基于測試的高中生數學抽象素養水平現狀研究

鄭雪靜，陳清華，王長平

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基于測試的高中生數學抽象素養水平現狀研究

鄭雪靜1，2，陳清華1，王長平1

（1．福建師范大學 數學與信息學院，福建 福州 350117；2．泉州師范學院 數學與計算機科學學院，福建 泉州 362000）

數學抽象素養是6個數學核心素養之一．通過建構一個數學抽象素養水平評價框架，利用自編的數學抽象素養水平測試卷，對福建省高中生數學抽象素養水平現狀進行研究．結果表明：（1）高中生數學抽象素養水平一般；（2）高二與高三學生數學抽象素養水平存在顯著差異；（3）高中男生與女生數學抽象素養水平存在顯著差異；（4）市區、縣城、鄉鎮不同地域學生數學抽象素養水平不均衡．

數學抽象素養；高中生；測試；評價

1 引言

自20世紀90年代以來，“核心素養”成為國際的重要議題．2014年3月30日，中國教育部印發的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中指出：研究制訂學生發展核心素養體系，明確學生應具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力．該《意見》正式提出“核心素養體系”的概念[1]．2016年9月13日發布的《中國學生發展核心素養》中指出：學生發展核心素養指學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，是關于學生知識、技能、情感、態度、價值觀等多方面要求的綜合表現[2]．至此，關于核心素養的研究引起了教育界的廣泛關注．普通高中數學課程標準修訂組專家提出高中6個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[3]，并分別對這6個核心素養從內涵、價值、表現3個方面進行描述，同時分別從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思4個方面對6個核心素養進行3個水平的劃分．

修訂的《普通高中數學課程標準》即將頒布，如何對接高考綜合改革？在“素養立意”命題理念下，如何評價高中生的數學核心素養水平？對這些問題的研究已迫在眉睫．數學抽象素養是第一個數學核心素養，通過建構一個數學抽象素養水平評價框架，利用自編的數學抽象素養水平測試卷，對福建省高中生數學抽象素養水平現狀進行研究，以期為高中生數學核心素養水平的評價研究提供借鑒．

2 理論基礎

2.1 數學核心素養的相關研究

許多學者對數學核心素養進行了相關研究[4-6]，南京師范大學喻平教授對數學學科核心素養要素析取進行實證研究，并提出將數學核心素養劃分為知識理解、知識遷移、知識創新3種水平的評價框架．天津師范大學王光明教授等對高中生數學素養的操作定義進行了研究．2017年《數學教育學報》第1期刊載了7篇[7-13]基于2016年江蘇省八年級學生學業質量監測的數學核心素養發展狀況研究的文章，其借鑒高中數學核心素養水平劃分，將初中數學核心素養的具體表現進行4個水平的劃分，進而對不同群體分別就質量監測中與6個數學核心素養相關的題目得分情況及水平分布進行統計分析，得出江蘇省八年級學生6個數學核心素養相應發展水平的特征．然而，目前對高中生數學核心素養水平的測評研究還很欠缺．

2.2 數學抽象素養的理解

數學抽象素養是6個數學核心素養之一，《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》從內涵、價值、表現對其進行了描述．數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養．它主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征．數學是研究現實世界的數量關系和空間形式，因此，數學抽象主要是從眾多事物中抽取出其在數量和圖形方面共同的、本質的特征，通過對數量與圖形的性質、關系和規律進行研究，進而用數學符號進行表征．

數學發展本質上依賴于抽象、推理、模型3個思想，其中最核心的是抽象思想[14]．數學抽象使得數學具有一般性．史寧中教授認為，數學抽象從表現形態和思維形態來看，需要經歷兩次抽象[15]，第一次是概念抽象，是在基于現實的概念抽象基礎上，進而基于邏輯的抽象，從而得到數學概念以及概念之間的性質、關系和規律；第二次抽象是符號抽象，其抽象的特點是符號化、形式化和公理化．數學抽象讓學生經歷由感性具體到理性具體，從理性具體上升為理性一般的思維過程．

通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考并解決問題．也即，學生形成一定的數學抽象素養，能夠用數學的眼光觀察現實世界，運用數學抽象的方法抓住事物的本質和結構，在一般的、抽象的層面上思考問題．同時，在數學學習過程中，能夠更好地理解數學、應用數學，以及形成數學化的能力和思維習慣．

