深度學習來自認知的不適

【摘要】深度的學習來自認知的不適。在課堂學習中，當學生遭遇認知遇阻、認知沖突與認知失衡時便會形成認知不適，這種認知不適是由學習任務的挑戰性引發的。本案例意圖通過挑戰性的數學學習任務引發學生認知不適，從而形成學習的內驅力，使學習真正發生并走向深入，實現深度的數學學習。

【關鍵詞】認知不適；深度學習；線的認識

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）65-0055-03

【作者簡介】李培芳，福建省廈門市華昌小學（福建廈門，361000）教導主任，高級教師，福建省數學學科帶頭人。

一、抽象與比較，初步感知“線”

師：同學們，今天我們要認識“線”，生活中見過線嗎？

生：見過。

師：閉上眼睛，想象生活中各種各樣的線，有時候閉上眼睛，你可以看到更多。

生：電線。

生：毛線。

生：天線。

生：地平線。

師：真好，同學們的頭腦里有一個“線的世界”。

師：數學中的線和生活中的線會一樣嗎？

（學生眾說紛紜。）

師（拿出一個盒子）：用生活的眼光看，這是一個盒子，沒有線，用數學的眼光看……

生：有線，有4條線。

生：有8條！

師：都看到了嗎？在哪兒呢？看來數學中的線和生活中的線有所不同??！

（課件出示生活中的立體圖形，而后抽象出線。）

數學上的線是高度抽象的，以至于在現實世界中找不到原型。這種水平的抽象小學生幾乎是無法真正理解的。不過，教學應當嘗試去觸碰學生能接受的“上限”，謹慎地去觸碰，不同水平的學生在這樣的活動中會有不同的收獲。教學中教師提出“用生活的眼光看，這顯然只是一個盒子，沒有線，不過，用數學的眼光看……”，這個比較還是精妙而妥帖的。比較中學生的認知失衡了，他們突然發現認知中的線和數學上的線有所不同，這種感受有助于他們感悟線的抽象性、數學的抽象性。

二、想象與分類，整體感知“線”

師：觀察屏幕上的線，這些線有什么不同。

生：有直的，有彎的。

生：有長的，有短的。

屏幕出示：線有（曲直）；線有（長短）。

師：因為線有曲直，所以線分為直直的線和彎彎的線。這節課，我們只研究直直的線。（課件隱去曲線，留在屏幕上的是三條線段。）

師：想想，線有長短，可以把線怎樣分類呢？

生：可以分成長長的線和短短的線。

生：還有一般長度的線。

生：還有很短很短的線。

生：那還有很長很長的線。

師：同學們真會想問題，我們要對線分類，到底是要對哪些線分類呢？是只對屏幕上的三條線分類嗎？

生：不是的，是對很多線分類。

生：是要把所有的線分類。

師：這樣，我們的心里就必須有整個線的世界。就像同學們說的，線還有很短很短的，比畫一下。（學生比畫）還有很長很長的，也比畫一下。你能說一條很長很長的線嗎？

生：從黑板的這邊到那邊。

生：從教室的前面到后面。

生：從教室到學校操場。

生：從教室到家里。

生：從廈門到北京。

生：從地球到太陽。（全體學生情緒激昂。）

師：這樣，咱們不比了，安靜地思考，你能說一條長度讓人無法超越的線嗎？

生：一萬千米，哦，一億千米長。

師：哈哈，顯然會被超越，一億千米再多一米的線就比你說的長了。

生：從宇宙這頭到宇宙的那頭。

師：哈哈，你從這頭到那頭，我兩邊都出頭，是不是就比你說的長了。

生：無邊無際的長。

師：啥意思？（學生不知如何表達）是不是這個意思，請看屏幕。

（課件出示一片星空，一條線向兩端無限延伸。）

師：現在，如果按照長短將線分類，你想怎么分？

生：有頭有尾的線分一類，沒頭沒尾的線分一類。

師：想想，有第三類嗎？

生：還有有頭沒尾的線。（課件出示射線）

師：想想，還有第四類嗎？

生：還有沒頭有尾的線。（課件出示反方向的射線。）

生：這和前面那一條是一樣的，只是方向不同。

師生小結：線分為無限長的線和有限長的線，無限長的線又分為沒頭沒尾的線和有頭沒尾的線。

出示三個概念：線段、射線、直線。

師：同學們說說，哪個是哪個？

生：有頭有尾的線是線段，有頭沒尾的線是射線，沒頭沒尾的線是直線。

師：生活中你在哪里見過射線？哪里見過直線？（生答略）

在這一環節的學習中，學生遇到了相當大的困難。一方面，想象是不易的，但卻是必要的。因為直線和射線存在于想象而不是現實。更多的教學是直接揭示直線和射線讓學生想象。而本課意圖讓學生從“分類需要有一個線的世界”入手，讓學生硬生生地“憑空”想象出直線和射線來，這種困難是加倍的。另一方面，分類是不易的，但卻是有價值的。因為分類，線段、射線和直線的認知便成了結構化的認知；因為分類，學生能充分地領略數學分類思考的有序、全面與嚴謹。教師大膽引導學生思考“有讓人無法超越的線嗎？”“有第三類嗎？”“有第四類嗎？”……過程中，學生的認知狀態是受阻的，然而當他們跨越阻隔獲得成功后，那種感受卻又是美妙的，我們將這種美妙的感受稱為體驗。這樣的教學設計源于高立意的教學追求，追求的是學生對數學本質的理解，對數學思想的感悟，對數學本身的悅納。

