非正弦情況下主要無功功率測量方法的對比研究

余恒潔，王昕，黃煒，游若莎

（1.云南電網有限責任公司，昆明650011；2.云南電網有限責任公司電力科學研究院，昆明650021）

0 引 言

無功對供電系統和用電設備的正常運行起到重要作用，但是無功在電網中流動會引起供電電壓變化和線路損耗［1］。因此，電力用戶從電網吸收以及電網傳送的無功電量都需要進行計量考核。同時，電力電子技術的快速發展，使得大量非線性負載如PWM調速裝置、大功率整流器等被應用于各種電子裝置和工業現場中，這些負載造成電網的電能質量日趨惡化，對無功計量提出了新的技術要求［2－4，12］。

目前，電能計量領域廣泛應用的無功功率計算方法有：基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert濾波器法。基波移相90°和微分法易于實現，正弦信號情況下無功測量精度高，但是非正弦信號的情況時性能明顯變差，嚴重時會得到錯誤的無功功率［5，7］。FFT法通過分析非正弦信號的各次諧波分量進而得到各次諧波無功，最終求得總無功，但是該方法在非同步采樣時存在較大誤差，需要額外增加加窗處理才能實現高精度的無功功率測量［1，4］。Hilbert濾波器法在寬頻率范圍內，能對電壓或電流信號的各次頻率分量進行準確的90°移相，從而實現非正弦情況下高精度的無功功率測量，而且相對FFT法而言更易于實現［10］。

基于以上分析，本文首先剖析了無功功率在正弦和非正弦情況下的定義，并對基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert濾波器法等無功功率算法進行了分析和研究，尤其深入分析了各種方法在非正弦情況下的理論精度，由此比較了各種算法的性能優劣。我們同時對各種算法的軟件實現方法進行了研究，并對相關算法進行資源優化使其適用于嵌入式實時平臺，進一步提高各算法的性能。最后以基于DSP的高性能三相表為測試平臺，對各無功算法進行了準確度對比測試。本文的研究成果可對各種無功算法的優化設計以及在電能計量領域的應用具有重要的指導意義。

1 無功功率的定義

正弦系統中無功功率的定義Q＝UI sinθ已經為大家所公認，但在非正弦情況下，無功功率如何定義、如何計算，至今尚未完全解決。目前關于非正弦條件下無功功率的定義，主要有三種學派：一種是Budeanu定義采用頻域分析法，其定義已寫入ANSI/IEEE標準1459-2000［6］；另一種是 Fryze定義采用時域分析法，被國際電工協會IEC推薦使用；還有一種是Akagi提出的瞬時無功理論。

以上三種無功功率理論都存在各自的局限性：Budeanu無功理論只是在某種程度上與傳統功率理論相同，用于實際的無功計量、補償時還存在缺陷；Fryze對無功補償在理論上有很大的指導作用，在實際測量中也很容易得到應用，但是其物理意義不明確；Akagi瞬時無功理論在有源無功和諧波補償中發揮了重要作用，但在理論上還存在局限性，與傳統理論的關系不夠明確。

雖然Budeanu定義無功功率方法頗具爭議，但這種定義方法在一定程度上仍被大眾所接受，目前絕大多數儀表廠商都是依據該定義進行無功計量。

Budeanu定義無功功率為各次諧波分量無功的總和，且首次引入失真（畸變）功率的概念，如下所示：

式中P為有功功率；QB為無功功率，為各次諧波無功的總和；DB稱為失真（畸變）功率，并沒有明確的物理意義，是由非同次諧波之間耦合形成的無功功率；Uh，Ih分別為h次諧波電壓、電流的有效值；θh為h次諧波電壓與電流間的相位差。

2 無功功率的計算方法及理論精度分析

2.1 基波移相90°

基波移相90°的原理是將電壓或電流信號移相90°，然后計算瞬時無功功率在一個周期內或整數個周期內的平均值得到無功功率，用表達式描述如下：

由上式可知，正弦條件下該方法計算的無功功率在理論上不存在任何誤差。

將上式寫成離散形式：

式中N為每周期采樣點數；k為周期數；u（n），i（n）分別為電壓和電流的第n個采樣點值。

由以上離散表達式不難看出，當N/4不是整數時計算誤差會較大。

在非正弦條件下，即電壓和電流波形嚴重畸變時，該算法的計算結果如下：

可以看出，在非正弦條件下，利用90°移相法得到的無功功率不等于Budeanu定義的無功功率，而是奇次諧波無功功率和偶次諧波有功功率的合成，因而計算誤差較大。

2.2 微分法

微分法的原理是將電壓或電流信號進行微分，然后計算瞬時無功功率在一個周期內或整數個周期內的平均值得到無功功率，用公式描述如下：

由上式可知，正弦條件下該方法計算的無功功率在理論上不存在任何誤差。

在非正弦條件下，即電壓和電流波形嚴重畸變時，該算法的計算結果如下：

可以看出，在非正弦條件下，微分方法得到的無功功率不等于Budeanu定義的無功功率，而是各次諧波無功功率的加權求和，其中權值為諧波次數。顯然，諧波次數越高，利用這種方法計算無功的誤差將成比例增大。

