“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理念下談均值不等式求最值

江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué) 趙雪梅 湯文兵

“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理念下談均值不等式求最值

江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué) 趙雪梅 湯文兵

“均值不等式求最值”一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，探討基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論建構(gòu)循序漸進(jìn)的序列解決問題的教法，增強(qiáng)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，提升科學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)進(jìn)階；均值不等式；最值

目前，我國的基礎(chǔ)教育仍處于改革中，各種國內(nèi)外先進(jìn)的教學(xué)理念紛紛登臺(tái)亮相，“學(xué)習(xí)進(jìn)階”也成為科學(xué)教育研究的新領(lǐng)域之一。學(xué)習(xí)進(jìn)階是近十年來國際科學(xué)教育界的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，比較典型的界定是認(rèn)為“對學(xué)生在一個(gè)時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和探究某一主題時(shí)，依次進(jìn)階、逐級深化的思維方式的描述”。顯然，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論是對“應(yīng)該為學(xué)生設(shè)定怎樣的學(xué)習(xí)路徑”這一問題的探索，是一種用來研究學(xué)生思維方式發(fā)展層次的理論。

學(xué)習(xí)進(jìn)階的思想認(rèn)為學(xué)習(xí)是一種不斷積累、發(fā)展的過程，學(xué)生對知識(shí)的理解與掌握不是一蹴而就的，其中必然要?dú)v經(jīng)多個(gè)不同層級的中間水平。學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)是指學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，終點(diǎn)則多為社會(huì)對學(xué)生的期望，在兩個(gè)端點(diǎn)之間存在的多個(gè)中間水平則描述了學(xué)生對知識(shí)的理解是不斷發(fā)展的。本文對蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5中“均值不等式求最值”一課進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)踐研究，探討“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

一、進(jìn)階起點(diǎn)

進(jìn)階起點(diǎn)1：學(xué)生在前面所學(xué)函數(shù)中求最值的方法，如二次函數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法等。

進(jìn)階起點(diǎn)2：學(xué)生在均值不等式的證明的有關(guān)問題中，已經(jīng)解決了諸如等簡單類型的最值，具備了利用均值不等式求較復(fù)雜問題最值的能力。

二、進(jìn)階終點(diǎn)

使學(xué)生能夠運(yùn)用均值不等式定理來討論函數(shù)的最大值和最小值問題，讓學(xué)生對均值不等式有更深的體會(huì)，同時(shí)對定理中的限制條件也有更深的理解。

三、進(jìn)階學(xué)習(xí)障礙分析

障礙2：均值不等式求最值需“和定”或“積定”，學(xué)生在初學(xué)均值不等式時(shí)，對“定值”的理解往往還局限于具體的數(shù)或字母，如x和的積為定值，x和的和為定值等他們也知道，但尚缺乏主動(dòng)尋找、構(gòu)造及運(yùn)用的意識(shí)。

障礙3：均值不等式求最值的最后一個(gè)程序?yàn)樾栩?yàn)證兩個(gè)變量能否“相等”，這一步其實(shí)不難，但有些同學(xué)做了前兩步己覺大功告成，最后一步自動(dòng)忽略，功虧一簣。

障礙4：學(xué)生缺乏應(yīng)用“均值不等式求最值”的主動(dòng)意識(shí)和變化能力，只會(huì)就題論題，難以通過變式、換元等方法將所解問題轉(zhuǎn)化為“基本不等式”題型求最值。

四、“均值不等式求最值”應(yīng)用

層級一：就理論題，一以貫之

利用均值不等式求最值時(shí)，所用定理簡述為：“和定積最大”、“積定和最小”，這是均值不等式求最值的進(jìn)階起點(diǎn)，運(yùn)用這個(gè)定理求最值要遵循“一正、二定、三相等”的原則。欲使學(xué)生由起點(diǎn)水平進(jìn)階為中間水平階段，完成一定量的基本練習(xí)必不可少，在講評和練習(xí)中熟悉常規(guī)題型的求解。不能期望一步到位，教師必須精心設(shè)計(jì)這個(gè)學(xué)習(xí)路徑。

水平1：嘗試基本不等式法、函數(shù)法，無果而終，約占50%以上。

求解此例的關(guān)鍵是條件中“1”的整體代換，可直接代換，再展開成均值不等式的形式，從而利用均值不等式求出函數(shù)的最小值。水平2的同學(xué)能想到連續(xù)兩次應(yīng)用均值不等式，但忽視了相等條件不一這個(gè)事實(shí)。水平3當(dāng)然是我們期望的解法，但對剛接觸基本不等式的學(xué)生來講難度很大。用均值不等式求最值是此階段的進(jìn)階終點(diǎn)，適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，可以進(jìn)一步了解這一內(nèi)容上學(xué)生的進(jìn)階維度。對上述例題可形成如下變式：

由上可知解題的第一層級就是“解”，就是想盡各種辦法用所學(xué)定理、性質(zhì)解決當(dāng)前的問題。這一層級的學(xué)習(xí)基本上是就理論題，方法較為單一，主要是是用模仿加勤奮推動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)步，該層級學(xué)生往往只能處于中游水平，學(xué)習(xí)辛苦，但進(jìn)步不大。

層級二：尋隱挖潛，化繁為簡

在用均值不等式求最值時(shí)，有些問題的定值條件往往被刻意隱藏，初看好像用不上均值不等式，有的則是隨著解題的展開出現(xiàn)在解題過程中。因此解題時(shí)應(yīng)充分挖掘題設(shè)條件，并時(shí)時(shí)注意解題過程中是否冒出定值的苗頭，聯(lián)想均值不等式對應(yīng)題型靈活求解。

層級三：回歸課本，觸類旁通

解題的第三層級是“歸”，這一層級的學(xué)生把學(xué)習(xí)當(dāng)成一件有意義的事。看書時(shí)常想這些知識(shí)可應(yīng)用于何處，做題時(shí)常思這些問題和書本的哪些基礎(chǔ)知識(shí)有聯(lián)系。他們在學(xué)習(xí)上有著上下求索的態(tài)勢，力爭“打通”書本知識(shí)和習(xí)題之間的關(guān)系。

這節(jié)關(guān)于“均值不等式求最值”的教學(xué)設(shè)計(jì)，基于進(jìn)階分層理論設(shè)計(jì)了學(xué)生分層學(xué)習(xí)的路徑，按“直接應(yīng)用、變化應(yīng)用、發(fā)散應(yīng)用”三個(gè)層級設(shè)置具體學(xué)習(xí)內(nèi)容。對于所教主題的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了認(rèn)知心理分析，根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況隨時(shí)了解學(xué)生對某個(gè)具體問題的認(rèn)知水平，知道了什么？理解了什么？可以做到什么程度？從這些有用信息中即時(shí)評價(jià)、修訂目標(biāo)，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)路徑。讓學(xué)生由起點(diǎn)水平逐漸發(fā)展為具有良好科學(xué)素養(yǎng)的理解水平，進(jìn)一步通過評測并結(jié)合預(yù)期表現(xiàn)，讓學(xué)生順次抵達(dá)學(xué)習(xí)進(jìn)階中相互關(guān)聯(lián)的多個(gè)成就水平，爭取更多的學(xué)生進(jìn)階終點(diǎn)水平。

[1]劉晟，劉恩山.學(xué)習(xí)進(jìn)階：關(guān)注學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和生活經(jīng)驗(yàn)[J].教育學(xué)報(bào)，2012（2）.

[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美國學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究進(jìn)展及啟示[J].外國中小學(xué)教育，2015（8）.