一類切換時滯系統的增長無源性

李莉莉, 劉 晨, 羅靜文

(遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連 116029)

一類切換時滯系統的增長無源性

李莉莉, 劉 晨, 羅靜文

(遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連 116029)

無源性是描述系統輸入輸出關系的重要性質,增長無源性是無源性的一種推廣形式。受時滯系統無源性和非時滯系統的增長無源性的啟發,提出一類切換時滯系統的增長無源性定義。基于多李雅普諾夫函數方法,設計依賴于狀態的切換規則,Wirtinger積分不等式與Finsler引理相結合用于處理系統中的時滯項,以線性矩陣不等式的形式給出切換時滯系統具有增長無源性的充分條件。特別地,當參數取特殊值時,討論了切換時滯系統具有輸入增長無源性和輸出增長無源性的充分條件。作為詹森積分不等式的拓廣形式,在處理時滯項時選取Wirtinger積分不等式有助于降低所得結果的保守性。

切換時滯系統; 增長無源性; 多李雅普諾夫函數

0 引 言

無源性是聯系系統輸入輸出的一個重要性質。增長無源性通過增量供給率建立任意2個輸入差與對應的輸出差之間的聯系。對于非切換系統而言,文獻[1]提出了非線性系統的增長無源性,并證明了增長無源系統經過反饋聯結后仍是增長無源的;文獻[2]提出了非線性切換系統的增長無源性,并討論了相應的輸出跟蹤問題;文獻[3]提出了離散線性切換系統的增長無源性,證明了增長無源的離散線性切換系統反饋聯結后仍是增長無源的,并進一步基于增長無源性討論了輸出調節問題;文獻[4]針對非線性切換系統提出了一種新的增長無源性,解決了相應的輸出調節問題。但切換時滯系統的增長無源性尚未被提出。

1 問題描述與預備知識

考慮如下形式的一類切換時滯系統

定義在給定的切換信號σ(t)下,切換時滯系統(1)是增長無源的,如果存在光滑函數Vi(x1,x2):R2n→R+以及標量γ1≥0,γ2≥0,使得系統(1)的任意2個輸入v1(t)和v2(t)及其對應輸出y1(t)和y2(t)滿足下列不等式

其中Vi(x1,x2)稱做系統(1)第i個子系統的存儲函數。特別地,當γ1=0時,切換時滯系統(1)是輸入增長無源的;當γ2=0時,切換時滯系統(1)是輸出增長無源的。

2 切換時滯系統的增長無源性

下面給出系統(1)具有增長無源性的充分條件。

定理考慮系統(1),如果存在正定矩陣Pi,Q,R和適當維數的矩陣Mi1,Mi2,Mi4,Mi6,Ni6,Ni7,以及標量αij≥0,γ1≥0,γ2≥0滿足下列線性矩陣不等式

其中

那么系統(1)在切換規則

下是增長無源的.

證明 構造如下存儲函數

則

由Wirtinger積分不等式[5]可知

其中

由Finsler引理[6]可知,上述不等式等價于

故對于任意t∈[tk,tk+1),系統(1)是增長無源的。在切換點tk上由切換規則(4)可知

推論1 考慮系統(1),如果存在正定矩陣Pi,Q,R和適當維數的矩陣Mi1,Mi2,Mi4,Mi6,Ni6,Ni7和標量αij≥0,γ1=0,γ2≥0滿足式(3),那么系統(1)在切換規則(4)下是輸入增長無源的。

推論2 考慮系統(1),如果存在正定矩陣Pi,Q,R和適當維數的矩陣Mi1,Mi2,Mi4,Mi6,Ni6,Ni7和標量αij≥0,γ1≥0,γ2=0滿足式(3),那么系統(1)在切換規則(4)下是輸出增長無源的。

3 數值例子

例考慮含有2個子系統的切換系統(1),其中

選取α11=1,α12=1,α21=1,α22=1,γ1=0.8,γ2=1.5,d=0.8,μ=0.2。可得

圖1 切換信號Fig.1 The switching signal

圖2 切換系統的狀態響應Fig.2 The state responses of the switched systems

4 結 論

本文提出了一類切換時滯系統的增長無源性定義。基于多Lyapunov函數方法,設計依賴于狀態的切換規則,利用Wirtinger積分不等式和Finsler引理給出了切換時滯系統是增長無源的充分條件。最后,作為特例,給出了系統輸入增長無源和輸出增長無源的充分條件。在處理時滯項時,Wirtinger積分不等式作為Jensen積分不等式的擴展式比Jensen積分不等式具有更小保守性。而文獻[5]中比較了不同形式的Wirtinger積分不等式的保守性,本文選取的是保守性最小的一種形式。

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Incrementalpassivityforaclassofswitchedtime-delaysystems

LILili,LIUChen,LUOJingwen

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

Passivity is an important property to describe the relation between the system input and output, and the incremental passivity is a generalization type of the passivity. Inspired by the passivity of time-delay systems and the incremental passivity of non-time-delay systems, this paper proposes the definition of the incremental passivity for a class of switched time-delay systems. Based on the multiple Lyapunov function method, switching rules dependent on the system state is designed, and the Wirtinger integral inequality and Finsler Lemma are combined to deal with the delay terms in the systems, sufficient conditions for the incremental passivity of the switched time-delay systems are given in the form of linear matrix inequalities. In particular, when parameters take some special values, the sufficient conditions for the incremental input passivity and the incremental output passivity of the systems are discussed meanwhile. As the extension form of Jensen integral inequality, the Wirtinger integral inequality which is chosen to deal with the delay terms is helpful to reduce the conservativeness of the proposed results.

switched time-delay systems; incremental passivity; multiple Lyapunov functions

2017-09-01。

國家自然科學基金資助項目(61304056;11671184); 大連市高層次人才創新支持計劃項目(2016RQ049)。

李莉莉(1982-),女,遼寧大連人,遼寧師范大學副教授,博士。

1673-5862(2017)04-0415-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.007