基于Lagrange插值頻率估計的數(shù)字電能計量算法*

張秋雁，魏偉，李紅斌

（1.貴州電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，貴陽550000；2.華中科技大學(xué)，武漢430074）

0 引 言

為實現(xiàn)電網(wǎng)的智能化，數(shù)字化變電站的發(fā)展成為不可逆轉(zhuǎn)的趨勢，目前數(shù)字化變電站存在兩種數(shù)字電能計量方案［1-6］，一是采用電子式互感器采集高壓側(cè)電網(wǎng)信號，將其采樣數(shù)據(jù)組幀為IEC 61850-9-2（LE）格式的數(shù)據(jù)包，并發(fā)送至數(shù)字化電能表進(jìn)行電能計量；二是采用傳統(tǒng)互感器和模擬量輸入合并單元進(jìn)行電網(wǎng)信號采集，并同樣將采集數(shù)據(jù)組幀發(fā)送到數(shù)字化電能表進(jìn)行電能計量。

傳統(tǒng)變電站中電網(wǎng)信號采集過程中的采樣頻率由各個設(shè)備內(nèi)部確定，電子式電能表采用每個基波周期采樣128、256個點等，其采樣每基波周期采樣頻率為2的整次冪，且其采樣頻率是跟隨電網(wǎng)波形的頻率波動的［7］，可以保證每個基波周期采樣同樣的點數(shù)，實現(xiàn)整周期采樣，進(jìn)行電能計量時，選擇兩種典型點積和算法及加窗FFT插值算法，由于采樣過程為整周期采樣，算法誤差小，可以實現(xiàn)電能計量要求。

數(shù)字化變電站中電能計量屬于新技術(shù)領(lǐng)域，相對于傳統(tǒng)的電能計量系統(tǒng)，其主要區(qū)別之一就是采樣頻率由前端的電子式互感器或模擬量輸入合并單元確定，由于電子式互感器及模擬量輸入合并單元采集的信號組幀打包后，需要傳輸給包括繼保及電能表等后續(xù)各種不同的IEC 61850數(shù)字化設(shè)備使用，因此，其采樣頻率固定，不跟蹤電網(wǎng)頻率的波動而改變，且廣泛采用了4 kHz［8-9］。數(shù)字化電能表被動接收前端電子式互感器或模擬量輸出的IEC 61850報文，內(nèi)部電能計量算法沿用傳統(tǒng)的電能計量算法，在電網(wǎng)頻率出現(xiàn)波動時，電能計量過程中點積和算法誤差偏大，且加窗FFT插值算法要求參與計算的點數(shù)為2的整數(shù)次冪，顯然4 kHz條件下，如用加窗FFT插值算法，需要在運算過程中減小采樣點數(shù)或在采樣點數(shù)后邊添零，這樣必然會造成頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，從而不能準(zhǔn)確的求出各次波形的幅值和相位，造成電能計量誤差偏大。

因此，提出一種數(shù)字電能計量新算法，該方法首先采用三次拉格朗日（Lagrange）插值算法進(jìn)行電網(wǎng)基波頻率提取，然后利用DFT算法的柵欄效應(yīng)提取出基波及各次諧波的幅值和相位，最后利用得到的電參量進(jìn)行電能計量，從而實現(xiàn)精確的電能計量。

1 算法介紹

1.1 傳統(tǒng)電能計量算法

電能計量過程就是有功和無功對時間的累積過程，本節(jié)將針對有功電能計量過程進(jìn)行分析，取電能計量公式如下：

式中W為有功能電能；P為有功功率；t為時間。由于電網(wǎng)負(fù)荷的變動而造成有電能計量過程中有功功率P處于實時變化過程中，而P又可以由以下表達(dá)式求出：

式中Ui、Ii分別為電網(wǎng)中第i次諧波的電壓、電流有效值，θi為 Ui、Ii之間的相角差。

從式（1）、式（2）可以看到，要想準(zhǔn)確的計量電能值，必須準(zhǔn)確的計算出電網(wǎng)中基波及各次諧波的電壓、電流有效值及電壓、電流之間的相角差。

