數學建模從走近到走進數學課堂——推介《數學建模教學與評估指南》

張思明，胡鳳娟，王尚志

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數學建模從走近到走進數學課堂——推介《數學建模教學與評估指南》

張思明1，胡鳳娟2，王尚志2

（1．北京大學附屬中學，北京 100190；2．首都師范大學，北京 100048）

2017年6月，由美國數學及其應用聯合會（COMAP）、美國工業與應用數學學會（SIAM）聯合原著，由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍教授編譯的《數學建模教學與評估指南》由上海大學出版社出版發行，闡述的主要觀點是：數學建模是一個過程；數學建模具有重要的育人價值；從學前到大學開展數學建模是可行的；數學建模的教學是有規律的；數學建模的評價是可行的；積累資源是建模實施的重要保障．數學建模活動進入新修訂的《普通高中數學課程標準》，這對全體教師實施數學建模活動的教學是有挑戰性的，《數學建模教學與評估指南》一書提供了豐富的資源、教學原則和評價工具等．

數學建模；資源；教學；評價

1 數學建模發展背景

20世紀70年代左右，英國劍橋大學教授把自己的項目分解成一些學生可以解決的問題交給他們來做．這就成了數學建模最原始的模型，用問題來調動學生學習數學的積極性．幾個學期下來，就逐漸形成一門受歡迎的課程——數學建模課程．最初數學建模課程是給博士研究生上，后來嘗試給碩士生上，發現也比較成功，再接下來給大學生上，最近開始給中小學學生上．當然不同階段的建模問題不同．數學建模的優勢很快得到歐洲、美國等一些西方發達國家的認可，也開始把數學建模的內容正式列入課程中．

為了激發學生參與數學建模課程的積極性，1985年，美國開始舉行每年一度的大學生數學建模競賽MCM（1987年前的全稱是Mathematical Competition in Modeling，1988年改全稱為Mathematical Contest in Modeling）[1]．

數學建模很快也引起了中國數學家和政府的重視，1989年在葉其孝教授等多位長期從事數學建模研究的大學教師的組織和推動下，中國幾所大學的學生開始參加美國的競賽．1994年，教育部將全國大學生數學建模競賽列為4項大學生課外科技活動之一．

與此同時，美國科學院國家研究委員會在1989年發表的調查報告“關于未來數學教育的報告”中把數學建模進入中學列為數學教育改革最急需的項目．上海市1991年，組織了“金橋杯”中學生數學知識應用競賽（也稱為“中學數學建模競賽”）．北京在1994年組織了第一屆“方正杯”中學生數學知識應用競賽，有兩千多人參加競賽．從1997年開始，北京數學會等5家單位組織，把“高中數學知識應用競賽”作為正式的科普活動，定期開展，到現在已經舉辦了20屆，參加的學生來自北京、江蘇、四川等多個省份[2]．

數學建模成為《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準（實驗）》）[3]的一部分，要求高中階段至少應安排一次較為完整的數學建模活動[3]；正在修訂的《普通高中數學課程標準》將數學建模作為數學核心素養，同時給出了數學建模活動一定的課時和相應的要求．目前中國部分中學成功開設的數學建模選修課；中學生的數學建模成果在大學生數學建模競賽、全國創新大賽、美國inter創新大賽上屢屢獲獎．

通過數學建模活動的實施和推廣，越來越多的數學家和數學教育工作者，逐漸認識到數學對人發展的作用，提出要重視數學應用能力的培養，要關注如何通過數學培養人的理性思維、創新精神和實踐能力等．

2 《數學建模教學與評估指南》一書簡介

盡管已經有了很好的準備，但是數學建模從課程到課堂依然充滿了挑戰．比如：如何編寫教材？如何組織教學？如何進行評價？考試怎么考？等等．

2017年6月，由美國數學及其應用聯合會（COMAP）、美國工業與應用數學學會（SIAM）聯合原著，由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍教授編譯的《數學建模教學與評估指南》（以下簡稱《指南》）一書，由上海大學出版社出版發行．作者有幸第一時間閱讀了此書，從中受到不少啟發，有助于開闊思路，更好地面對挑戰，在此希望介紹給讀者．

《指南》一書共分為5章：

第一章：什么是數學建模．作者認為，數學建模是一個過程，由厘定要解決的具體問題、作出假設并定義基本變量、數學求解、分析并評估模型和解決方案、按需要進行迭代以完善和擴展模型、實施模型并報告結果6個要素組成．

