淺談大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)及其與地心直角坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換

李孟飛

摘要：大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系之間可以通過矩陣的方式完成相互轉(zhuǎn)換。本文對大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)進行了簡單概述，并且在此基礎(chǔ)上重點分析了正交曲線坐標(biāo)系的普適表達(dá)推導(dǎo)過程以及大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換問題，旨在為關(guān)注這一領(lǐng)域的人士提供一些可行性較高參考意見，推動我國相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展與完善。

關(guān)鍵詞：大地坐標(biāo)系；應(yīng)變張量；地心直角坐標(biāo)系；正交曲線坐標(biāo)系

引言：

隨著我國國民經(jīng)濟的發(fā)展以及人民生活水平的提高，社會各界對于我國地質(zhì)勘探與地形測繪工作，特別是大地坐標(biāo)系在其中的應(yīng)用關(guān)注程度越來越高。在地球物理學(xué)以及大地測量當(dāng)中，計算由質(zhì)點位移引起的地表應(yīng)變和地表某點的空間位置變化都會應(yīng)用到坐標(biāo)系。因此，如何在此種環(huán)境背景下完成大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換工作，是相關(guān)領(lǐng)域工作人員的研究重點之一。

一、大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)

設(shè)定點M為地面上的某一個定點，并且將這一點的坐標(biāo)設(shè)定為θ、L與h，分別用于表示這一點的大地緯度、大地經(jīng)度和距離地面的高度。則點M（θ，L，h）的位置向量可以用以下的公式進行表達(dá)，即：

等式中的R1為點M在橢球面與曲線法線之間交點的半徑，可以用以下公式進行表達(dá)，即：

等式中的a和b分別是大地坐標(biāo)系當(dāng)中的旋轉(zhuǎn)橢球的長半徑與短半徑，可以用以下公式進行表達(dá)，即：

二、大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

（一）正交曲線坐標(biāo)系的普適表達(dá)推導(dǎo)過程

將正交曲線坐標(biāo)系參考面作為推導(dǎo)研究的基礎(chǔ)，在正交曲線當(dāng)中選定任意一點P，以點P的坐標(biāo)（q1，q2，q3）可以對曲線的坐標(biāo)進行定義，將點P的前兩個坐標(biāo)q1，q2作為這點到參考面法線投影在面上的曲線坐標(biāo)，這一點到參考面法線之間的距離設(shè)為q3，這樣一來，點P的三個坐標(biāo)分別形成了一個相互正交的三維立體網(wǎng)絡(luò)，這一點形成的局部直角坐標(biāo)系在歐式空間當(dāng)中會與某個連通域Ω笛卡爾直角坐標(biāo)系相互連接[1]。變量xi是由連續(xù)可微、雙方單值且可逆的變換聯(lián)系進行定義。因為變量xi對應(yīng)Ω當(dāng)中的某一點，所以對不同坐標(biāo)變量之間的逆向和正向兩種形式的變換矩陣需要通過雅可比行列式進行求導(dǎo)，即

det[T]ij=det（axi/aqi）≠0

det[T-1]ij=det（aqi/axj）≠0

與之對應(yīng)的變換矩陣具有互逆性，因此可以得到

（aqi/axk）×（axk/aqj）=aqi/aqj

當(dāng)?shù)仁街械膇=j，那么等式的結(jié)果為1，若i≠j，那么等式的結(jié)果為0。

考慮到正交曲線坐標(biāo)系的特性，在變換矩陣當(dāng)中，雅可比行列式不為0，所以曲線坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換矩陣列向量不平行且正交。