2.3 數學抽象素養水平評價框架

要評價高中生的數學抽象素養水平，首先要構建評價框架．依據《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》中關于數學抽象素養3個水平的劃分，同時借鑒PISA的數學能力群[16]，構建了一個數學抽象素養水平的評價框架（見表1）．評價框架里涉及6個指標，包括3個內容維度和3個水平維度．內容維度為：（1）情境：包含熟悉的情境、關聯的情境、綜合的情境；（2）認知：包含的行為動詞有了解、模仿、理解、感悟、掌握（能）、建構、運用和創新；（3）表達：包括書面表達或口頭表達，是交流過程中的思維表現和思維結果，包含的行為動詞是解釋．水平維度為：（1）再現（Reproduction Cluster）：主要指能夠在熟悉的情境中結合相應的數學概念和規則，模仿學過的常規方法解決問題，包括常規的計算、推理和表達；（2）聯系（Connections Cluster）：主要指能夠在關聯的情境中，對所學知識進行整合、關聯以及適當拓展，能夠對常規問題解決進行轉換和解釋，甚至運用多種方法進行計算、推理、論證，包括建模，提煉出通性通法；（3）創造（Creation Cluster）：主要指能夠在綜合情境中發現和提出數學問題，創造解決數學問題的新方法，包括建模，解決復雜問題．

表1 數學抽象素養水平評價框架

3 研究設計

3.1 研究思路

采用質性與量化相結合的研究方法，質性研究是結合文獻對數學抽象素養的內涵進行界定，并建構一個數學抽象素養水平評價框架；量化研究是在質性分析的基礎上通過自編測試卷，基于測試對福建省高中生數學抽象素養水平現狀進行研究．

3.2 研究對象

以高二、高三學生為研究對象，采用分類和整群相結合的隨機抽樣方法，發放問卷量及回收樣本量比較大，覆蓋面比較廣，包括福州、莆田、泉州、廈門、三明、龍巖地區的高中學校，既有市區中學，也有縣城、鄉鎮中學，具有一定的代表性．共收回有效問卷3?704份：高二2?571份，其中女生1?304份，男生1?267份；高三1?133份，其中女生610份，男生523份．具體地區樣本量和所占比例見圖1．

圖1 樣本地區分布

3.3 研究工具

（1）試卷編制．

史寧中教授認為：核心素養是后天習得的，與特定情境有關，是通過人的行為表現出來的，因此是可監測的知識、能力和態度[17]．關于數學抽象素養水平測試卷的編制，試題命制以《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》中關于命題的建議為指導，綜合考慮3個層面：一是3個基本要素：問題與情境、知識與技能、思維與表達；二是3條內容主線：函數、幾何與代數、數學建模活動與數學探究活動；三是數學抽象素養的3個水平：水平一、水平二、水平三．進而選取與數學抽象素養相關聯的知識，與現實生活及其它學科相聯系的情境，聚焦數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，淡化解題技巧，以知識內容為基礎，思想方法為舵手，能力意識為根本，核心素養為目標，重點考查學生的數學抽象素養．測試題目的數學抽象素養水平是以表1評價框架為標準設置的，是經過十多名研究生多輪討論，同時綜合一線教師和多位專家的意見，有往年高考原題或拓展題，有改編、自編的試題，最終確定了9道與數學抽象素養相關的測試題，附加一道以“數學抽象”為題的寫作題，總測試時間為150分鐘．另外，為了避免學生由于知識水平不足對測試帶來的影響，選擇的測試時間段是高二、高三下半學期，測試的知識水平沒有超過該時間段之前的課程內容要求．（測試卷詳見附件）

（2）測試題目水平分析．

測試題水平分布為：第1題、第2題、第3題、第4題、第9題（Ⅰ）（Ⅱ）歸屬水平一類型；第5題、第6題、第7題、第8題、第9題（Ⅲ）歸屬水平二類型；第9題（Ⅳ）歸屬水平三類型．下面僅以一道試題為例就數學抽象素養水平二進行分析，見表2．

表2 數學抽象素養水平二試題分析

（3）水平等級細分．

進一步采用四等級細分法，將水平一、水平二、水平三各細分為、、、四個等級．測試卷中選擇題、填空題的分值分別為3分、4分，水平一、水平二、水平三的解答試題分值分別為6分、9分、12分．將數學抽象素養水平一的試題得分為0分的定為等級，得分1~2分定為等級、得分3~4分定為等級，得分5~6分定為等級；將水平二的試題得分為0分的定為等級，得分1~3分定為等級、得分4~6分定為等級，得分7~9分定為等級；將水平三的試題得分為0分的定為等級，得分1~4分定為等級、得分5~8分定為等級，得分9~12分定為等級（見表3）．

