例談高中數學概念教學的問題設計

林朝順

一、 問題提出

概念教學是高中數學教學的重要組成部分，學生對概念的掌握程度，在很大程度上影響了后續數學知識的學習。章建躍博士指出：概念教學要返璞歸真，核心概念教學要舍得花時間，舍得花力氣。問題是數學的心臟，只有設計符合學生的知識基礎和認識規律的問題情境，讓學生帶著問題去思考、去探索、去交流，學生才能在不知不覺中認識概念，掌握概念的核心與本質。本文旨在借助《函數的概念》的教學過程，通過具體問題的設計，剖析問題設計的意圖，對如何進行問題設計作一些探討，懇請批評指正。

二、 《函數的概念》教學問題設計剖析

函數是中學數學中最重要的基本概念之一，但抽象難懂。在初中，學生已經學習了函數的描述性概念：在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數，把函數看成變量之間的依賴關系，即“變量說”。高中階段要建立函數的“對應說”，雖然它比“變量說”更具一般性，但兩者的本質是一致的。函數概念教學要借助已有的函數實例，感受在兩個數集A、B之間所在的對應關系f，進而用集合、對應的語言刻畫函數概念。下面依托高中數學人教A版必修1教材，對函數概念教學中的問題設計進行分析。

問題1：根據初中學習過的函數概念，請你舉幾個函數的例子。為什么你舉的這些例子是函數呢？

設計意圖：師生共同分析學生所舉例子，若學生所舉的例子都是用解析式表示的，教師可以舉一些用圖象、表格表示對應關系的函數。突出“兩個變量x，y”，對于變量x的每一個確定的值，另一個變量y都有唯一確定的值與x對應，通過舉例激活學生原有知識，回顧“變量說”。

問題2：請閱讀課本中的實例1，你能說出t=1s，20s，50s時對應的高度h嗎？是不是可以說任給一個時間t，都有唯一確定的高度h與之對應嗎？你能用集合的語言重新表述這個實例中的對應關系嗎？

設計意圖：通過本例，學生對初中的函數概念進一步理解，為后面用集合和對應的語言刻畫函數概念做好鋪墊。由于炮彈落地時間為26s，因此50s沒有意義，函數定義域的教學非常自然地浮出水面。

問題3：請閱讀課本的實例2，這個實例中的對應關系是用一個解析式表示嗎？如何用集合重新表述這個對應關系？

設計意圖：通過學生讀圖、用圖，體會圖象也是表述對應關系的一種語言。

問題4：請閱讀課本的實例3，這個實例中的對應關系是用一個解析式表示嗎？如何用集合重新表述這個對應關系？

設計意圖：通過學生讀表格、用表格，體會表格也是表述對應關系的一種語言。

問題5：分析這三個實例，他們有什么共同屬性？實例2、3中的函數如何表示？把圖象、表格整個搬出來嗎？有沒有一種簡潔的符號可以表示它們？

設計意圖：讓學生體會解析式、圖象、表格是刻畫對應關系的三種方式，高中用集合對應語言描述的函數概念本質上與初中的函數概念一致。通過實例2、3，迫切需要一種函數符號來統一表示函數，從而得到符號f的引入，一方面更加深刻理解函數概念，另一方面培養了學生抽象概括能力。

問題6：我們今天學習的函數概念中，哪些是關鍵詞？你能用函數的概念分析一下前面的三個實例嗎？

設計意圖：引導學生回到三個實例中辨析概念，由抽象到具體，一般到特殊，加深對函數本質的理解。

三、 反思總結

1. 問題設計要展示概念的發生發展過程。建構主義認為：學習并非是學生對教師所授知識的被動接受，而是一個以其已有知識和經驗為基礎的主動建構過程。平時教學要把概念的形成過程變成學生學習的過程，只有學生對概念形成自己的理解，才能靈活運用。對于函數概念的學習，通過設置以上六個問題，特殊到一般，形象到抽象，展示了函數概念發生發展過程。

2. 問題設計要注重訓練學生思維能力。概念教學中的問題設計要讓學生經歷觀察、比較、猜想、分析、抽象和概括。在函數概念教學中，通過三個實例的觀察分析，培養了學生歸納推理、抽象概括等思維能力。

3. 問題設計要自然、有效。問題設計要充分挖掘學生的生活實際，讓學生感覺數學就在身邊，數學是有用的。要在學生的知識的最近發展區設置問題，讓學生跳一跳能夠得著，有一定挑戰性但又不會產生挫敗感。要依據數學知識發生發展的需要設置有效問題，例如：實例2分析過程中，問題：50s后炮彈的高度是多少？這個問題的提出讓函數定義域的研究呼之欲出，也提高了課堂效率。

參考文獻：

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[3]章建躍.高中數學核心內容教學設計案例集[M].北京：人民教育出版社.