基于二階盲辨識的系統諧波阻抗計算*

趙俊屹，楊超穎，薛志偉，趙熙

（1.國網山西省電力公司電力調控中心，太原030001；2.四川大學電氣信息學院，成都610065）

0 引 言

隨著電力系統的發展，越來越多的非線性設備接入電網，造成電能質量指標的惡化。但高精尖電子設備等對電能質量的要求越來越高，如何提高電能質量成為重中之重［1-3］。

治理電能質量主要是對諧波污染的治理，對諧波污染進行責任劃分。由于不同電壓等級下電流的數值不同，一般采用諧波電壓作為責任劃分的判據。國際電工委員會定義用戶某次諧波發射水平是，用戶接入系統前后所引起的公共耦合點（the common point of coupling，PCC）處某次諧波電壓或者電流的變化量，由此可以得出進行諧波責任劃分的關鍵是系統諧波阻抗的計算，系統諧波阻抗計算的準確性關系到諧波責任劃分的精度。

目前主要有以下幾種計算系統諧波阻抗的方法：波動量法［1-2］，通過計算公共耦合點測到的諧波電壓和電流的比值計算系統諧波阻抗值，但是只通過比值符號無法區分引起諧波波動的主導側，也無法保證系統諧波阻抗的計算精度。線性回歸法［4-5］，根據用戶側和系統側電路模型列寫方程組，并計算方程組系數，根據系數計算諧波阻抗值，該方法一般基于最小二乘法，所以當背景諧波不是正態分布時，方法的適用性下降并造成計算誤差。隨機獨立矢量法［6］通過隨機獨立協方差為零的特性，抑制背景諧波的干擾，但隨著系統側諧波發射水平的增加，誤差逐漸增加，僅在系統側諧波較小時系統諧波阻抗計算準確。

盲源分離［7-11］（blind source separation，BSS）主要是利用源信號之間的獨立性將各源信號分離開。二階盲辨識［7］（second order blind identification，SOBI）是一種基于二階統計量的盲源分離算法，基于延時互相關陣原理上的盲分離，它通過二階統計量將線性混合信號中的所有源信號解混出來，計算過程簡單，分離效果較好。

文章首先分析隨機獨立矢量法的誤差來源，即將公共耦合點諧波電流近似為用戶側諧波電流值，在系統諧波電流值較大的情況，誤差較大，從測量到的電壓和電流信號中提取用戶側諧波電流信號可以有效的提高方法的計算準確性。文中提出采用二階盲辨識的方法從公共耦合點測量到的電壓和電流信號中分離出4個獨立信號，根據獨立信號與測得的電流之間的相關系數，得到用戶側諧波電流的估計信號，用得到的估計信號并根據隨機矢量協方差為零的性質計算系統諧波阻抗值。通過仿真計算和分析，表明本文方法有效的提高了計算的準確度，具有較好的工程應用前景。

1 基本原理

1.1 諧波發射水平

由于不同電壓等級下諧波電流大小不同，所以一般采用諧波電壓進行諧波責任劃分和定義諧波發射水平。諧波責任分析一般用諾頓等效電路圖進行分析，諾頓電路圖如圖1所示。

圖1 包含系統和用戶的諧波諾頓等效電路Fig.1 Harmonic Norton equivalent circuit including utility and customer

依據誰污染誰治理的基本原則，需要對諧波責任進行定量和劃分。國際電工委員會標準IEC 61000-3-6定義用戶某次諧波發射水平為：用戶接入PCC處后所引起的對應某次諧波電壓或者諧波電流的變化量。當用戶接入電網公共耦合點前，公共耦合點諧波電壓VPCC0為：

在用戶接入PCC處后，如圖1所示，公共耦合點諧波電壓VPCC是用戶諧波電流IC和系統諧波電流IU共同作用，即：

根據式（1）和式（2）可得用戶諧波發射水平UPCC-C表達式如式（3）所示。

背景諧波發射水平VPCC-U為：

根據式（3）和式（4）公式可以看出用戶諧波發射水平和背景諧波發射水平計算的關鍵在于系統側諧波阻抗的計算。

1.2 隨機獨立矢量法誤差分析

文獻［1］根據以下原因，認為 IPCC主要由 IC貢獻，與 IU弱相關或者無關：｜ZU｜＜＜｜ZC｜；IC與 IU具有可比性，且前一項大于后一項；IU和IC的波動是隨機的，IU的方差小于IC的方差。根據以上特點，可以得到：

式中E表示數學期望值運算；N表示IPCC和UPCC數據長度；*表示復數共軛。為方便起見，用IPCC表示 IPCC-E（IPCC），UPCC表示 UPCC-E（UPCC），IU表示 IUE（IU），IC表示 IC-E（IC），式（5）可變為：

對式（6）進行等式變形，可得系統側諧波阻抗ZU計算公式為：

為分析系統側諧波阻抗計算式（7）的誤差，將IPCC表示式代入式（6）等號左邊可得：

式中 a＝ZC／（ZC＋ZU），b＝ZU／（ZC＋ZU）。由式（8）可知，式（6）并不嚴格等于0。當系統側諧波電流IU增大時，式（8）與0的偏移量增大。由于式（6）非等于0，系統側諧波阻抗ZU實際為：