在該章最后，作者給出了數學建模教學的原則：

◆ 建模如同真實的生活是開放的、繁雜的．

◆ 當學生建模時，他們必須做真正的選擇．

◆（課堂的）改變無論大小，只是開始．

◆（建模的）評價應側重過程，而不是結果．

◆ 建模工作不是孤軍作戰（提倡學生團隊協作、利用好網絡資源等）．

第二章：低中年級數學建模（學前班~8年級）．該章從以下幾個方面進行展開：（1）學前班~8年級是一個自然學習數學建模的過程，有很多優勢，例如利用和保護孩子的積極性和好奇心，有利于數學、其它科目，甚至課外觀點的教學和評估；（2）討論了如何對學前班~8年級的學生一一開展建模過程的各個要素；（3）以“午餐問題”作為例子說明如何在每個年級段中展開整個過程；（4）作為建模教師的行為，包括教師在學生建模中扮演的角色、如何評估建模本身的學習等．

第三章：高中數學建模（9~12年級）．該章說明第一章給出的5條數學建模教學原則，對于高中數學建模也是同等重要，但它們在高中數學建模課堂上的表現形式卻不相同．對于高中數學建模教師實施數學建模教學給出5條原則：

◆ 從小問題入手．

◆ 用引導性問題和課堂討論，支持初步經驗的形成．

◆ 使用日常經驗來激發數學方法的使用．

◆ 使用小型的建模情境、使得只需一兩個要素就能組成一個完整的建模周期．

◆ 與家長和管理者分享你的目標和教學實踐．

第四章：大學本科數學建模．該章重點介紹了大學數學建模課程如何設置（給出了兩種可選的課程組織結構：建模過程和主題教學法），包括如何開展入門課、如何設置目標；介紹了最常見的數學模型和建模工具；探討了教師在數學建模課程中扮演的角色：問題開發者、課程開發者、課堂教學指導者、教練；最后，回到了數學建模的教學原則．

第五章：什么是數學建模：藝術與品味．該章通過直接引用的方式呈現了《指南》一書的作者團隊所認為的數學建模是什么以及不是什么．這一章是站在數學建模的實踐者和數學教育工作者的角度來強調數學建模的藝術性和品味．

該書還有6個非常實用的附錄，分別是：

附錄A試圖向讀者說明從公共資源中可獲取的建模問題類型；幫助讀者弄清楚這些示例問題究竟如何處理數學建模過程；幫助讀者識別可以修改一些建模任務的方法，以及對建模過程中所給任務沒有解決的不同部分進行強調．

附錄B、C、E是不同類型的實例．附錄B是學前到初中的建模實例；附錄C是拓展的建模實例；附錄E是中國高中建模實例．

附錄D首先給出了一個形成性評價方案，用于評價參與建模過程中各個階段的活躍的建模者，接著給出了從不同維度進行評價的評價量表．

附錄F介紹了國際數學建模挑戰賽．

《指南》一書的作者團隊通過大量案例分章節介紹了從學前、小學、初中、高中、直到大學本科的數學建模教學和評估的方法，在附錄中提供了翔實的教學案例和教學評估量表．使讀者可以從宏觀上領略數學建模是什么，數學建模的教學可以做什么，數學建模可以做到什么程度．也可以從微觀上看到，不同學段數學建模的要求差別、教學差別，認識差別和實踐操作上的差別．這對于打算開展數學建模教學實踐的老師們，是非常寶貴的資源．

3 《指南》一書的主要觀點

《指南》一書主要表達了以下觀點：數學建模是一個過程、數學建模具有重要的育人價值、從學前到大學開展數學建模是可行的、數學建模的教學是有規律的、數學建模的評價是可行的、積累資源是建模實施的重要保障．

3.1 數學建模是一個過程

《指南》一書認為“數學建模是一個過程”．數學建模經常被描述成一個循環，因為常常需要返回到最初并重新做假設，以便更加接近可用的結果．數學建模過程如圖1，這個過程包含了周期性要素，同時，并非所有的箭頭都是單向的．一些要素可能會同時發生，一些也可能會根據需要而反復發生．書中列舉了豐富的案例讓讀者感受什么是數學建模．

