從物理競賽遷移到高考的應用

溫文輝??

摘要：不計重力的帶電粒子沿垂直勻強磁場方向運動時將受到洛倫茲力的作用做勻速圓周運動，這是常見問題。若粒子除受洛倫茲力外還受到其他力，則高中學生能處理的問題無非是洛倫茲力與其他力平衡做勻速直線運動或所有其他力平衡后合力為洛倫茲力做勻速圓周運動兩種情況。若是出現復雜的曲線運動時，由于速度的大小和方向時刻在改變，洛倫茲力就時刻改變，要求解此類問題的運動情況，高中階段幾乎沒有辦法解決。但在物理競賽中，經常會碰到這種題型，處理方法是為帶電粒子配上一對大小相等方向相反的速度（其實合速度等于零）或對帶電粒子的初速度進行分解，把復雜的曲線運動分解為勻速直線運動和勻速圓周運動的合成，這兩種運動是高中生所熟知的。這實際上是借助等效原理和運動的合成分解原理，在全新的數理模型基礎上簡化了問題，這種方法常稱為“配速法”。

關鍵詞：電場；磁場；洛侖茲力；配速法

先復習一下速度選擇器模型。如右圖所示，空間存在著電磁復合場，勻強磁場B垂直紙面向內，勻強電場E豎直向下，一個帶電量為+q的粒子（重力不計）以初速v0沿水平方向進入復合場，則粒子受力情況為：洛倫茲力豎直向上，電場力豎直向下，若滿足：qBv0=qE得v0=EB，則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運動。

若粒子進入上述電磁場時速度v≠v0，則運動軌跡將是復雜曲線，解決辦法是將粒子的運動可看成是v0與v1兩個運動的合運動，即v分解為v=v0+v1，因而粒子可以看做受到的兩個洛倫茲力可看成qBv0與qBv1，其中qBv0平衡電場力qE，則粒子在電磁場中所受合力為F合=qBv1，這樣，粒子的復雜運動分解成以勻速直線運動（速度v0）和勻速圓周運動（速率v1）的合運動。以下通過幾個例子對“配速法”進行剖析，以期進一步理解并掌握。

【例1】如右圖所示，在垂直紙面向內的勻強磁場B和豎直向下的電場E中，有一質量m、帶電量+q粒子由點P無初速釋放，請分析它的運動，求：

（1）粒子向下運動的最大位移dm。

（2）粒子運動過程中的最小速度和vmin最大速度vmax。

（3）定量計算粒子在水平方向運動的特點。

分析：由于粒子初速為零釋放，它的運動軌跡如下圖所示，是周期性的曲線運動。運用配速法，把初速為零看成是向右的v0與向左-v0兩個運動的合運動，同時粒子向右v0運動時產生豎直向上的洛倫茲力平衡電場力，即qBv0=qE，得v0大小為：v0=EB。所以粒子可看成是向右以速度v0做勻速直線運動和以速度v0做逆時針勻速圓周運動的合運動。

解：（1）電場方向上向下最大位移

dm=2RR=mv0qB=mEqB2得dm=2mEqB2

（2）最大速度在最低點Q點處，此時速度

vmax=vQ=2v0

最小速度在最高點與P等高點處vP1=vP2=0

（3）粒子周期性運動，設一個周期向右移動距離L，即pp1=p1p2=…=pn-1pn=L

L=v0TT=2πmqB則得L=2πmEqB2

【例2】空間存在一個垂直紙面向里的水平勻強磁場，有一質量為m、帶電量為+q的小球（看做質點），在離地面高為h處從靜止開始釋放，若小球與地面不會相碰，求磁場磁感應強度的最小值Bmin（忽略小球下落時空氣阻力的影響）。

分析：如圖所示，初速為零的粒子可看成是向右的v0與向左-v0兩個運動的合運動，其中水平向右運動受到的洛侖茲力平衡重力，水平向左的速度受到的洛侖茲力充當向心力做勻速圓周運動，有：

mg=qv0B，qv0B=mv20R，h≥2R

解得：B≥mq2gh，則Bmin=mq2gh

【例3】如圖所示，二維坐標系中存在著垂直紙面向內的勻強磁場B和豎直向下的勻強電場E，一電子從坐標原點處靜止釋放，求電子在y軸方向運動的最大距離ym（電子的重力不計）。