傳統(tǒng)電能計量系統(tǒng)中采用的點和和算法或加窗FFT插值算法（如國際電工委員會推薦的在時域加Hanning窗和在頻率加插值的FFT算法）公式在此將不再過多的介紹，由于傳統(tǒng)電能計量系統(tǒng)中電子式電能表內(nèi)部具有頻率跟蹤電路，采樣頻率能保證整基波周期采樣，且每基波周波采樣點數(shù)一般為2的冪次方，因此，在電網(wǎng)波頻率出現(xiàn)波動時，采用的電能計量算法也能精確的提取出基波及各次諧波的幅值、相角進(jìn)行電能計量。

目前，在數(shù)字化電能計量系統(tǒng)中沿用了傳統(tǒng)電通計量系統(tǒng)中的電能計量算法，由于傳統(tǒng)電能計量算法在電網(wǎng)頻率出現(xiàn)波動，而采樣頻率固定的條件下會出現(xiàn)不適用性，誤差大，因此，針對數(shù)字化電能計量系統(tǒng)這一特點，提出一種數(shù)字電能計量新算法，該方法實現(xiàn)簡單，能準(zhǔn)確的進(jìn)行電能計量。下面就本文提出的電能計量新算法進(jìn)行介紹。

1.2 數(shù)字電能計量新算法

該數(shù)字化電能計量新算法包括三步，第一步：頻率的提取，提出采用Lagrange三次插值算法進(jìn)行電網(wǎng)基波頻率提取，并推導(dǎo)出電網(wǎng)基波頻率提取公式。第二步：波形成分提取，利用DFT算法的柵欄效應(yīng)進(jìn)行波形成分提取。第三步：電能計量，利用基波及各次諧波的電參量進(jìn)行電能計量。算法具體介紹如下。

（1）頻率提取

假設(shè)電力系統(tǒng)母線電壓波形為正弦函數(shù)，即：

式中Um為電壓幅值，f為電網(wǎng)頻率，t為時間，φ為初相角。

通過采樣頻率Fs對上式波形進(jìn)行采樣，采樣周期為Ts。由于電網(wǎng)基波頻率不會是嚴(yán)格的50 Hz，因此，本文以電網(wǎng)基波頻率出現(xiàn)波動的情況下來進(jìn)行頻率提取分析，當(dāng)電網(wǎng)基波頻率出現(xiàn)波動時，F(xiàn)s不是f的整數(shù)倍，即出現(xiàn)非同步采樣的情況，得到波形離散值如圖1所示。

圖中m，n分別為第m，n個采樣點，t1，t2分別為波形的過零點時刻時間點。因此要求出波形的頻率f，可以得到：

圖1 波形采樣圖Fig.1 Sampling ofwaveform

所以，只要能精確的求出時間點t1，t2即能求出電網(wǎng)基波頻率，目前，一般采用過零點檢測方法，首先判斷出m，n兩點附近的過零點，再利用線性插值算法［10］，得出時間 t1，t2。由于線性插值算法是直接將過零點附近的兩個點用直線連接，其波形不光滑，造成頻率分析時，誤差大，因此本文分析了包括Lagrange插值算法、埃爾米特（Hermite）插值算法、3次樣條（spline）插值算法在內(nèi)的多種插值算法后，利用仿真軟件得到插值效果如圖2所示。

圖2 不同插值算法插值圖Fig.2 Interpolation of different algorithm

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，采用Lagrange三次插值算法、Hermite插值算法、3次spline插值算法都能理想的接近插值點，且較線性插值算法而言，能對離散點進(jìn)行光滑插值，插值誤差小。此外，Lagrange三次插值算法較埃爾米特（Hermite）插值算法、3次樣條（spline）插值算法而言，計算簡單，容易在硬件上實現(xiàn)，因此本文提出采用拉格朗日三次插值算法來提取電網(wǎng)基波頻率。

