淺談化歸思想在競賽數學解題中的應用

李坤

摘要：數學競賽試題具有綜合性強、涉及面廣、技巧性突出、解題方法靈活等特點。學生在面對數學競賽題目無法利用已知的模型加以解決時，就需要學會考慮采用其他的解題策略。其中，化歸思想就在尋求解題策略的過程中扮演了一個重要的角色，它將問題化繁為簡、化生為熟、化曲為直、化未知為已知，同時也符合人類認知問題的基本規律。

關鍵詞：化歸思想；競賽數學；解題策略

數學問題解決的過程，是實現轉化的過程。化歸思想是一切數學思想方法的核心，是解決數學問題廣泛應用的思想方法之一。化歸，是轉化和歸結的簡稱，是指將所要解決的問題A經過某種變化，使之歸結為另一個問題B，再通過對問題B的求解，把結果作用于問題A，從而使問題A得解。匈牙利數學家路沙彼得說：“對于數學家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能解決的問題。”由此說明，化歸思想的核心就是尋找將問題化繁為簡、化生為熟、化曲為直、化未知為已知的解題策略。法國數學家笛卡爾利用化歸思想，將幾何問題化歸為代數問題，創立了解析幾何這門新學科，并且提出了化歸思想是解決問題的“萬能的方法”模式。

競賽數學中，常見的利用化歸思想解決問題的方法包括：換元法、數形結合法、構造法、參數法、直接轉化法、等價轉化法、特殊化方法、正難則反法、坐標法、類比法等。筆者將以其中幾種方法為例，通過競賽試題的分析和解答來體現化歸思想在數學解題中的實用性。

問題：（2013年全國高中數學聯賽江西省預賽）求函數f（x）=3x-6+3-x的值域。

利用常規的求值域方法：平方法、判別式法、單調性法等來解決此問題顯得困難。波利亞在《怎樣解題》中曾說：數學解題是命題的連續交換。解題的過程其實是對問題的不斷轉化。

方案1：運用換元法進行化歸

分析：原函數可表示為f（x）=3·x-2+3-x，利用x-2與3-x的平方和為定值，采用換元法，將求原函數的值域問題化歸為求三角函數的最值問題。

解：原函數可表示為：

f（x）=3·x-2+3-x，x∈2，3。

∵（x-2）2+（3-x）2=1，x∈[2，3]。

∴可設x-2=cosα，3-x=sinα，α∈0，π2，則

f（x）=3cosα+sinα=2sinα+π3。

∵0≤α≤π2，∴π3≤α+π3≤5π6，

∴12≤sinα+π3≤1，則1≤2sinα+π3≤2。

從而函數f（x）=3x-6+3-x的值域為[1，2]。

方案2：運用直接轉化法進行化歸

分析：由函數f（x）的定義域為[2，3]，根據連續函數在閉區間上必有最值，并且往往在區間端點處或極值點處取到，從而實現問題的直接轉化。

解：由題意得，函數f（x）的定義域為[2，3]。其中f（2）=1，f（3）=3，

根據f（x）=3x-6+3-x，可得f′（x）=32·13x-6-12·13-x，

由f′（x）=0，整理可得x=114。而f114=2，

所以函數f（x）=3x-6+3-x的值域為[1，2]。

方案3：運用構造方法進行化歸

分析：函數的形式與等差中項的定義進行對比，可構造一個合適的等差數列，將原函數劃歸為由3x-6，y2，3-x相鄰三項構成的等差數列。

解：原函數可表示為y=3x-6+3-x，x∈[2，3]。

函數可化歸為是由3x-6，y2，3-x相鄰三項構成的等差數列，設公差為d。

令3x-6=y2-d，①

3-x=y2+d.②

由①2+3②2整理得3=4d+y42+34y2，（*）

又由①、②知|d|≤y2，則（1）當d=-14y時，y取得最大值，（*）式滿足3≥34y2，即y2≤4；

（2）當d=12y時，y取得最小值，（*）式滿足3≤124y2，即y2≥1。

綜上所述，函數f（x）=3x-6+3-x的值域為[1，2]。

方案4：運用數形結合方法進行化歸

分析：原函數的定義域限制了3x-6與3-x的取值范圍。因此，求函數y=3x-6+3-x的值域問題可化歸為線性規劃求最值問題。

解：由x∈[2，3]，則3x-6∈[0，3]，3-x∈[0，1]，

令3x-6=a，3-x=b，則a∈[0，3]，b∈[0，1]，從而y=a+b。

a23+b2=1，a，b≥0

0≤a≤3，

0≤b≤1。

原問題化歸為在約束條件下，求目標函數y=a+b的最值問題。

根據約束條件在平面直角坐標系中作出可行域：

其表示為橢圓在第一象限內（含A，B端點）的軌跡。目標函數y則表示直線b=-a+y在縱軸上的截距。由此得出當直線經過B點時，取得最小值為1，當直線與曲線相切時，取得最大值為2。

結束語

波利亞認為，解題就是把問題轉化為等價的問題，把問題化歸為一個已解決的問題。因此，化歸思想是解題的首要策略。本文采用多種方法對同一競賽試題進行化歸，能夠有效地拓展學生的思維，積累學生解題經驗，提高學生解題能力。

參考文獻：

[1]王林全，吳有昌.中學數學解題研究[M].科學出版社，2009.

[2]朱梧槚等，譯.路沙·彼得.無窮的玩藝數學的探索與旅行[M].南京大學出版社，1985.endprint