由此可以看出，系統側諧波阻抗ZU的計算存在誤差。當IU增大時，由式（7）計算出的系統側諧波阻抗和式（9）表示的真實系統側諧波阻抗差距愈大。

1.3 二階盲辨識

盲源分離是基于某種準則下的優化問題。盲源分離的模型可以表示為：

式中 t表示離散時刻，取值為 t＝1，2，…，T，S（t）表示N個未知的源信號組成的源信號矩陣，S（t）＝［S1（t），S2（t），…，SN（t）］T；X（t）是 M個可觀測信號組成的觀測信號矩陣，X（t）＝［X1（t），X2（t），…，XM（t）］T，且 M≥N，本文模型中 M＝N；A是混合矩陣，反映各個源信號Si在觀測信號X中所占的權重比例；n（t）是模型中的白噪聲。盲源分離分析過程可以表示為圖2所示。

圖2 盲源分離的原理圖Fig.2 Principle diagram of BSS

SOBI算法［7］通過非零延時相關矩陣的聯合對角化進行信號分離，采用了源信號的頻譜差異性來分離源信號?？紤]存在白噪聲的情況，噪聲的協方差矩陣為：

觀測信號的相關系數矩陣為：

通過式（12）計算的相關系數矩陣受到噪聲的影響；而式（13）通過魯棒預白化的處理，當i≠0時，對數據的白化處理不受白噪聲的影響，更為合理，SOBI算法和魯棒預白化的具體步驟為：

首先，計算樣本觀測信號的相關系數矩陣，可得R＝［Rx（1），…，Rx（K）］，即 R＝URΣVT，其中 UR∈Rn×n和 V∈RnK×nK是正交矩陣。當 i＝1，…，K時，分別計算Fi＝URTRx（i）UR，選取任意初始向量 αi∈Rn得 F＝ΣαiFi。

然后，對F是否是正定矩陣進行判斷。若F不是正定矩陣，對初始向量αi進行修正。選取矩陣F最小特征值所對應的特征向量u，計算修正量δ＝［uTF1u…uTFKu］T／｜｜uTF1u…uTFKu｜｜，將 α＋δ代替原來的初始向量α。

其次，C＝ΣαiRx（i），對 C進行特征值分解可得到 C＝UCdiag［λ12，…，λn2］UCT，其中 λi是特征值，白化矩陣是 W＝diag［λ1，λ2，…，λn］UCT。

最后，得到相關系數矩陣 Rx（i）＝WRx（x）WT，通過對｛Rx（i）｜i＝1，2，…，K｝進行聯合對角化求得酉矩陣 U，得到解混后的估計信號 S（t）＝UTWx（t）。

2 基于二階盲辨識的系統諧波阻抗計算

由于通過SOBI計算得到的獨立信號具有順序的不確定性，所以應當先判斷分離信號與源信號之間的對應關系。

首先，建立方程模型，用矩陣表示為：

式中 X＝［VPCC-x，VPCC-y，IPCC-x，IPCC-y］，是測量得到的電壓和電流向量組成的矩陣；VPCC-x，VPCC-y，IPCC-x，IPCC-y分別是PCC處諧波電壓和電流向量的實虛部；I＝［I1，I2，I3，I4］，是解混得到的獨立信號，根據SOBI的性質，這些信號具有幅值、相位、順序的三個不確定性；A是混合系數矩陣，反映每個源信號所占的比重。

測量得到的諧波電壓和電流可以分解為快速變化部分和緩慢變化部分。因此，矩陣X和I可以分解為兩個部分，即：

式中Xf是矩陣X的快速變化部分；Xs是矩陣X的緩慢變化部分；If是矩陣I的快速變化部分；Is是矩陣I的緩慢變化部分?？焖僮兓脑葱盘柣旌隙煽焖僮兓挠^測信號，緩慢變化的源信號混合而成緩慢變化的觀測信號。因此，得到：

觀測信號的緩慢變化部分Xf是由緩慢變化的源信號If組成，由于緩慢變化的源信號之間存在一定的相關性，Xf不是完全獨立不相關的，這也使得組成X的信號不是完全獨立不相關的，不符合SOBI和BSS的應用條件。因此，應該先對觀測到的原始信號進行濾波處理，將測量到的諧波電壓和諧波電流信號分解為Xf和Xs兩部分。對快速變化部分Xf進行SOBI分析。