分析：如圖所示，水平方向可以看作向右的v0與向左-v0兩個運動的合運動，其中水平向右勻速運動受到豎直向下的洛侖茲力平衡豎直向上的電場力，水平向左運動受到的洛侖茲力充當向心力做瞬時間勻速圓周運動，有

eE=eBv0，ym=2R，qv0B=mv20R

則 y軸正方向前進的最大距離ym=2mEeB2

【例4】（08年江蘇高考改編）空間有垂直紙面向內的水平勻強磁場B，一質量為m、帶電量為+q的小球在O靜止釋放，小球的運動曲線如圖所示。已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求：

（1）小球運動到任意位置p（x，y）的速率v；

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為EE>mgq的勻強電場時，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率vm。

解：普通解法：

（1）只有重力做功，由動能定理mgy=12mv2-0得v=2gy

（2）設在最大距離ym處的速率為vm，根據圓周運動有：qvmB-mg=mv2mR，由上式vm=2gy和已知條件ym=2R得則ym=2m2gq2B2

（3）小球運動如右圖所示，由動能定理得

（qE-mg）ym=12mv2m-0

由向心力公式：qvmB+mg-qE=mv2mR已知條件：ym=2R得：vm=2（qE-mg）qB

用配速法解：

（1）如上解法一樣

（2）需要平衡重力，可看成是水平向右的v0與向左-v0兩個運動的合成，水平向右做速度v0的勻速直線運動，qBv0=mg得v0=mgqB

水平向左速度-v0在洛倫茲力作用下做逆時間圓周運動，ym=2R=2mv0qB=2m2gq2B2

（3）現在需要平衡電場力與重力的合力，可看成是向右的v0與向左-v0兩個運動的合運動，其中水平向左運動受到豎直向下的洛侖茲力平衡豎直向上的qE-mg，水平向右運動受到的洛侖茲力充當向心力做勻速圓周運動，有

qE-mg=qBv0，在最低處兩個速度同向最大，vm=v0+v0 則vm=2（qE-mg）qB

【例5】如圖所示，電容器中存在正交的場強為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場，一質量為m電荷量為q的質子，以初速度v0從左端沿中線從左方水平射入，若qBv0>qE，當質子從右端距離中心線s的p處射出，求：

（1）質子射出的速度vp大?。?/p>

（2）分析質子運動過程中的加速度如何變化，求出p處ap的大小。

解：（1）由于洛倫茲力不做功，只有電場力做負功，則：

-qEs=12mv2p-12mv20得vp=v0-2qEsm

（2）雖然速度大小和方向都變化，同樣可以用配速法，現把v0分解成兩個方向都向右的v1和v2，則v2=v0-v1，讓qBv1=qE，則運動可以分解成水平向右的勻速直線運動（v1）和逆時針方向勻速圓周運動（速率v2），公式如下：

qBv1=qE，v2=v0-v1，qv2B=mv22R，ap=v22R，

則任意位置的加速度都一樣為：ap=qBv0-qEm

【例6】（2013年福建高考壓軸題最后一小題改編）如下圖，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場B和沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發射。讓質量為m，電量為q（q>0）的粒子在xOy平面從坐標原點O沿y軸正方向以初速度v0入射到該磁場中。不計重力和粒子間的影響。求該粒子運動過程中的最大速度值vm和離y軸的最大距離ym。

分析：設想在O處同時存在水平向右的v1與水平向左-v1，粒子水平向右運動受到的洛侖茲力平衡電場力，qBv1=qE，初速度v0與水平向左-v1合成v=v20+v21就是做勻速圓周運動的速度，如下圖所示，則有：

qBv1=qE，qvB=mv2R，v=v20+v21

粒子最大速度在運動到最高處時沿水平方向，

解得：vm=v0+v=EB+v20+E2B2

設v與x軸夾角為θ，最大距離為：ym=R+Rcosθ，cosθ=v1v，

則：ym=mqBv20+E2B2+EB

參考文獻：

[1]張大同.《物理競賽教程》高三年級.華東師范大學出版社.

[2]沈晨.《更高更妙的物理》沖刺全國高中物理競賽.浙江大學出版社.

[3]2008年江蘇省高考物理試卷和2012年福建省理綜高考物理試卷.