數形運用的心理定勢

呂秋燕

摘要：本文指出了數形結合在高中數學中的重要性以及如何培養學生的數形運用的心理定勢，并列出幾類關于數形運用的典型例題。

關鍵詞：數形結合；心理定勢；具體化

數形結合的數學思想，在高中數學的學習過程中有著舉足輕重的作用。觀察近幾年的高考試卷，不難發現，運用數形結合思想的題目所占比例不小，因此，培養學生數形運用的心理定勢就成了數學教學重要的一部分。數形結合一般也會伴隨著題目的轉化，也就是在解題過程中，不斷轉化解題方向，從不同的角度、不同的側面去探討問題，最終利用數形結合解決題目。在利用數形結合思想時，首先需要學生把生疏的問題轉化成熟悉的問題，把繁難的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體化的問題。在培養學生數形運用的心理定勢過程中，要訓練學生在看到一些固定類型的題目時，能立刻想到運用數形結合的思想去解決，這就需要教師平時就要引導學生總結歸納數形結合的問題類型。其中，培養學生數形運用的心理定勢，最重要的是教師引導學生對數形結合類的題目要分類歸納總結的更加細致，而后多加訓練，效果事半功倍。

一、 一類關于點的軌跡的問題

有些問題看著復雜，且題目之間看不出有什么明顯的聯系，但是，仔細分析題目會發現，他們有著意想不到的相似之處，并且可以用類似的方法去解決這類問題。把這類問題給學生分析透徹，那么在以后的學習過程中，遇到這種題目就會形成心理定勢，進而快速而準確的解決這類問題。比如以下兩個案例：

【例1】已知兩點A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點P，使PA=12PB，求m的取值范圍。

【例2】圓A：（x-m-1）2+（y-2m）2=4上有且只有兩個點到原點O的距離為3，求m的取值范圍。

這里兩道看似完全不同的兩道題目，但存在著根本的聯系。首先對各個題目分別具體分析如下：

分析例1：點P滿足方程PA=12PB，由此可以得到點P的軌跡方程。設點P（x，y），由PA=12PB，得到（x-1）2+y2=14[（x-4）2+y2]，即x2+y2=4，記為圓C。由題目條件分析知道，點P既在直線x-y+m=0上，又在圓C上，所以原問題轉化為直線與圓C位置關系的問題。顯然，直線與圓有公共點則必相交，所以圓C的圓心C點到直線的距離d=|m|2≤2，所以m∈[-22，22]。

分析例2：類似例1，由題目分析，到原點距離為3的點軌跡方程即為圓B：x2+y2=9，由已知條件圓A：（x-m-1）2+（y-2m）2=4上有且只有兩個點到原點O的距離為3，得到圓A與圓B有且只有兩個交點。所以問題轉化為兩圓位置關系問題。兩圓有兩個交點，只需兩圓心之間的距離d滿足rB-rA

上面兩個例題看似沒有必然的聯系，卻暗藏玄機。題目中給的某些點都有自己的特殊的軌跡，比如例1中點P的軌跡是圓，例2中點到原點距離為3的點的軌跡也是圓，看到了這些本質以后，那么原來的問題就轉化為兩圖形位置關系的問題了，原問題就迎刃而解。其實，這一類問題就是我們常說的“新瓶裝陳酒”的問題，只要引導學生反復審題，仔細理解題目的意思，認真揣摩題目中每個條件所包含的熟悉因素，就一定可以轉化為我們熟悉的問題，然后運用數形結合的思想方法解決問題。對于此類型的題目，讓學生多加注意，平時的練習也能加強數形運用的心理定勢。

二、 一類抽象代數問題

數與形是數學中兩個最古老、最基本的元素，是數學學習的基礎。在解決數學問題時，常常根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，將數的問題利用形來觀察，揭示其中的幾何意義。數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意的是一定要注意圖形雖然是非常直觀的，但是細微之處還是通過數體現出來的，所以一定要數形結合起來考慮問題。

上面兩道例題，看似是兩道沒有交集的問題，但是都可以轉化為線性規劃問題，利用數形結合去解決，非常的簡單易懂。數形結合的數學思想方法是數學中基本而又重要的思想方法，它也是解答數學題目的一種常用方法與技巧，特別是在解決填空題時，數形結合發揮著不可替代的功效。數學家華羅庚曾指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事非。”可見數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。所以，在學生學習的過程中，教師要求學生隨時注意運用數形結合思想，要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高學生的解題能力和速度，更加能夠提高運用數形結合思想的能力。