表3 水平等級細分

4 研究結果統計與分析

在編制好測試題及進行等級細分之后，制定了試題的評分標準．通過對研究對象的測試，由十多位研究生對收回的3?704份有效測試卷進行初評，最后由作者進行一一復評，當初評與復評分數出現不一致時，再經討論確定分數并將成績錄入．錄入前先對試卷進行7位編碼：地區、學校、年級（編碼2為高二、編碼3為高三）、性別（編碼1為女生、編碼2為男生）、三位數編號，如泉州五中高二年級女生第10份試卷編碼：CW21010．采用IBM SPSS Statistics 22 統計軟件進行數據分析．

4.1 試卷信度分析

對3?704份樣本在9道測試題（14個分題）中所得總分進行信度分析，采用信度系數的內部一致性信度分析，結果顯示：測試卷的信度系數為0.841，具有非常好的信度[18]，說明這份測試卷測試結果具有較強的可靠性（詳見表4）．

表4 信度分析

4.2 試題的難度與區分度分析

表5 試題的難度和區分度

表5顯示，水平三試題第9題（Ⅳ）難度最大，難度值為0.06；從解答題的角度看，水平一試題第1（Ⅱ）題、第2題、第4題難度中等，難度值分別為0.54、0.59、0.56，而第3（Ⅱ）題、第9題（Ⅰ）（Ⅱ）難度值分別為0.38、0.35，測試結果比預測的難度略大；水平二試題第5題、第7題、第8（Ⅱ）題、第9題（Ⅲ）難度值分別為0.37、0.14、0.32、0.24，難度較大，第6題難度中等，而第7題難度超出了預測水平．整個試卷的難度采用各題難度與分值權重的乘積再求和的方法計算，試卷難度系數為0.35，試卷總體難度比較大．對于區分度，第9（Ⅳ）區分度為0.23，具有一定的區分功能，其它試題都具有很好的區分功能．整個試卷的區分度采用各題區分度與分值權重的乘積再求和的計算方法，試卷區分度為0.82，具有很好的區分度．

4.3 高中生數學抽象素養水平等級分析

利用表3的水平等級細分，對每道測試題得分的分布進行統計分析，借以分析學生的數學抽象素養水平等級分布情況．

圖2 學生數學抽象素養水平等級分布

圖2顯示各題中學生的數學抽象素養水平等級的百分比，其中考查水平一的第2題，學生達到等級的比重最大，有55%，最少的是第9題（Ⅰ）（Ⅱ），等級的比重為13%；將考查水平一的5道試題進行等級求和平均，得出學生數學抽象素養處于水平一、、、等級的比例分別為：37%、17%、10%、36%．考查水平二的試題中，學生達到等級比重最大的是第6題，有37%，最少的是第7題，僅6%；將考查水平二的5道試題進行等級求和平均，處于、、、等級的比例分別為：21%、15%、6%、58%．考查水平三的第9題（Ⅳ），學生數學抽象素養水平處于、、等級的比例分別為2%、3%、6%，而處于等級的有89%．

