思維導圖在解析幾何解題中的應用

江蘇省蘇州市吳中區甪直高級中學 姜愛美 馮中芹

思維導圖在解析幾何解題中的應用

江蘇省蘇州市吳中區甪直高級中學 姜愛美 馮中芹

高中數學新課程標準的課程基本理念是倡導學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為“再創造”的過程。同時，新課程標準設立了許多學習活動，為學生形成多樣性的學習方式創造了有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，通過自學學習過程，使學生養成獨立思考、積極探索的習慣，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。

解析幾何是近幾年高考的重點，但解析幾何的概念和解題方法理解起來比較困難，學生對解析幾何的認識不深入，對解析幾何的應用掌握不理想，使得學生對解析幾何的解答產生了畏懼心理，怕下筆，很難得到分。利用思維導圖學習既有利于學生理清知識層次,也能顯示出解題的思維過程。思維導圖是一種簡單有效的用圖形來表達思維、知識的表征工具, 它最大的優點是采用結構化的放射性思考模式，充分發揮左右腦的天賦，符合大腦的運作方式。因此，思維導圖被譽為強力學習、記憶和思維訓練的方法，能大幅提升學生的學習效率以及掌握新知識的能力。

一、思維導圖在解析幾何解題反思中的應用

解題反思是解析幾何中一個必不可少的環節。根據思維導圖的發散性特點，我們可以探索解題思路和進行解題后的反思。通過思維導圖，能使學生的知識應用更熟練、更深刻，并學會一些解決問題的方法和技巧，積累一些解題經驗。

在做題后，指導學生反思題中所涉及的知識，包括概念、公式、定理。這樣做既可以讓學生復習到一些基本概念，并且能讓學生找出沒有掌握的概念，達到進一步學習薄弱知識的目的。反思解題思想，用思維導圖畫出來，可以使抽象的思維直觀化。反思題目應當注意的地方，讓學生再遇到此類題目時不犯相同的錯誤。

例1 已知曲線C：y2=4x，過點P(0,2)的直線l與曲線C交于A，B 兩點，且直線l與x軸交于點E 。試問否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由。

在解題后，通過思維導圖進行解題反思，反思自己的解題思路，總結解題規律，并發現自己在解題中顯露出的知識能力的缺陷，同時培養學生的歸納、整理、應用知識的能力。反思問題涉及了哪些數學思想方法，這些思想方法是如何運用的，運用的過程中有什么特點，是否在其他情況下運用過，運用時有什么區別、聯系，總結出規律，歸納出解決問題的一般方法來。

二、思維導圖在解析幾何解題變式中的應用

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化，即教師可不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性。利用思維導圖指導學生對題目變式進行整理，一題多變。改變條件或結論，看問題有什么變化，解決問題的方法有什么改變，也可以將當前的命題推廣到一般情況，進行發散思維，當然，不是每一個題目都有變式。另外，利用思維導圖鼓勵學生多思考，激發其創造性。對于分支變式，可以另畫導圖加以發散，這樣就既在整體上有了把握，也在解題思想上有了認識。

通過思維導圖總結弦中點以及求直線與圓錐曲線相交弦的中點問題的常用方法，使得學生對所學知識有系統的認識。同時，思維導圖能夠很好地體現變式與例題，變式與變式之間的內在聯系，引導學生對解題思路和方法進行總結和反思，以提高分析問題、解決問題的能力，養成良好的數學學習習慣。

三、思維導圖在解析幾何解題方法選擇中的應用

圓錐曲線是解析幾何的重要內容之一，也是近幾年高考命題的熱點和重點，主要考查的內容是圓錐曲線的概念和性質、直線和圓錐曲線的位置關系等。關于圓錐曲線問題解決的基本方法是點參法、斜參法，而方法（點參、斜參）的選擇是學生解決圓錐曲線問題的一個難點，學生在解決這類問題時，往往因為方法的選擇而導致計算上的困難，最后時間過去了，題目還是沒有做出來。因此，在解題方法選擇前，如果先畫出各個方法的思維導圖，然后進行比較，看解題方法在簡易、嚴謹等方面有什么不同，比較各種方法的優劣，并確定最好的解題辦法，這樣就能為學生在高考中節省時間。

（1）求直線AB的方程；

（2）若點P為橢圓c上異于A、B的動點，且直線AP,BP)分別交直線y=x于點M、N，證明：OM.ON為定值。

點參法的思維導圖

方法二（斜參法），設直線BP的斜率為k。

斜參法的思維導圖

從這兩個思維導圖上看，斜參法的思維導圖比點參法的思維導圖要復雜得多，那么計算過程就復雜。另外，點參法的思維導圖具有對稱性，即求M點坐標與求N點坐標的過程是一樣的，這樣給計算帶來了很大的方便。所以，通過思維導圖的對比，學生很容易發現點參法比較簡單，使學生節省了時間。

通過上述思維導圖，要求每位同學能夠形成知識網絡，總結主要數學思想和數學方法。在實際教學中，需要學生協同合作，每人負責落實某一塊的思維導圖，完成后再組合成新的思維導圖。這樣的操作加強了同學們之間的合作交流，同時也培育了他們的整體思維能力。利用思維導圖讓學生學會整理解析幾何的知識、題型和方法，更積極地參與到教學中來，提高學習效率。利用思維導圖指導高中生學習解析幾何能夠提高學習的針對性，讓學生知道解析幾何知識的來龍去脈，在他們的頭腦中形成清晰明了的知識網絡，利用思維導圖讓學生進行解題后的反思，促進知識的深入理解，最終提高學生解決問題的能力。