圖1 數學建模過程

（1）厘定要解決的具體問題．

厘清確定現實世界中我們想要知道、做或理解的某種事物，其結果就是得到一個源于現實世界的問題．

（2）作出假設并定義基本變量．

在現實世界的問題中選擇一些看上去比較重要的“對象”，識別它們之間的關系，并決定保留還是忽視那些對象或者它們之間的關系，結果得到一個初始問題的理想化版本．

（3）數學求解．

將這個理想化版本轉換成數學術語并得出理想化問題的數學公式，這個數學公式就是模型．再進行數學運算和求解，看看得到什么結果．

（4）分析并評估模型和解決方案．

進行如下考慮：它解決問題了嗎？當把它轉變回現實世界時是否合乎實際和情理？其結果是否實際、答案是否合理、后果是否可接受？

（5）按需要進行迭代以完善和擴展模型．

我做必要的過程迭代，從而完善并擴展得到的模型．

（6）實施模型并報告結果．

面向現實世界和實際應用，向他人報告得到的結論，并實施解決方案．

3.2 數學建模具有重要的育人價值

《指南》一書的作者堅信：“數學建模應當在學生數學教育的每一個階段都被教授……是因為數學在處理數學世界之外的問題方面意義重大．當學生從學校走向工作環境時，數學是能夠幫到他們的，并使他們成為有見地的公民．學生具有數學建模經驗是至關重要的，因為隨著年級的提高，這些經驗使他們廣泛接觸到各種各樣的問題——如何確定平均降雨量？消防站設在哪里？什么是公平的投票制度？學生們能夠學習并且領會到建模在他們所有的教育階段中的重要性……數學建模能夠用于激勵課程的要求，并且在解決重要問題時能夠突出數學的重要性和相關性，它還能幫助學生獲得通用技能，如跨學科的思維習慣．”

在第二章討論了數學建模在以下幾個方面的價值：

◆數學建模可以啟發數學過程和工具的應用．

◆數學建模能提前促進跨學科思考．

◆數學建模為提升溝通能力提供了機會．

◆數學建模促進團隊合作．

◆建模任務可以幫助教師辨別學生對熟知情境的誤解，使得學生能夠更好的解釋他們的想法．

數學建模在育人方面具有其它數學知識不可替代的作用．

3.3 從學前到大學開展數學建模是可行的

《指南》一書，給出了從學前到大學本科開展數學建模的一些很容易上手的例子．讀者一定好奇，小學生也能做數學建模嗎？《指南》一書通過具體的例子展示了如何在每個年級段開展數學建模教學活動．比如解決“午餐中的問題”：

入學前班~二年級，可以收集數據，討論解決如下程度的問題：

（1）討論我們組要吃掉多少胡蘿卜？

（2）哪些食物與胡蘿卜搭配最好？搭配量是多少？

（3）多大的餐盒可以裝下這些胡蘿卜？

（4）怎樣用圖來表示我們分析得到的結果？

（5）……

3~5年級，可以進一步討論：

（1）胡蘿卜和其它蔬菜的營養成份的比較．

（2）如何在各種食物中挑出或組成最佳的午餐．（最佳需要學生自己定義）

（3）如果把餐盒改成托盤，前面討論的結果會有什么變化？（修改條件和假設）

（4）學校的伙食費有上限時，怎樣安排各餐的品種和價位？（量化估計和預測）

（5）……

6~8年級，可以進一步討論：

（1）給出選擇的一個數量范圍（成份、價格、是否送餐、口味等），選擇決定購買哪種披薩餅．

（2）給披薩餅的售價找一個函數，自變量可以是直徑、或是配送時間等．

（3）……

高中的建模案例就更加豐富、復雜、開放．如“喬丹罰球動態命中率如何算”、“如何選擇購買高性能電腦”、“上哪個加油站加油更劃算”、“盡量均勻的噴灌系統的噴頭間距是多少”、“救災物資的公平分配”……涉及的知識多是函數、幾何、簡單的概率統計．

大學的數學建模更強調了工具和方法，如線性和非線性的模型、離散動力系統、圖論、決策論、博弈論、優化、統計、擬合、仿真等．

在《指南》一書中的附錄中，有數十個來源于TIMMS、PISA測試中的應用問題，這對于低年級的教師是非常容易理解的．還有國際數學建模挑戰賽（IMMC）2015、2016、2017年的賽題，以及上海市實驗學校和北京十一學校提供的建模實例．很多問題和資源可以直接拿來在教學中使用．