三、 一類具有幾何意義的問題

數形結合是一種常用的數學思想方法，一些題目中關于一些特殊數字的問題，也可以轉化為圖形特點的問題。同時，這也要求學生對基礎知識要牢固掌握，對于一些定義形式的式子，一眼就能識別出來，并且理解他的幾何意義，進而利用數形結合的思想快速并且準確無誤的去解決問題。比如，學生看到下列問題，并對斜率公式記憶猶新，只要平時多加練習，在隨后的學習過程中，會非常的簡單易懂。

【例5】已知M為圓C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點，且點Q（-2，3），設M（m，n），求n-3m+2的最大值和最小值。

解：設k=n-3m+2表示點（m，n）與點（-2，3）連線的斜率，由題目知道，當該直線與圓C相切時，k=n-3m+2分別取得最大值和最小值，設過點（-2，3）與圓心相切的直線方程為y-3=k（x-2），即kx-y+2k+3=0。所以|4k-4|k2+1=22，所以k=2±2。所以，n-3m+2max=2+3，n-3m+2min=2-3。

在數形結合思想的運用過程中，首先要理解和掌握一些類型的題目中給的問題的幾何意義，然后結合數形結合思想，畫圖分析問題，這樣，整個問題的解決過程就非常的簡單了。例5這種題目，只要熟記斜率的公式，就很容易畫圖分析什么樣的情況滿足題意。所以，教師在教學過程中，不僅要給學生灌輸數形結合的思想，而且課后要求學生多加練習此類題目，加強培養，多鼓勵學生運用數形結合，使學生對這類題目產生心理定勢，在以后的學習過程中，再碰到此類題目，可以立刻反應過來如何去解決。

四、 一類零點問題

所謂函數的零點，其實就是函數圖像與x軸交點的橫坐標。運用數形結合的思想解決此類問題時，一定要強調“結合”一詞。我國著名的數學家華羅庚也曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事非。”這充分地說明了數形結合的思想一定要注重結合的意義所在。所以，做這類題目時，要先計算導函數，以便知道原函數在定義域上的單調性，大致畫出圖像，最后不僅要通過圖像直觀估計，而且還要計算函數值，通過比較其大小進行判斷參數的取值范圍。比如下面的例6：

【例6】若函數f（x）=ax3-bx+4，當x=2時，函數f（x）有極值-43。

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若關于x的方程f（x）=k有三個零點，求實數k的取值范圍。

分析：第（1）問很容易得到函數f（x）的解析式為f（x）=13x3-4x+4。第（2）問關于零點問題，這就要大致畫出f（x）的圖像，從而具體問題具體分析。具體過程：

f′（x）=x2-4，令f′（x）=0，得到x=±2。易判斷，f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）單調遞增，f（x）在（-2，2）上單調遞減，且在x=±2處分別取得極小和極大值，

由函數f（x）的單調性和一些重要的函數值，可以大致畫出f（x）的圖像（省略），那么由圖像分析知道，k∈-43，283。

由上面的例題6，我們可以看出，函數在某個區間上存在幾個零點，即是方程在這個區間上有幾個解，最終可以轉化為兩個函數在這個區間上有幾個交點的問題。從上面例題可以看出，只要畫出大致圖像，再結合準確的函數值，就可以很容易找到參數的取值范圍了。在給學生講解時，一定要講清楚數形完美的結合過程，讓學生看到數形結合的直觀性和準確性，這樣學生才會對這類題目產生心理定勢，遇到這類題目，數形結合的思想才是最好的。

數形結合的思想是把代數上的“數”與幾何上的“形”相結合，利用其解決問題簡單而快捷。關于數形結合的文章也是不勝枚舉，但是，數形結合的思想方法雖然是一種常用的有效的方法，有些時候，老師提示之前學生想不到“數形結合”的解法，所以，這就要求教師在每次研究某一類關于數形結合的例題時，要與學生一起及時總結，及時強化訓練，使學生對每類問題都能理解透徹，對此類問題解法產生一定的心理定勢。比如以上幾類例題都很典型，老師引導學生歸納總結，之后再讓學生多加練習，培養學生數形運用的心理定勢。當然，數形運用好處雖多，但是有些題目并不適用，這就更加要求教師要和學生一起歸納總結運用數形結合的每一種類型的題目，從而形成心理定勢，為以后的數學學習奠定良好的基礎。

參考文獻：

[1]李建潮.一類三角求值問題的探[J].中學數學教學參考：上旬，2015，（1-2）：56-57.

[2]袁桂珍.數形結合思想方法及其運用[J].廣西教育，2004，（15）.

[3]施獻慧.數形結合思想在數學解題中的應用[J].云南教育，2003，（35）.endprint