淺談集合中參數取值范圍問題

董佳

隨著新課改進程的加快，教材在內容及結構上也日益變化，以達到素質教育的要求。高中數學應注重提高學生的數學思維能力，同時也是新課改中重要組成部分。可是無論怎樣變更，對于數學問題而言，解題方法永遠是重要的一點，而眾多問題中，含參問題的討論則是高中數學的重中之重，它也是歷年考試中的必考內容，并且對最近幾年的試題分析情況來看，分值略有上升趨勢。

縱觀整個中學數學，參數問題是一條貫穿其中的脈絡，參數與函數的定義域，值域（最值）相結合；與單調性結合；與方程問題相結合；與恒成立問題相結合。可謂參數問題在高中數學中無處不在。含參數問題的討論，是訓練和檢查學生邏輯推理能力和分析問題能力的一種綜合題型.求解這類問題的方法不復雜，但在一定程度上反映了學生數學素養的高低，因此，一直為人們所重視。

作為中學數學的重要內容，參數問題在課程教學中占有重要地位。按照高中數學的教學脈絡，這部分知識與集合、簡易邏輯、函數思想、微積分應用、立體幾何、數列等都有緊密的聯系。其中新課改之后，更是把導數中的參數問題的討論和解決，變為重中之重。學生們學習中的思維和視野角度都變寬泛了。代數方法中關于參數問題解析和討論，大多運用分離參數方法，多和分類討論思想相結合。在運用分類討論思想的時候，少有著作詳細分析常規的步驟。在代數分析的時候，大多要注意導函數圖象的大致形狀，導函數對應方程的根，以及要注重根的大小的比較。教者們在講解時也因為知識點多，方法多，與其他知識交匯點眾多，從而使得學生接受起來困難重重。關于參數討論，多和函數思想結合，這方的著作例如白建華[3]的《函數與方程思想在解題中的運用》提出了可以把函數中參數問題轉換成方程有解問題來解決。

集合是高中數學的重要基礎知識，它貫穿于整個中學數學教學之中，并且作為一種數學語言和工具在其他數學問題中有廣泛的運用。在高考中，它也是年年必考內容之一。集合問題一般有兩種類型，一是設計集合本身的問題；二是以集合為載體，綜合其他數學知識構成的綜合題。而前者也經常含有參數問題結合，培養學生的討論思想。例如，已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且，求實數a的值。這類集合中含參問題，要注意元素和集合的關系。在解題過程中要注意以下兩點：（1）必須注意對所求的結果進行檢驗，以防與集合中元素的互異性矛盾，產生曾解。（2）解答過程體現了數學中分類討論思想的靈活運用，分類要注意：不重復、不遺漏、分類的標準一致。經過多年教學經驗，筆者將集合和參數問題總結下列兩類。

一般的，集合含參問題在解決上要注意“三化”

（1）代表元素“意義化”：代表元素反映了集合中元素的特征。解題時要緊緊抓住代表元素及其屬性，可將元素列舉，直觀發現，或通過元素特征，求同存異，定性分析，分清集合的類型。

（2）元素組成的“具體化”：有些集合中的元素所滿足的條件是可以簡化的，易于解決。

（3）數形結合的“直觀化”。

通過集合之間的關系，來求參數的取值范圍，最終是要通過比較區間端點的取值來實現，因此來確定兩個集合內的元素，成為解決這類問題的關鍵。由于集合中的參數會影響集合的性質。多以經常要對參數進行討論，也是高考的熱點。學生掌握分類討論思想，有利于培養學生的邏輯性和解決問題的能力。一般來說，絕大多數需要利用分類討論思想方法求解的數學問題都含有參數，由于參數所在范圍不同導致相應的數學模型的變化，從而必須在各種不同的具體情境下求解問題，這就產生了分類討論。

例 已知：

解：∵∴A={x|2

（1）當a=0時，B為空集，不符合條件要求。

當a>0時，B={x|a

當a<0時，B={x|3a

所以當時，集合A是集合B的真子集。

（2）要滿足

當a>0時，B={x|a

當a<0時，B={x|3a

綜上所述，

（3）要滿足顯然當a>0且a=3時成立，因為此時B={x|3

“數無形時少直覺，形少數時難入微”，數是用文字語言或符號語言對對象關系的抽象描述，表達信息具有精確性和歷時性特性，思維特征顯示為邏輯性；形則是用圖形語言對對象關系的直觀展現，表達信息具有共時性特征。數形結合，不僅是一種有效的解題方法，更是一種重要的數學思想和思維方式，它兼取了數的嚴謹性與形的直觀性兩方面的長處，是優化解題過程的重要途徑，也是對知識和能力的集中反映。在常見的集合求得參數取值范圍問題時，常常會與一元二次方程等聯系，那么理解已知集合表達含義，再配用韋達定理，問題就迎刃而解。不過在求解的過程中一定要注意討論元素的互異性！