三、表示中感悟，外化“線”的特征

師：你能試著畫出直線、射線和線段嗎？要讓別人知道你畫的哪一條是直線，哪一條是射線，哪一條是線段嗎？

（學生嘗試后交流）

師：同學們，在畫的時候顯然大家是碰到了困難的。確實不容易，要將無限長的線畫到有限的紙張里，該怎么畫呢？

方法1：射線一端畫到紙張的邊沿，直線兩端畫到紙張的邊沿。

方法2：射線一端加上箭號，直線兩端加上箭號。

方法3：射線一端加上省略號，直線兩端加上省略號。

方法4：線段兩端有端點的標記，射線一端有端點的標記，直線兩端沒有端點標記。

師：說一說，你喜歡哪一種表示方法。

生：我喜歡方法1，因為無限延長，所以應該畫到邊沿。

生：我覺得畫到邊沿也沒有無限長，我喜歡方法3，省略號表示一直延伸。

生：我覺得方法2好，加上箭號就很明顯了。

師：有人喜歡方法4嗎？（只有一人舉手，教師請這位同學發言。）

生：我覺得這樣就能分出什么線是線段，什么線是射線，什么線是直線了，還需要那么麻煩嗎？

（學生看法不一，眾說紛紜。）

師：想不想知道數學家是怎么畫的？（想）就是這樣畫的（教師指“方法4”）。

（學生很訝異）

師：這個阻止線延伸的點叫作端點。說說線段、射線和直線分別有幾個端點？

生：線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點。

師：直線還有一種不同的畫法。（課件出示圖1）你能讀懂數學家的想法嗎？

（圖1）

生：表示這條線可以突破那兩個點，無限延伸。

“無限長的線如何畫到有限的紙張上？”這一充滿矛盾的問題激起學生認知上的沖突，在這種充滿挑戰性的考驗中，我們發現了學生巨大的可能性。他們創造性地用生活的思維（畫到邊沿），用不同學科的經驗（省略號），用形象的符號（箭號），用數學的符號（端點）等獨特的方式表示無限。在創造中學生方法不一卻各有價值，在分享中學生讀懂別人并反思自己，整個學習與分享的過程是迷人的。在充滿挑戰性的學習活動中，我們發現了兒童。

四、比較中概括，理解“線”的特征

課件出示：線段、射線和直線有什么相同點？有什么不同點？有什么聯系？

組織全班同學獨立思考一分鐘后，再四人小組內交流。（按照三個問題的順序有序交流。）

生：都是直直的。

生：它們都是線。

生：線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點。

生：線段長度是有限的，射線和直線的長度是無限的。

生：直線可以向兩端無限延長，射線可以向一端無限延長，線段不能延長。

生：線段可以量出長度，射線和直線無法量出長度。

生：線段如果去掉一個端點就是射線，如果去掉兩個端點就是直線。

師：這樣說可能更好一些，線段如果去掉一個端點，讓它沿一個方向無限延長，就成射線了。

生：在直線中間畫一個點，兩邊就是兩條射線。

師（在黑板上的直線上畫一個點）：這樣，這條線上的這個點和它右邊的部分是一條射線，左邊也是一條射線。

生：直線上畫兩個點，中間的部分是線段。

師（在直線上畫兩個點）：這兩點之間的部分是線段。

師：線段和射線是它們所在直線的一部分。

（組織學生自學課本，認識線段、射線和直線的讀法。）

系列問題的合并思考往往會形成學習的挑戰。本環節教師將“線段、射線和直線有什么相同點？有什么不同點？有什么聯系？”這三個問題一并拋給學生，讓他們對系列的問題進行思考、討論、交流。我們發現：學生個體的思考和表達往往呈現出無序的、跳躍的樣態。而在群體交流中，由于教師的介入與引導，學生的交流可以從無序走向有序。這種充滿挑戰的系統性的思考有助于學生形成有序思考、有序表達的意識、能力和習慣。

五、操作中思考，深化“線”的認知

先想一想，再畫一畫：

1.一個點可以畫幾條直線？

2.過兩個點可以畫幾條直線？（這兩點如果離得很遠呢？為什么？）

曹培英老師認為，過兩點能且只能畫一條直線，暗含著存在性和唯一性，有利于學生感受直線的本質特征。學生并不難完成該操作活動，但是對于“為什么只能畫一條？”這一問題，學生的表達是有困難的。但是需要調整的一個觀念是：有的問題，不能因為學生無法準確完整地回答就不問。筆者認為，想不出來也是想，想不出來一樣可以滋養學生數學素養的成長，富有挑戰性的問題的價值還在于此。