3.4 數學建模的教學是有規律的

《指南》一書的第一章和第三章都強調了數學建模的以下教學原則：

（1）建模如同真實的生活是開放的、繁雜的．幫助學生提煉問題可能是一個好主意，這使得他們能夠立刻發現哪些是需要考慮的重要影響因素．但是，這樣做的同時也阻礙了學生獨立工作，并且剝奪了他們對工作的投入感和成就感．

（2）當學生建模時，他們必須做真正的選擇．最好的問題是使得決策關于對學生有意義的事物，并幫助學生認識到如何利用數學幫助他們做出好的決策．

（3）（課堂的）改變無論大小，只是開始．

（4）（建模的）評價應側重過程，而不是結果．數學模型（和他們產生的結果）是與創建模型時所作的假設緊密相連的．評估應當有助于幫助學生提高他們的數學建模能力，屆時這將轉變為一個更好的教育成果．

（5）建模工作不是孤軍作戰（提倡學生團隊協作、利用好網絡資源等）．學什么是否在一個團隊里？是否與全班分享他們的想法？是否可以上網做調研或收集數據？建模不是工作在真空中．數學建模的問題具有挑戰性，但建模過程讓你感受到在尋求答案時會得到支持．

《指南》一書的第三章，針對高中的建模教學，除了繼續使用低中年級段數學建模教學所描寫的建模過程和指導原則外，還給出了如下的指導原則：

（1）從小問題入手．

（2）用引導性問題和課堂討論，支持初步經驗的形成．

（3）使用日常經驗來激發數學方法的使用．

（4）使用小型的建模情境、使得只需一兩個要素就能組成一個完整的建模周期．

（5）與家長和管理者分享你的目標和教學實踐．

3.5 數學建模的評價是可行的

《指南》一書在第二章指出：“評價應注重數學建模的整體過程．當你評價學生開發的模型時，你不應該只檢查最終的答案，看其是否和預期相符．評估的重點應關注建模過程的哪些要素被呈現了，以及這些結果是如何在邏輯上被銜接起來的，工作質量包括對結果的反映，該模型可以怎樣改進、何時可用、以及受和限制．對建模的回應可能比糾正一個具有清晰目標和明確答案的試卷更具有挑戰性．迎接這一挑戰，可以在許多領域的學術發展中，給學生提供更有意義的反饋．”

在《指南》一書的附錄D中，給出了一些評估工具和量表．如D4表——針對建模小論文寫作的一些分類評價項目：

（1）定義建模問題（3分）（還有3、2、1、0分的評判標準，此處省略，下面同此）

（2）建立模型：作出假設并承認局限性（3分）

（3）建議模型：定義變量并確定參數（3分）

（4）解決方案：模型使用有意義的數學方法（4分）

（5）解決方案：結果是令聽眾理解的（4分）

（6）模型的分析與評價（3分）

（7）寫作風格與組織（5分）

類似的還有，建模要素分析表、建模項目檢查表、口頭報告評分表等．這些內容可以豐富、開闊教師觀察和評價學生建模成果的角度、視野．

3.6 積累資源是建模實施的重要保障

《指南》一書不僅提供了豐富的案例，更重要的是通過大量的例子介紹了如何開發數學建模任務以及如何對原有的任務進行改編，以適合不同年級的需求．如：梯形桌下午茶任務、瓶子游戲任務、腳印問題、操場問題，等等．《指南》一書還對部分問題進行了詳細的解讀，給出了建模的過程．老師們可以直接根據書中的建議實施教學．

4 啟示與展望

數學建模已經進入到義務教育和高中教育階段，特別是新修訂的《普通高中數學課程標準》為數學建模安排了課時，標志著中國數學建模又前進了一大步，同時，在實施過程中還存在很多挑戰，《指南》一書對數學建模活動的實施具有很好的借鑒意義．通過對《指南》一書的閱讀，得到以下幾點啟發，在這里與大家分享．

4.1 重新認識數學建模在中小學的育人價值

盡管數學建模活動在《標準（實驗）》中已有明確要求，但是因為高考不要求，實際狀況是絕大部分學校并沒有開設數學建模課程．這需要中小學教師們，甚至數學教育工作者重新思考和認識數學建模的育人價值．