4.4 差異顯著性檢驗

（1）高二、高三學生數學抽象素養水平差異顯著性檢驗．對高二、高三學生數學抽象素養水平測試成績進行獨立樣本檢驗．結果如表6、表7所示．

表6 基本描述性統計量

表7 獨立樣本t檢驗結果

（2）高中男、女生數學抽象素養水平差異顯著性檢驗．

分別對高二和高三的男生與女生數學抽象素養水平測試成績進行獨立樣本檢驗．結果如表8、表9所示．

表8 基本描述性統計結果

表9 獨立樣本t檢驗結果

（3）市區、縣城、鄉鎮差異顯著性檢驗．

將調查的學校以市區、縣城、鄉鎮歸為3類，采用單因素方差分析，對這3類學校高二學生的數學抽象素養水平進行差異顯著性分析．具體見表10—表13．

表10 描述統計量

表11 方差齊性檢驗

表12 方差分析

表13 均值多重比較

5 結論

通過測試數據分析，福建省高中生數學抽象素養水平現狀如下：

（1）學生數學抽象素養水平一般．達到水平一、水平二等級的學生分別只有37%、21%，而處于水平二、水平三等級的學生分別有58%、89%．

（2）高二與高三學生數學抽象素養水平存在顯著差異，總體上高二學生數學抽象素養的平均水平比高三學生高．

（3）高中男生與女生數學抽象素養水平存在顯著差異，總體上高中男生數學抽象素養的平均水平比高中女生高．

（4）市區、縣城、鄉鎮不同地域學生數學抽象素養水平不均衡．總體上，市區學生數學抽象素養的平均水平比縣城高，縣城學生數學抽象素養的平均水平比鄉鎮高．

6 反思與建議

（1）數學抽象一般是在熟悉的、關聯的或綜合的情境中進行，涉及一定的情境閱讀，尤其是在關聯的、綜合的情境中，需要學生具備一定的閱讀理解能力，閱卷中發現學生的閱讀理解能力有待進一步提高．要提高學生的數學抽象素養水平，教師需要在一定程度上加強學生數學閱讀理解能力的提升．

（2）高二學生數學抽象素養的平均水平比高三學生高．對于這一現象，可以從以下多方面進行反思：一方面，從試卷作答情況以及對部分學校高三學生的訪談發現，學生反映測試時正值高三緊張復習時期，因此，部分學生對測試卷作答積極性不夠；另一方面，在應試訓練及解題訓練的背景下，高三階段對學生素養培養的關注度可能有些欠缺；第三，建立的評價指標的科學性還有待進一步的實踐檢驗．

（3）文[8]研究結果表明在數學抽象能力的發展上，初二年級男女學生基本不存在顯著差異．研究結果顯示，高二男女生數學抽象素養水平存在顯著差異．這種差異是隨著年級的升高導致呢，還是受其它因素的影響？這是一個值得進一步研究的課題．

（4）學生的數學抽象素養水平存在地域間的顯著差異．那么，學生的其它5個數學核心素養水平是否也存在地域間的差異？高考數學命題經歷“知識立意”到“能力立意”再到即將到來的“素養立意”的演變，“素養”理念下的數學教育如何縮短地域差異？這是需要整個教育部門認真思考的問題．

（5）雖然整個測試卷具有很好的區分度，但個別試題測試結果超出了預設難度．如何控制試題難度，更好地評價學生的數學抽象素養水平，需要更多的實踐檢驗．

（6）6個數學核心素養既相互獨立，又相互交融，盡管測試題側重考查學生的數學抽象素養水平，但其它數學核心素養是否會影響數學抽象素養水平的考查，這里的研究尚未涉及，期待在后續測評研究中進一步加以完善．

致謝：感謝東北師范大學史寧中教授蒞臨福建師范大學講學帶來的啟示與思考；感謝2016年全國教育科學規劃課題“高中生數學核心素養培養的策略及評價研究”對研究的推動作用；感謝參與調查研究的17所學校；感謝福建師范大學陳清華教授指導的十多位在讀研究生在試卷批改過程中的幫助．

[1] 中華人民共和國教育部．關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見[EB/OL]．（2014-04-24）[2017-02-20]．http://www.snedu.gov.cn/news/qitawenjian/201404/24/7873.html.

[2] 中華人民共和國教育部．《中國學生發展核心素養》發布[EB/OL]．（2016-09-14）[2017-02-20]．http://edu.people. com.cn/n1/2016/0914/c1053-28714231.html.

[3] 洪燕君，周九詩，王尚志，等．《普通高中數學課程標準（修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生[J]．數學教育學報，2015，24（3）：35-39．

[4] 喻平．數學學科核心素養要素析取的實證研究[J]．數學教育學報，2016，25（6）：1-6．

[5] 王光明，張楠，周九詩．高中生數學素養的操作定義[J]．課程·教材·教法，2016，36（7）：50-55．

[6] 喻平．數學核心素養評價的一個框架[J]．數學教育學報，2017，26（2）：19-23，59．

[7] 董林偉，喻平．基于學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查[J]．數學教育學報，2017，26（1）：7-13．

[8] 殷容儀，趙維坤．基于質量監測的初中學生數學抽象發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：14-15，63．

[9] 周雪兵．基于質量監測的初中學生邏輯推理發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：16-18．

[10] 李賀，張衛明．基于質量檢測的初中學生數學建模發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：19-21，87．