然后，對公共耦合點測量得到的諧波電壓和諧波電流快速變化部分進行SOBI分析，得到4個獨立分量，即I1，I2，I3，I4。這些得到的獨立信號具有順序和幅值的不確定性，幅值的不確定性是指得到信號與源信號的幅值可能相同，也可能不同，無法直接進行判斷；順序不確定性是指得到的信號（I1，I2，I3，I4）無法和源信號（If-Cx，If-Cy，If-Ux，If-Uy，分別是用戶諧波電流快速變化部分實部、用戶諧波電流快速變化部分虛部、系統諧波電流快速變化部分實部、系統諧波電流快速變化部分虛部）一一對應，即I1可能是If-Cx的估計信號，也可能是If-Cy的估計信號。若要得到正確的結果，必須對信號的順序先進行確定；若信號的幅值不影響計算結果，可以進行忽略。

為了可以區分出估計信號與源信號之間的對應關系，需要用到一個合理的假設，即用戶側諧波阻抗值遠遠大于系統側諧波阻抗值，ZC＞＞ZU。根據式（17），可以很明顯的看出，公共耦合點的諧波電流主要由用戶側貢獻，可以近似等于用戶側諧波電流。因此，分離得到的估計信號中與公共耦合點電流的實部相關系數絕對值最大的信號是用戶側諧波電流實部信號的估計信號，與公共耦合點電流的虛部相關系數絕對值最大的信號是用戶側諧波電流虛部信號的估計信號，這樣就得到了用戶側諧波電流信號的估計信號，解決了估計信號順序不確定的問題。

不妨假設I1與I2分別對應用戶側諧波電流快速變化量的實虛部，則根據（17）計算系統諧波阻抗值，即：

式中N表示信號的長度。根據式（18）可以得到系統諧波阻抗估計值Z1＝ZUx-1＋ZUy-1和Z2＝ZUx-2＋ZUy-2。為消除誤差，取二者的平均值作為最終結果，即：綜上所述，本文方法具體步驟為：

（1）將公共耦合點的諧波電壓和諧波電流信號分解為快速變化部分和緩慢變化部分；

（2）用得到的快速變化信號進行SOBI解混，得到4個獨立信號分量；

（3）計算4個獨立信號分量與公共耦合點諧波電流實虛部之間的相關系數，根據相關系數的大小確定用戶側諧波電流實虛部的估計信號；

（4）根據隨機矢量協方差為零的性質，和系統側、用戶側諧波電流快速變化部分相互獨立的特性，根據公式（18）計算系統諧波阻抗值，得到兩個估計值 Z1和 Z2；

（5）取Z1和Z2的平均值ZU作為系統諧波阻抗估計值。

3 仿真分析

根據圖1所示的電路圖，使用matlab 8.1編程建立仿真模型，驗證本文方法的有效性和準確性。

仿真參數設置為：首先分析系統諧波阻抗恒定不變的情況，用戶側諧波電流幅值初始值為30 A，系統側諧波電流幅值初始值為5 A，電流的相角均設置為0，用戶側和系統側諧波電流實虛部分別加上正弦擾動和隨機均勻擾動。用戶諧波阻抗值幅值設置為50Ω，相角為30°；系統諧波阻抗幅值設置為10Ω，相角為 45°。

分別使用隨機獨立矢量法（方法1）、波動量法（方法2）、回歸法（方法3）、本文方法（方法4）計算，得到計算結果如表1所示。

從表1中可以看出，本文方法相對于其他方法計算準確，這是因為本文使用SOBI分離用戶側諧波電流進行計算，提高了計算精度。方法1依然受到背景諧波的干擾；方法2使用測量到的諧波電壓和電流波動量的比值進行計算，受背景諧波干擾很大；由于仿真中背景諧波不是正態分布，方法3計算結果不準確。因此，本文方法提高了計算精度，具有良好的應用前景。

為了進一步分析本文方法的有效性，在用戶諧波阻抗和系統諧波阻抗分別加上2.5%的正弦波動和5%的隨機正態擾動，以模擬工程實際中，諧波阻抗不能恒定不變的情況，得到計算結果如表2所示。

表1 各方法計算結果Tab.1 Calculation results by each method

表2 擾動后各方法計算結果Tab.2 Calculation results by each method added fluctuation

從表2可以看出，本文方法在諧波阻抗存在一定擾動的情況下，與其他方法相比，計算結果準確，說明本文方法的準確性。

4 結束語

本文分析了隨機獨立矢量法的誤差來源，提出基于SOBI的改進型隨機獨立矢量法，有效的提高了計算精度，具有較好應用前景。比較分離得到的估計信號分量與公共耦合點諧波電流之間的相關系數絕對值大小，確定解混后的信號的順序，解決了SOBI應用時順序不確定性問題的困惑。由于解混后的獨立信號的幅值不影響系統諧波阻抗的計算，從而也解決了SOBI分離的幅值不確定性的問題。與其他主流方法相比，本文方法提取用戶諧波電流數據，有效的抑制了系統諧波的干擾，計算結果更加準確。

對PCC處測量到的諧波電壓和電流信號分離為快速變化部分和緩慢變化部分，本文使用快速變化部分進行分析，而沒有考慮緩慢變化部分，如何綜合利用緩慢變化部分所包含的信息，提高計算精度，是進一步需要研究的方向。

如何提高SOBI的分離精度，提高分離速度也是值得進一步研究的方向。