4.2 數學建模進入課堂教學是可行的

《標準（實驗）》指出數學建模是貫穿于整個高中數學課程的重要內容，這是數學建模首次進入高中數學課程．新修訂的《普通高中數學課程標準》為數學建模活動安排了課時，數學建模活動也將進入課堂．《指南》一書通過實例介紹了如何從學前班開始到大學持續地開展數學建模活動，說明數學建模活動進入課堂教學是可行的．

4.3 加強對數學建模教學資源的總結和推廣

中國高中數學建模的摸索已有二十多年，積累了大量豐富的資源，在一定范圍內容取得了一定的影響，也培養了一些優秀的學生．但是，對數學建模資源的總結不夠，用于全員推廣的可操作性有待提高．

4.4 中國數學建模在各學段的實施不平衡

高中階段已有二十多年的積累，初中和小學才剛剛開始．高中階段需要總結形成中國高中數學建模的特色，初中和小學需要開發資源、進入課堂．

4.5 資源建設是推動數學建模深入發展的重要抓手

《標準（實驗）》稿頒布以來，一方面，很多學校探索了很好的數學建模教學經驗；另一方面，若以全國所有的中小學為基數，數學建模教學才剛剛起步．因此，數學建模的深入發展面臨很大的挑戰，《指南》一書展示了大量的實例，進一步明確做好數學建模的資源建設是推動數學建模深入發展的重要抓手，要加強資源建設．

4.6 中高考中數學建模問題的設置

數學建模作為新修訂的《普通高中數學課程標準》的必修和選擇性選修的內容，是要進入高考的，如何在高考中考察數學建模呢？《指南》一書給出了數學建模各過程的評估工具，因此，可以考慮在中高考中只考察某個環節．如：高速公路行車安全的要素；影響剎車距離的主要因素，等等．

4.7 開展各種形勢數學建模活動供招生參考

2014年《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出“不分文理科”[4]，可以說受此影響最大的是數學學科，大學的數學院系很難僅僅通過高考選拔人才，因此需要提供更多的平臺來展示學生的才能．例如，數學知識應用競賽、國際數學建模挑戰賽、大學數學先修課程，等等，可以為大學自主招生提供參考．

最后，數學建模進入中小學數學課程發展的必然趨勢，數學建模也將是數學教育發展的方向之一，老師們應該主動思考、積極實施．

[1] 葉其孝．美國大學生數學模型競賽及一些想法[J]．高校應用數學學報，1989（4）：137-145．

[2] 王尚志，胡鳳娟．大學數學先修課與優秀高中學生的發展[J]．數學教育學報，2017，26（3）：5-9．

[3] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003：101，98．

[4] 國務院．國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見[EB/OL]．（2014-09-03）[2017-11-20]．http://old.moe.gov. cn//publicfiles/business/htmlfiles/moe/moe_1778/201409/174543.html.

[責任編校：周學智]

Mathematical Modeling from Approaching to Entering the Math Class——A Guide to

ZHANG Si-ming1, HU Feng-juan2, WANG Shang-zhi2

(1. The Affiliated High School of Peking University, Beijing 100190, China;2. Capital Normal University, Beijing 100048, China)

In June 2017,combined with the original by the Consortium for Mathematics and Its Application (COMAP) and Society for Industry and Applied Mathematics (SIAM), compiled by Liang Guancheng, Lai Mingzhi, Qiao Zhonghua and Professor Chen Yanping, published by the Shanghai University press, on the main point of views are: mathematical modeling was a process; mathematical modeling had important educational value; mathematical modeling was feasible to carry out from pre-school to university; regular pattern exists in the teaching of mathematical modeling; evaluation of mathematical modeling was feasible; the accumulation of resources was an important guarantee for the implementation of the model. The mathematical modeling activities in the new revision of the, so, there’s a challenge in the implementation of mathematical modeling activities for all of the teachers’,provides a rich resources, Teaching principles and evaluation tools.

mathematical modeling; resources; instruction; assessment

G40–03

A

1004–9894（2017）06–0010–04

張思明，胡鳳娟，王尚志．數學建模從走近到走進數學課堂——推介《數學建模教學與評估指南》[J]．數學教育學報，2017，26（6）：10-13．

2017–11–25

張思明（1957—），男，上海人，正高級教師、特級教師，博士，主要從事中學數學教學、中學數學建模研究．