2.3 Hilbert濾波器法

Hilbert濾波器是幅頻特性為1的全通濾波器，而且信號通過Hilbert濾波器后，在負頻率（－π，0）作 ＋90度相移，在正頻率（0，π）作 －90°相移。

根據Hilbert濾波器的性質可知，非正弦信號u（t）＝∑Uhsin（hωt＋ah）經 Hilbert濾波移相變為（t）＝∑Uhsin（hωt＋ah）＋π/2經 Hilbert，此時瞬時功率的整數周期內的平均值計算如下：

容易看出，在非正弦情況下，利用Hilbert濾波器將各次諧波電壓分別移相90°后求得的周期平均功率就是Budeanu定義的無功功率，也就是各次諧波無功的代數總和。該計算結果同樣適用于正弦信號，只是此時只有基波無功功率。

2.4 FFT法

FFT法的原理是通過分析非正弦電壓、電流信號的各次諧波分量進而得到各次諧波無功功率，最終求得總無功，該方法計算的無功功率就是Budeanu所定義的無功功率，但在算法實現上相對其他方法復雜很多，且只適用于周期性穩態信號。

對電壓、電流信號采樣能夠得到長度為N的有限長序列x（n），其離散傅立葉變換（DFT）為：

式中 X（k）為第k次諧波分量。

根據傅里葉級數的離散化公式和DFT的關系［8］，得到第k次諧波分量的幅值Ak和相位φk如下：

因此，可以通過離散傅立葉變換求得電壓、電流信號的各次諧波幅值和相位，并計算出各次諧波無功功率，從而通過Budeanu定義計算總無功功率。DFT算法的計算量大，但DFT算法的蝶形因子具有對稱性，可以據此對算法進行優化，進行快速傅立葉變換計算（FFT），可以滿足實際系統的要求。

2.5 各種無功計算方法的優劣比較

以上各種無功功率計算方法優劣比較如表1所示。同時，通過以上分析和討論，可以得到：在非正弦情況下，除了利用Hilbert濾波器法和FFT法可準確計算得到無功功率，其它方法如基波移相90°和微分法的計算誤差均較大。

表1 各種無功功率計算方法優劣比較Tab.1 Comparison of advantages and disadvantages among different reactive power calculation methods

3 主要算法設計及無功測量實現

3.1 基波移相90°的改進及無功測量實現

針對采用基波移相90°計算無功時存在的計算精度受非同步采樣和頻率變化影響的問題，提出了一種改進方法：當1/4周期不是采樣間隔的整數倍時（即N/4不為整數），對經過整數個采樣點平移的電壓通過FIR數字濾波器進行移相補償，使電壓準確移相90°，從而實現無功功率的準確計算。

基于改進基波移相90°法，前文描述的基波移相90°法的計算公式則相應地修改為：式中N是一個周期內的采樣點數；［N/4］表示1/4周期內的采樣點數，即對N/4取整；β為FIR濾波器的延遲增益；A－1為增益補償系數。相關參數的計算請參考文獻［9］。

3.2 微分法離散化設計及無功測量實現

由于電壓信號比較穩定，應用微分移相法時通常是對電壓信號進行微分。微分數字化采用中值微分的方法，如下所示：

式中ω為基波角頻率；Δt為采樣間隔時間。

3.3 Hilbert濾波器設計及無功測量實現

Hilbert濾波器采用IIR型濾波器實現。IIR型Hilbert濾波通常采用兩組數字移相濾波器F1和F2分別對電壓、電流信號進行移相濾波。IIR型濾波器可以根據不同的原理來進行設計，可以通過全通濾波器來設計IIR型Hilbert濾波器，也可以由半帶濾波器設計IIR型Hilbert濾波器。經過分析，我們發現將兩者結合起來即由橢圓半帶濾波器設計IIR型Hilbert濾波器，能夠在寬頻率范圍內獲得更高的幅值精度和相移精度，而且具有階次較低、計算量和數據存儲量較小的優點［11］。

根據無功計量精度和硬件平臺要求，設置Hilbert濾波器歸一化數字頻率范圍［0.006，0.994］，Fs＝12 800 Hz，則Hilbert濾波器的有效帶寬為38 Hz～6 362 Hz，在相移誤差不大于0.006°的條件下，設計的移相濾波器F1、F2的傳遞函數如下所示：

根據設計的 HF1（z）和 HF2（z），得到 Hilbert濾波器的幅相特性如圖1所示。

圖1 Hilbert濾波器幅相特性Fig.1 Amplitude phase characteristics of Hilbert filter

從圖1中的（a）和（b）可以看出，在頻率范圍38 Hz～6 372 Hz內，濾波器增益接近0 dB，相位保持在－90.006°～89.994°范圍內，即設計的IIR數字濾波器滿足無功計量精度需要。同時所設計的Hilbert濾波器采用定點的二階級聯結構實現，提升了運算效率，可以滿足實際系統的要求。