（二）大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)換

在利用GPS觀察技術(shù)和地質(zhì)觀測資料對地殼的應(yīng)變形式進行分析的過程中，通常情況下選擇的坐標(biāo)系為大地坐標(biāo)系或者是地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中的一種，實現(xiàn)應(yīng)變張量的分析。應(yīng)用應(yīng)變張量的矩陣轉(zhuǎn)換公式，可以將其中一種坐標(biāo)系所得出的結(jié)果轉(zhuǎn)化成為另一種坐標(biāo)系當(dāng)中的數(shù)值，從而避免了二次測繪計算的麻煩。不用重新在另外一種坐標(biāo)系當(dāng)中進行張量計算，還可以降低測繪結(jié)果的誤差，獲得更加準(zhǔn)確的坐標(biāo)系地殼應(yīng)變信息。作為一種空間直角坐標(biāo)系，地心直角坐標(biāo)系的曲線是彼此相交的正交曲線，與相比，雖然大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)曲線也是彼此相交的正交曲線，但是大地坐標(biāo)系是一個旋轉(zhuǎn)的橢球參考面，二者都是正交曲線的坐標(biāo)系，具有正交曲線坐標(biāo)系活動標(biāo)架彼此正交的特性。

在對二者之間的相互轉(zhuǎn)換過程進行研究時，筆者經(jīng)過對礦山測量與地籍測繪的結(jié)果進行分析，設(shè)定在某處監(jiān)測站作為地心直角坐標(biāo)系的原點，得出設(shè)置該監(jiān)測站在旋轉(zhuǎn)橢球的坐標(biāo)系當(dāng)中局部標(biāo)架應(yīng)變張量函數(shù)為τ，再將新坐標(biāo)系同舊坐標(biāo)系之中應(yīng)變張量矩陣進行轉(zhuǎn)換，便可以得出相應(yīng)的結(jié)果。設(shè)置點M處建立的直角坐標(biāo)系為單位固定標(biāo)架，因此點M的單位向量左邊之間也是相互正交狀態(tài)。因為地心直角坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系當(dāng)中的一種，大地坐標(biāo)系是旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系當(dāng)中的一種，所以地心直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)換可以視為是直角坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。在某橢球體當(dāng)中嵌入框架為地心直角坐標(biāo)系的三維空間，并且將橢球體的球心點O與地心直角坐標(biāo)系的原點相互重合，X1軸置于橢球起始子午面內(nèi)部，球心的自轉(zhuǎn)軸與X3軸相互重合，根據(jù)轉(zhuǎn)換的原則，可以通過計算得出大地坐標(biāo)系當(dāng)中的點M在地心橢球面上的坐標(biāo)標(biāo)架表達(dá)式，再帶入到地心直角坐標(biāo)系框架當(dāng)中進行轉(zhuǎn)換，由此可以得出大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量在地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中參考面應(yīng)變張量。

經(jīng)過計算分析可以了解到，大地坐標(biāo)系與地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中相同位置的同一個點應(yīng)變張量矩陣所給出的在該點地殼應(yīng)變活動同坐標(biāo)系之間不發(fā)生任何關(guān)系。結(jié)合我國某地區(qū)GPS數(shù)據(jù)，以當(dāng)?shù)啬程庍M行大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量與地心直角坐標(biāo)系進行相互轉(zhuǎn)換為例，設(shè)定某處參考點為N，用L表示其大地經(jīng)度，用大地余緯數(shù)值作為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時的參數(shù)，將其帶入前文當(dāng)中的轉(zhuǎn)換矩陣當(dāng)中可以得出這一點經(jīng)過轉(zhuǎn)換之后在地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中所對應(yīng)的位置，同時還可以確定該點應(yīng)變張量是一個同所選擇坐標(biāo)系不發(fā)生關(guān)系的不變量[2]。

總結(jié)：

綜上所述，作為常用的坐標(biāo)系，大地坐標(biāo)系與地心直角坐標(biāo)系都在GPS地殼形變分析當(dāng)中發(fā)揮了重要的作用。GPS觀測技術(shù)可以在監(jiān)控地殼運動時，提出不同的參考框架。借助地心直角坐標(biāo)系應(yīng)變張量，在正交曲線坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，能使用最簡潔的方法推導(dǎo)出正交曲線坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)式。推導(dǎo)出不同正交曲線坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)式，能夠作為地殼分析工作當(dāng)中的參考數(shù)據(jù)，。

參考文獻：

[1]王晶晶.流形的張量測量及其在工程應(yīng)變測量中的應(yīng)用[D].河南理工大學(xué)，2015.

[2]尚建奎.淺談2000國家大地坐標(biāo)系的啟用[J].地球，2016（6）.endprint