微分的概念的教學反思

劉春奇

南京科技職業學院基礎部

微分的概念的教學反思

劉春奇

南京科技職業學院基礎部

微分是高等數學的重要內容之一，也是學生在學習過程中最難理解和掌握的內容之一，這樣，就要求我們高等數學教師研究出行之有效的方法，引導學生充分了解微分的本質，幫助學生更好地運用微分，并體會微分運算與導數運算的異同，同時也為日后積分的學習打下基礎。

高等數學；微分；教學反思

微積分是人類思維領域的杰出成果。作為微積分最基本也是最重要的內容之一，微分是微積分的核心概念，萊布尼茨和牛頓所有關于微積分學的工作都是基于微分即無窮小的概念而進行和展開的的，因而微積分學常常也被稱為無窮小分析。

然而就教學效果來看，函數的可微性的概念是學生在學習微積分過程中最難理解和掌握的內容之一，至少和導數相比較，學生普遍反應函數的可微性的概念晦澀難懂，不易理解。這里面至少有以下兩個原因：一是可微性更加抽象，函數的連續性在幾何上可以表示為該函數的曲線是一條連綿不斷的曲線，函數的可導性在幾何上可心表示為函數的曲線不包含“尖點”，而函數的可微性不如連續性和可導性的幾何表示那么直觀；二是我國傳統的微積分教材在內容編排上有重導數而輕微分的習慣，一般的教材都縮減微分的學習內容與篇幅，微分的重要性沒有得到應有的體現。為了數學的嚴謹性，現代微分概念采用“增量的線性主部”來定義，為了微積分體系上的完整性而犧牲了微分的直觀性，在一定程度上阻礙了學生對函數可微性的進一步理解。

為了還原函數可微性的本質定義，我們有必要回顧一下歷史上的微分的概念演變過程。早在微積分發展的初期，牛頓和萊布尼茨就意識到無窮小概念在這門新學科中的基礎地位，然而，他們都未能準確和完整地將其定義為微分。19世紀，法國數學家柯西和德國數學家維爾斯特拉斯，用極限理論為微積分建立了嚴密的邏輯基礎，作為微積分嚴密化的產物，微分被定義為增量的線性主部。極限理論雖然使微積分獲得了邏輯上的嚴密性，但是微分學卻失去了無窮小方法的簡明性和直觀性。20世紀60年代，德國數學家羅賓遜創立并發展了非標準分析，并將無窮小當作一個量，一個大于零而小于任何正數的量，人們在這門學科中可以像數字一樣使用無窮小量，至此，無窮小分析獲得了新生。[2]

在“微分的概念”[1]一節的教學過程中，筆者發現這樣一個具體的問題：在介紹完微分的定義以后，如何證明函數y=sinx在點(pi/4)處是可微的？

由微分的定義，如果要證明函數y=f(x)在點x0處是可微的，只需證明此時因變量的增量Δy可以表示成Δx的常數倍與一個比Δx高階的無窮小的和即可。為此，我們作出因變量y=sinx在點(pi/4)的增量

至此，我們可以看到，要證明y=sinx在點處是可微的，不太容易找到線索。我們的目的是要把因變量的增量Δy表示成Δx的常數倍和一個比Δx高階的無窮小的和。而上式并未出現Δx的常數倍的表達式，證明幾乎就此中止。

注意到可微和可導的關系，即“函數y=f(x)在點x0處可微”與“函數y=f(x)在點x0處可導”是等價的，我們可以嘗試通過證明y=sinx在點pi/4處的可導性來得出y=sinx在點pi/4處的可微性。而y=sinx在點pi/4處的導數即y=sinx在點pi/4處可導，所以y=sinx在點pi/4處可微。

然而筆者也在考慮，有沒有一種方法，可以直接利用微分的定義得到最終的結果呢？

在證明定理“y=f(x)在點x0處可導等價于y=f(x)在點x0處可微”的過程中，有如下的細節：

由于函數y=f(x)在點x0處可微，所以函數值的增量Δy=AΔx+o(Δx)，

Δx趨于0時，兩邊同時取極限得

此時得到，等號右邊的原本作為Δx的系數的字母A，其最終結果是也就是函數y=f(x)在點x0的導數值。

這就為我們證明函數y=sin(x)在點的可微性提供了思路：可不可以在Δy的表達式中湊出Δx的常數倍，即Δx的A倍，這里A又是函數y=sin(x)在點pi/4的導數值，即√2/2.

于是，我們令Δy=√2Δx /2 -√2Δx /2 + sin pi/4cosΔx+cos pi/4sinΔx-sin pi/4.這樣，只需證明，當Δx趨于0時，-√2Δx/2+ sin pi/4cosΔx+cos pi/4sinΔx-sin pi/4是Δx的高階無窮小，即即可。

由于Δx→0時，(-√2/2)Δx+sin(pi/4)cosΔx+cos(pi/4)sinΔxsin(pi/4)=√2/2(cosΔx+sinΔx-Δx-1)→0.

這就說明了函數y=sin(x)在點pi/4的可微性。事實上，函數y=sin(x)在點的可微性的證明過程為我們證明任一函數在某點處的可微性提供了一般性的方法，即要證明函數y=f(x)在點x0處的可微性，只需要證明Δy等于Δx的常數倍與一個比Δx高階的無窮小的和即可，換言之，只需要證明Δy-AΔx→0，Δx→0，這里A是f(x)在點x0處的導數值。以下舉例說明。

例1：y=cosx在點pi/4處可微。

證明：先求出cosx在點pi/4處的導數，得-√2/2.以下證明函數值的增量Δy等于Δx的常數倍與一個比Δx高階的無窮小的和， 即 證Δy=-√2/2Δx+o(Δx).而Δy+√2Δx /2 =cos(pi/4+Δx)-cos(pi/4)+ √ 2Δx /2=(√ 2/2)(cos(Δx)-sin(Δx)-1+Δx)→ 0，Δx → 0.

所以，y=cosx在點pi/4處可微。

微分概念的深入理解，對于一元微積分學習，尤其是復合函數的求導有著很大的好處。接觸復合函數的求導之初，很多學生苦于不能準確而迅速地作出正確答案，而學習了微分的概念一節中微分的一階形式不變性之后，復合函數的求導可以有另一種方法，即通過一階微分的形式不變性來解決。即對于由兩個函數復合而成的復合函數y=f(u(x))，dy=d(f(u(x)))=d(f(u))d(u).

例2.求復合函數y=3lncos(e^x+1)的微分。

解法一：先寫出復合函數y=3lncos(e^x+1)的復合過程，有

y=3lncos(e^x+1)由y=3lnu，u=cosv，v=e^x+1復合而成。則

y’=(3lnu)’(cosv)’(e^x+1)’=(3/u)(-sinv)(e^x)=(-3)tan(e^x+1)e^x

所以，dy=y’dx=(-3)tan(e^x+1)e^xdx.

解法二：由微分的一階形式不變性，有

dy=d(3lncos(e^x+1))=3/cos(e^x+1)d(cos(e^x)+1)=3/cos(e^x+1)(-sin(e^x+1))d(e^x+1)=3/cos(e^x+1)(-sin(e^x+1))e^x d(x)=3tan(e^x+1)e^x d(x)

相比較而言，利用微分的一階形式的不變性更加簡潔，計算也更加不容易出錯。同時，熟練掌握微分的運算性質和技巧對于日后學習不定積分和定積分中的湊微分法也有很大好處。

[1]翟步祥，盧春燕 高等數學[M].高等教育出版社

[2]王建，張維忠.微分概念的歷史發展及教學啟示[J].高等數學研究，2017，20(05)：52-55.