[11] 徐德同，錢云祥．基于質量監測的初中學生直觀想象發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：22-24．

[12] 杭毅，侯正永．基于質量監測的初中學生數學運算發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：25-27．

[13] 張愛平，馬敏．基于質量監測的初中學生數據分析發展狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（1）：28-31．

[14] 史寧中．數學思想概論：第1輯——數量與數量關系的抽象[M]．長春：東北師范大學出版社，2008：1．

[15] 史寧中．數學思想概論：第5輯——自然界中的數學模型[M]．長春：東北師范大學出版社，2015：2-3．

[16] ?OECD Publishing. PISA 2012 assessment and analytical framework: mathematics, reading, science, problem solving and financial literacy [M]. Oecd Publishing, 2013: 264.

[17] 史寧中．學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J]．中小學管理，2017（1）：35-37．

[18] 吳明隆．問卷統計分析實務——SPSS操作與應用[M]．重慶：重慶大學出版社，2010．

附錄：高中生數學核心素養之“數學抽象”測試卷

2．一個圓錐形的空杯子上放一個半徑為的半球形冰淇淋（如圖1），請你設計一種這樣的圓錐形杯子（杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚度忽略不計），使冰淇淋融化后不會溢出杯子，怎樣設計最省材料？（說明：液體與固體的密度差忽略不計）

4．某新型企業隨市場競爭加劇，為獲得更大利潤，企業須不斷加大投資，若預計年利潤率低于10%時，則該企業就得考慮轉型．下表顯示的是某企業從2013—2016年四年來年利潤（百萬）與年投資成本（百萬）變化的一組數據．

年份2013201420152016…… 投資成本x（百萬）35917…… 年利潤y（百萬）1234……

（Ⅰ）請根據上表的數據，選擇一個適當的函數模型來描述年利潤與投資成本的變化關系，并給出你選擇的理由．

（Ⅱ）若要使企業利潤超過6百萬，則該企業就得考慮轉型，這句話對不對？為什么？

5．學習了等差數列、等比數列之后，你是否想過還存在等和數列、等積數列？如果存在，請給出等和數列和等積數列的定義，并寫出等和數列和等積數列各項的特點．

6．某時刻點向西400千米的處是臺風中心，臺風以每小時40千米的速度向東北方向直線前進，以臺風中心為圓心、300千米為半徑的圓稱為“臺風圈”，從此時刻算起，經過多長時間點進入臺風圈？點處在臺風圈中的時間多長？

其中正確式子的序號是，請寫出解答過程．

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

10．寫作題：請以“數學抽象”為題，舉例說明你對“數學抽象”的認識．（可以通過語言、文字、符號、圖像綜合闡述，200字左右．）

[責任編校：周學智]

Based Testing Research on the Current Situation of High School Students’ Level about Mathematics Abstract Literacy

ZHENG Xue-jing1, 2, CHEN Qing-hua1, WANG Chang-ping1

(1. School of Mathematics and Informatics, Fujian Normal University, Fujian Fuzhou 350117, China;2. School of Mathematics and Computer Science, Quanzhou Normal University, Fujian Quanzhou 362000, China)

Mathematical abstract literacy was one of the six mathematics key competencies. By constructing a evaluation framework of mathematical abstract literacy, using the self-made mathematical abstract literacy test volume, this paper made a research on the current situation of senior high school students’ mathematics abstract literacy in Fujian province. The results showed that: (1) Senior high school students’ mathematical abstract literacy level were general. (2) There were significant differences in the level of mathematical abstract literacy between senior two and senior three students. (3) There were significant differences in the level of mathematical abstract literacy between high school boys and girls. (4) The level of students’ mathematical abstract literacy was unbalanced between urban area, county town and village town.

mathematics abstract literacy; high school students; test; evaluation

G632

A

1004–9894（2017）06–0026–07

鄭雪靜，陳清華，王長平．基于測試的高中生數學抽象素養水平現狀研究[J]．數學教育學報，2017，26（6）：26-32．

2017–05–24

2016年全國教育科學規劃課題——高中生數學核心素養培養的策略及評價研究（DHA160364）；2015年福建省中青年教師教育科研項目——基于微課建設的高等數學課程改革理論與實踐研究（JAS150461）

鄭雪靜（1978—），女，福建泉州人，講師，博士生，主要從事數學教育、考試命題與評價研究．