周期函數的周期與定義域

董恩榮　曾濤

摘要：在函數的幾大特性中，周期性應用比較廣泛，但在周期函數的應用中，往往忽略周期函數的定義域，總是不自覺的擴大化使用“周期函數定義域無界和周期T有無窮多個”這一結論，而忽視了周期函數定義域的“上界和下界”與周期T之間的關系，本文就周期函數的周期和它的定義域之間的關系進行探討，希望對讀者有所幫助和借鑒。

關鍵詞：周期；周期函數；上界；下界

我們僅就大部分教材中常見的周期函數的定義進行討論。

定義對于函數y=f（x），如果存在一個非零的常數常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數y=f（x）叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的一個周期。

對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做這個周期函數f（x）的最小正周期。

我們知道，周期函數的周期有無窮多個；周期函數的定義域無界。但有很多學生往往都是這樣理解的：如果周期函數f（x）有一個周期

T，則kT，k∈Z，k≠0也是f（x）的周期。他們往往忽略了函數的定義域D。

例如，正弦函數y=sinx，x∈R對于任何一個常數2kπ，k∈Z，k≠0

都是這個函數的周期。最小正周期為2π。

對于任意一個周期函數，是否也有類似的結論？如此我們有必要進行討論。

首先，我們有結論：

設周期函數f（x）的定義域D，T是f（x）的一個周期，則kT（k∈N+）是f（x）的周期。

證明：設f（x）的周期T，定義域為D，由周期函數的定義：

對x∈D，有f（x）=f（x+T），于是x+T∈D；

f（x）=f（x+T）=f（（x+T）+T）=f（x+2T），2T是f（x）的一個周期，且x+2T∈D；

f（x）=f（x+2T）=f（（x+2T）+T）=f（x+3T），3T是f（x）的一個周期，且x+3T∈D；

……

對x∈D，有f（x）=f（x+kT），k∈N+，即kT也是f（x）的周期。

對于周期函數的定義域和它的周期，我們有如下的結論。

1. 周期函數f（x）的定義域D有下界（m∈R，對x∈D，都有x≥m，則x≥m），則f（x）的周期T>0，且kT，k∈N+也是f（x）的周期，此時，定義域無上界（M∈R，對x∈D，都有x≤M）。

下面，我們分別進行討論：（以下“[]”表示取整函數）

（1）周期函數f（x）的定義域D有下界，則f（x）周期T>0，我們采用反證法：

設周期函數f（x）的定義域為D，D有下界m，若函數f（x）存在周期T<0，令x0∈D，有

x0≥m，且f（x0+kT）=f（x0），k∈N+；

令k=m-x0T+1，則k>m-x0T，于是kT

所以，x0+kT

所以，T一定大于0。

（2）周期函數f（x）的定義域D有下界，則D無上界

由（1）設f（x）的周期T>0，則kT，k∈N+是f（x）的周期，

對x∈D，令k=|x|T+1，則x0=x+kT≥x+|x|≥0，且f（x0）=f（x+kT）=f（x），即存在x0∈D，且x0≥0。

設x0∈D，且x0≥0，對M>0，令k=MT，由MT+1>MT

得x1=x0+kT>x0+MT×T=x0+M≥M且f（x1）=f（x0+kT）=f（x0），于是x1∈D。

即對M>0，都x1∈D，且x1>M，所以，f（x）的定義域D無上界。

事實上，這樣的周期函數是存在的，例如f（x）=sin（x）2是周期函數，它的定義域是[0，+∞）周期是2kπ，k∈N+。

再如，數列{an}：1，-1，1，-1，1，-1，……，（-1）n+1，……

f（n）=（-1）n+1，n∈N+，2k（k∈N+）都是函數f（n）的周期。

同理：

2. 周期函數f（x）的定義域D有上界，則f（x）的周期T<0，且kT，k∈N+也是f（x）的周期，此時定義域無下界。

3. 周期函數f（x）的定義域D既無上界也無下界，T是f（x）的一個周期，則kT，k∈Z，k≠0也是f（x）的周期。

設周期函數f（x）的定義域D既無上界也無下界，T是f（x）的一個周期，由周期函數的定義，對x∈D，f（x+T）=f（x）與f（x-T）=f（x）是等價的。

即在定義域D上下均無界的條件下，f（x）的值每隔T函數值相等與f（x）每隔-T函數值相等是等價的（區別僅僅是自變量在定義域內的取值由左到右還是由右到左而已）。于是：

若周期函數f（x）的定義域D既無上界也無下界，T是f（x）的一個周期，則-T也是f（x）的一個周期。

反之，如果周期函數f（x）存在周期T>0，則f（x）的定義域D無上界；如果周期函數f（x）存在周期T<0，則f（x）的定義域D無下界；如果周期函數f（x）存在周期T1>0，也存在周期T2<0，則f（x）的定義域D無上、下界。

綜上所述，周期函數的周期可能只是正數，可能只是負數，也可能是正負數互存，它們受函數的定義域制約，所以在討論周期函數時，定義域是一個不可忽略的條件。

參考文獻：

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