Lyapunov第二方法在非線性控制中的應用解析

魏萍

摘要：Lyapunov方法是進行系統穩定性分析和控制設計的重要工具。關于穩定性分析方面的應用，在一般教材和參考資料中都進行了詳細的介紹。本文準備對Lyapunov第二方法，在非線性控制設計方面的應用進行解析說明。本文首先介紹了Lyapunov第二方法的基本內容，并說明了如何結合LaSalle不變原理拓寬Lyapunov函數的選擇范圍。然后針對兩個具體例子，演示了應用Lyapunov第二方法，以及結合LaSalle不變原理，進行控制律設計的過程，并對設計的控制律進行了系統仿真驗證。

關鍵詞：Lyapunov第二方法；非線性系統；非線性控制；LaSalle不變原理

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）51-0171-03

一、引言

1892年俄國學者Lyapunov發表了論文《運動穩定性一般問題》，給出了分析常微分方程組穩定性的兩個方法，分別稱為Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法[1，2]。其中Lyapunov第二方法通過選取一個正定的標量函數（代替之前分析系統穩定性的能量函數），進而研究標量函數沿著目標系統軌線隨時間的變化情況，得出目標系統平衡點的穩定性結論。這種可應用于線性和非線性、時變和時不變系統的穩定性分析手段，不需要求解微分方程，是穩定性理論的重要組成部分，同時也是控制分析和設計的重要工具。

關于Lyapunov第二方法的講解，不僅出現在本科生的自動控制原理II或現代控制理論課堂中，也可能在研究生課程非線性系統或非線性控制課堂上作為重要內容[3，4]。不過一般教材或研究資料中，只是介紹和示例相關定理，以及其在穩定性分析中的應用，很少介紹其在非線性系統控制中的應用[5-7]。另外應用Lyapunov第二方法通常是首先選取一個正定的標量函數，然后要求這個標量函數關于系統的時間導數是負定的。這個負定的要求有時候會造成我們很難選到合適的Lyapunov函數，而LaSalle不變原理彌補了這個不足，拓寬了Lyapunov函數的選擇范圍。所以本文在這里準備對Lyapunov第二方法，以及在某些時候結合LaSalle不變原理，在非線性系統控制中的應用過程進行解析說明，詳細分析其中應該注意的事項，并通過具體例子進行演示，相關內容可作為學習相關課程學生的課外研究作業。

二、Lyapunov第二方法的主要內容

設非線性方程組如下，

■=f（x），存在x■使得：f（x■）=0. （1）

其中x是n維狀態變量，f（x）是n維函數向量，關于x連續可微。假設平衡點x■=0，若x■≠0，則可通過平移y=x-x■，得到平衡點是零的非線性系統。若f（x）定義在區域D上，存在連續可微的正定函數V（x），成立：

■（x）=■f（x）<0，x∈D （2）

則x■=0是系統（1）的漸近穩定平衡點。另外若D=R■，且

‖x‖→∞？圯V（x）→∞ （3）

則x■=0是系統（1）的全局漸近穩定平衡點[3，4]。

注記1：以上關于Lyapunov定理的描述僅選擇了（全局）漸近穩定部分，因為從工程應用和控制設計的角度來看，系統需要具有Lyapunov意義下的漸近穩定性，僅符合Lyapunov意義下的穩定性是不夠的。

注記2：式（2）要求V函數關于時間t的導數負定，這個苛刻的要求限制了函數V的選擇范圍，增加了我們選擇適當V函數的難度。而LaSalle不變原理可以降低這個難度，也就是相對拓寬函數V的選擇范圍。

在應用Lyapunov第二方法時，結合LaSalle不變原理，確切地說是結合LaSalle不變原理的推論。因為LaSalle不變原理本身研究的是集合的收斂性，其推論針對的是特殊的集合，即孤立的平衡點。關于這些理論之間的關系，這里不進行贅述，感興趣的讀者可參考相關文獻[3，4]。LaSalle不變原理的推論，關于式（2）的修正就是，滿足半負定即可，同時再加一個條件：

集合S=x∈D？搖■（x）=0中系統的解僅包含x≡0。

則系統平衡點x=0是漸近穩定的；進一步，若D=R■，且條件（3）成立，則對應全局漸近穩定性。

注記3：Lyapunov穩定性或漸近穩定性，討論的是平衡點的穩定性，并且Lyapunov定理中描述的平衡點均默認為原點。所以在進行控制律設計時，若系統平衡點非零，需先通過平移將平衡點變為原點，然后設計控制律u=g（x）成立g（0）=0，以保證原點是閉環系統的平衡點。