3.4 FFT算法改進及無功測量實現

FFT方法要求波形的周期采樣點數N滿足N＝2n，才能保證較高的分析精度，因此實現同步整周期采樣是保證無功測量精度的前提。但實際使用中，電壓電流采樣一般采用固定采樣率模式，因此電網頻率的波動會導致非同步采樣的結果，此時通常采用加窗方法來解決頻譜泄露問題，但這無疑大大增加了數據運算量，不適用于電表平臺。針對與此，本文采用了一種基于插值重采樣同步化的改進FFT算法。該方法的思想是在截取M個非同步采樣點的基礎上構造整周期的N個理想同步采樣點，即通過在時域上采用插值方法得到近似理想同步采樣點序列。

插值算法最常用的是線性插值法。假設理想的周期采樣點數為N，實際的周期采樣點數為M，實際的采樣點值為S，插值后的采樣點值為S′，線性插值的流程為：

（1）求取M，設定N；

（2）求取每個點需要平移的量Δ＝（M-N）/N；

（3）判斷（n-1）·Δ的大小，整數部分為 p，小數部分為q；

通過循環執行上述步驟，直至n＋p＋1≥M，可以得到全新的插值序列S′，該序列的長度為N。然后對序列S′進行FFT分析從而計算無功功率。

基于插值重采樣的改進FFT算法，即使在非同步采樣下也可得到完整周期并且適用于FFT的數據序列，這有效抑制了頻譜泄露和柵欄效應的誤差，并且運算效率高。

4 對比測試與結果分析

將上述設計的幾種無功算法統一在某公司關口表平臺（電表規格型號為：DTSD341－MA2，3×57.7/100 V，3×1.5（6）A，20 000 imp/kWh）上實現，從而對各種算法進行準確度對比測試，評判各種算法的優劣。為更好的比較各種算法的性能，尤其是在非正弦信號情況下的計算精度，對比測試包括無功基本誤差試驗，諧波影響量試驗。

無功基本誤差測試結果分別如圖2所示。

諧波影響量測試采用某公司的ST9500-C高精度諧波測試校驗裝置進行，試驗條件如下：

（1）基波電流為 0.5 Imax，基波電壓為 Un，基波功率因數為1.0；

圖2 各種無功算法基本誤差測試結果Fig.2 Basic error test results of different kinds of reactive power algorithms

（2）試驗是在基波的基礎上疊加單次諧波（諧波電流、電壓為同次諧波），其中各次諧波電壓含量為10%，諧波電流含量為40%，諧波功率因數為1.0；

（3）諧波的次數為2～50。

諧波影響量測試結果如圖3所示。

圖3 各種無功算法諧波影響量測試結果Fig.3 Harmonic effect test results of different kinds of reactive power algorithms

從以上測試結果可知，在正弦信號情況下，基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert濾波器法的誤差數據均在0.05%以內，即接近于0，這與各算法的理論分析結果完全一致。

針對非正弦信號下的測試結果，分析如下：

（1）FFT法的誤差數據相對其他方法最優，在疊加1～39次諧波時誤差小于0.06%。這是因為該方法在進行諧波分析時對硬件采樣電路引起的基波和諧波相位差均做了補償處理，從而諧波性能最優；

（2）基波移相90°法在疊加4n＋1次諧波時的誤差數據較好，而在其他情況數據極差。這與該算法的理論分析結果一致，由算法本身性質導致；

（3）Hilbert算法的諧波性能優越，能夠準確計算諧波無功，然而Hilbert法的誤差隨諧波次數遞增而逐漸增大，最大達0.4%。這是因為在該方法中針對硬件采樣電路引起的相位差所設計的相位補償器影響了整個移相系統的幅相特性，從而導致Hilbert濾波器在諧波情況下無法發揮出優越的性能；

（4）微分法在疊加諧波情況下的誤差數據讓人無法接受，5次諧波試驗時誤差就已經達到20%，且誤差隨諧波次數增大成比例增大。這與該算法的理論分析結果一致，由算法本身性質造成。

5 結束語

論文首先依據無功功率的定義，對基波移相90度，微分法，FFT法和Hilbert濾波器法等無功功率計算方法開展了研究，分析結果表明在非正弦情況下只有FFT法和Hilbert算法能夠得到Budeanu定義的經典無功功率。在此基礎上，我們同時對各種算法的軟件實現方法進行了研究，并對相關算法進行資源優化使其適用于嵌入式實時平臺，進一步提高了各算法的性能。最后我們以高性能三相表為測試平臺，對各無功算法進行了準確度對比測試。

測試結果和數據分析表明：在正弦情況下，無功計算宜采用微分法或基波移相90度；在非正弦情況下，可采用FFT法或Hilbert濾波器法計算無功。本文的研究成果對各種無功算法在優化設計和電能計量領域的應用具有重要的指導意義。