數列模式化解題策略研究（2）

劉志鵬

內容提要：對于數列的研究源于現實生產和生活的需要，人們在生活中發現了許多有趣的數列，我們嘗試通過觀察這些數列來研究一下這些數列的通項公式是怎么樣的，以便于更深入的了解、理解數列，能運用其解決一些問題。

關鍵詞：類型；技巧；模式化

觀察法求數列通項公式主要是通過觀察數列每一項的序號與這一項的對應關系，我們可以把它看成是一個序號到另一個數集的對應關系。或者是比較已知的數列，通過歸納，轉化（等差數列或等比數列）等方法，嘗試寫出數列的通項公式，然后再去驗證，如果有誤差，再做調整。這對于學生的歸納推理能力要求較高，所以應注意細心觀察，合理聯想，善于總結。

類型一. 根據數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式

例1（1）5，10，15，20，25，…

（2）3，5，9，17，33，…

（3）1，-3，5，-7，9，…

（4）9，99，999，9999，…

（5）1，2，1，2，1，2，…

（6） ， ， ， ， ，…

解析：（1）通過觀察可以發現，每一項都是5的倍數，第一項5×1，第二項5×2，第三項5×3，第四項5×4，第五項5×5，…，所以這個數列的通項公式為： = 。

（2）通過觀察可以發現，每一項都減去1之后數列會變為2，4，8，16，32，…，聯系正整數冪，即21，22，23，24，25，…，所以這個數列的通項公式為： = 。

（3）通過觀察可以發現，這個數列的每一項是正負相間的形式，那么可以選擇用 來控制每一項的正負，同時每一項的絕對值都是奇數，即1，3，5，7，9，…，所以這個數列的通項公式為： = 。

（4）通過觀察可以聯想到這樣一個數列10，100，1000，10000，…，數列的第一項是 ，第二項是 ，第三項是 ，第四項是 ，…，先得到這個數列的通項公式為 = ，然后減一，就得到 = -1，即為這個數列的通項公式。

（5）通過觀察可以發現，數列的奇數項是1，偶數項是2，我們可以用分段的形式來寫，所以這個數列的通項公式為： =

（6）通過觀察可以發現，這個數列的每一項大都有根號，所以想到把第二項的數放到根號里，變為 ，第四項變為 ，這樣根號里面的數分別是3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，先得到這些數的規律為 ，所以這個數列的通項公式為： = 。

類型二. 觀察一組圖形的變化規律，試寫出其變化的通項公式

例2 下列關于笑臉的圖案構成一個數列，寫出它的一個通項公式

解析：通過觀察可以發現，這組圖形是由1，3，6，10，…這樣一個數列組成的，第一項 1=1

第二項 3=1+2

第三項 6=1+2+3

第四項 10=1+2+3+4

…

第n項 1+2+3+4+…+n=

所以這個數列的通項公式為 =

例3 下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在下圖的四個三角形中，著色三角形的個數依次構成數列的前四項，依次著色方案繼續對三角形著色，則著色三角形的個數的通項公式個數為（ ）

A. B. C. D.

解析：根據圖形的特點，每增加一個三角形應在原來的基礎上再增加3倍個三角形，三角形的個數為：1，3，3×3，3×9，…，歸納出第n個圖形中三角形的個數。

通過觀察可以發現，第一個圖形中有1個三角形，

第二個圖形中有3個三角形，

第三個圖形中有3×3個三角形，

第四個圖形中有3×9個三角形，

以此類推：第n個圖形中有3n-1個三角形，故 =3n-1，所以選A

類型三.斐波那契數列

斐波那契數列為意大利數學家Fibonacci最初發現的，斐波那契數列源于兔子的繁殖問題：兔子出生后兩個月就能每月生小兔，若每月不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養了初生的小兔子一對，試問一年后共有多少對兔子？依此類推，該問題產生的數列如下：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個數列有個十分明顯的特點，那就是，數列前面相鄰兩項之和，構成了數列的后一項。此數列稱為斐波那契數列，又稱為黃金分割數列。如果用 表示第 n 月的大兔對數，則有 = + 。

數學的各個領域常常奇妙而出乎意料地聯系在一起： 斐波那契數列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應用，它就不會有強大的生命.發人深省的是，斐波那契數列確實在許多問題中出現.

自然界中的斐波那契數：花瓣數中的斐波那契數大多數植物的花，其花瓣數都恰是斐波那契數.例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣.向日葵花盤內，種子是按對數螺線排列的，有順時針轉和逆時針轉的兩組對數螺線。兩組螺線的條數往往成相繼的兩個斐波那契數，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發現過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是斐波那契數.

例4觀察下面數列的特點，用適當的數填空。

（1）1，2，，（ ），5，8，（ ），21，34，（ ），89

（2）3，5，（ ），13，21，（ ），55

解析：通過觀察數列，發現符合斐波那契數列的形式，所以（1）的答案為3，13，55 （2）的答案為8，34

總之，觀察法求數列通項公式作為數列學習的基礎，在高中數列教學中應該著重引導學生去發現數列，去認識數列，進而總結出各種類型數列的解題策略和解題技巧，拓寬學生視野，提高學生能力，已達到提高學習效率的目的。

參考文獻：[1]高中數學課程標準；

[2]2008——2017高考數學考綱；

[3]2008——2017高考數學原題。endprint