三、實例分析

例1 旋轉的剛體航天器方程[4]：

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■ （4）

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■

其中ω=[ω1 ω2 ω3]T是沿主軸的角速度向量，是系統的狀態變量；u=[u1 u2 u3]T是相對主軸的轉矩向量，是系統的控制變量；J=[J1 J2 J3]T是相應轉軸的轉動慣量，是系統參數。控制目標：通過設計轉矩向量u使得系統平衡點ω=[0 0 0]T漸近穩定。

選用V（ω）=1/2（J■ω■■+J■ω■■+J■ω■■）作為備選Lyapunov函數，沿著系統（4）關于時間求導：

■（ω）=J■ω■■■+J■ω■■■+J■ω■■■

=ω■u■+ω■u■+ω■u■

為保證上式負定，選擇u■=-k■ω■，i=1，2，3，k■>0，則

■（ω）=-k■w■■-k■w■■-k■w■■<0

另外，當‖ω‖→∞時，V（ω）→∞。所以選定的控制律可保證系統原點的全局漸近穩定性。

例2 負阻抗振蕩器狀態空間方程[4]：

■■=x■/ε

■■=ε[-x■+x■-1/3x■■+u] （5）

其中x1是通過電感的電流，x2是電容兩端的電壓；u是輸入系統的電壓，作為控制變量；ε>0是系統參數。控制目標：設計系統的輸入電壓u使得系統平衡點x=[0 0]T漸近穩定。

選擇V（x）=1/2（ε■x■■+x■■）作為備選Lyapunov函數，沿著系統（5）關于時間求導：

（x）=ε■x■■■+x■■■

=εx■■-1/3εx■■+εx■u

（1）選擇u=-kx■，k>1，則

■（x）=-ε（k-1）x■■-1/3εx■■≤0

上述表達式是半負定的，故不能由Lyapunov定理直接得出漸近穩定的結論。此時可考慮借助不變原理的推論，由于

■（x）=0■■=0，■■=0？圯x■=x■=0

則設計的控制律可以保證系統原點的漸近穩定性。

（2）選擇u=-k■x■■x■-k■x■，k■>0，k■>1，則

■（x）=-ε（k-1）x■■-1/3εx■■-εk■x■■x■■≤0

表達式仍然是半負定的，故不能由Lyapunov定理直接得出漸近穩定的結論。此時可考慮借助不變原理的推論，由于

■（x）=0■■=0，■■=0？圯x■=x■=0

則設計的控制律可以保證系統原點的漸近穩定性。

注記4：應用Lyapunov第二方法設計非線性系統的控制律，通常是先確定一個正定的備選函數，然后設計控制律的形式使得函數的導數負定。這個過程中Lyapunov函數和控制律的選取，都有很大的發揮空間。所以在研究具體問題時，可進行多種嘗試，最后做出相對較優的選擇。比如在研究第二例子時，設計的兩個控制律都能保證系統的漸近穩定性，但是第二種控制律有兩個調節參數，在具體設計時增加選擇結果的多樣性。

四、仿真

例1 設系統參數：J1=55，J2=58，J3=65；取狀態初值：w（0）=[42，33，37]T，選擇k1=85，k2=280，k3=78。狀態變量穩定性收斂過程如圖1所示。

例2（1） 設系統參數：ε=0.2；取狀態初值：x（0）=[5.6，3.7]T；選擇k=100。狀態變量穩定性收斂過程如圖2所示。

例2（2） 設系統參數：ε=0.2；取狀態初值：x（0）=[5.6，3.7]T；選擇k1=16，k2=27。狀態變量穩定性收斂過程如圖3所示。

參考文獻：

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[2]胡壽松.自動控制原理（第五版）[M].北京：清華大學出版社，2011.

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[7]唐超穎. 對李雅普諾夫第二法教學方法的探討[J]. 電氣電子教學學報，2013，35（5）：68-70.

Abstract：Lyapunov method is an important tool for system stability analysis and control design. On the stability of the application，in general textbooks and reference materials are introduced in detail. The preparation of Lyapunov second method used in nonlinear control design analysis. This paper first introduces the basic contents of Lyapunov second method the range of choice and explains how to combine LaSalle invariant principle to broaden the Lyapunov function. Then according to two specific examples to illustrate the application of the second methods，Lyapunov，and Combining the principle of LaSalle invariance，the design of control law is carried out，and the designed control law is simulated and validated

Key words：Lyapunov second method；nonlinear system；nonlinear control；LaSalle invariance principle