取采樣點m，m+1，m+2，m+3處的電壓值分別為 u0，u1，u2，u3，則利用 Lagrange三次插值算法可以得到其插值多項式如下。

式中 L3（t）多項式為電網(wǎng)電壓波形的插值表達(dá)式；t為時間；Ts為采樣周期，在數(shù)字化電能計量系統(tǒng)中Ts＝250μs。顯然電網(wǎng)波形在過零點時的斜率最大，因此，要求圖1中t1的值，即求插值多項式L3（t）的導(dǎo)數(shù)最大值或最小值，又因為L3（t）的的導(dǎo)數(shù)為一元二次的拋物線方程，要求其最大值或最小值，只要對其進(jìn)行二階求導(dǎo)，并計二階導(dǎo)數(shù)的零值處的t值即為所示的t1值。經(jīng)過推導(dǎo)可以得出L3（t）二階求導(dǎo)如下：

令 L″3（t）＝0，可以得到 t的值為：

式中t即為所求的t1的值。同理，利用采樣點n，n+1，n+2，n+3處的電壓值可以得到時間t2的值。將t1，t2代入式（4）中即可以實現(xiàn)電網(wǎng)頻率提取。

（2）波形成分提取

波形成分提取時，采用了DFT算法，DFT用于對電力系統(tǒng)諧波的分析已有很長的時間，其具有一個重要的特點就是柵欄效應(yīng)，文中提出的電能計量新算法就是利用這一特點進(jìn)行波形成分電參量分析，并進(jìn)一步進(jìn)行電能計量。DFT算法已有各類文獻(xiàn)進(jìn)行了分析介紹［11-13］，文中將不再過多對算法運算過程進(jìn)行介紹，只對DFT算法的柵欄效應(yīng)進(jìn)行分析。

利用DFT算法進(jìn)行頻譜分析時，取N個采樣點進(jìn)行DFT運算，采樣頻率為Fs，則DFT運算時的頻率分辯率為：

因此，DFT運算后頻譜上某一點 k對應(yīng)的頻率為：

式中 k＝0，1，..，N／2?？梢钥闯鲞M(jìn)行 DFT運算后得到的各個頻率值與采樣頻率Fs、用于運算的點數(shù)N密切相關(guān)，且其以Δf為最小單位進(jìn)行增減，這就相當(dāng)于透過柵欄觀賞風(fēng)景，只能看到頻譜的一部分，而其它頻率點看不見，因此，很可能使一部分有用的頻率成分被漏掉，此種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。

若在電網(wǎng)頻率出現(xiàn)波動時，采用固定的采樣點數(shù)進(jìn)行DFT時，由于頻譜泄漏及柵欄效應(yīng)，在計算電網(wǎng)波形信號幅值時和相位時，造成誤差偏大，因此，利用上面提取出的頻率計算出參與DFT運算的點數(shù)，使其接近于整周期采樣，參與運算的點數(shù)隨著電網(wǎng)基波頻率的波動而變化，點數(shù)計算：

式中N為參與DFT運算的點數(shù)，F(xiàn)s為采樣頻率，f為電網(wǎng)基波頻率，round為就近取整。利用N即可以由式（8）得到頻率分辯率，DFT運算后的頻率圖，由于柵欄效應(yīng)，剛好可以看到頻率f處的模值，利用f處的模值除以N／2就是該頻率對應(yīng)的電網(wǎng)基波信號幅值，諧波分析同基波，在直流信號處模值除N為直流的幅值，同理，該點的相位即是對應(yīng)該頻率下的電網(wǎng)基波及各次諧波的相位。從而實現(xiàn)電網(wǎng)波形成分的提取。

如電網(wǎng)基波頻率為50.5 Hz，采樣頻率為4 kHz時，參與DFT算法運算的點數(shù)為N＝3 960個點。得到參與DFT運算的點數(shù)后，即電網(wǎng)波形成分提取，包括基波及各次諧波的幅值和相位，利用上述的點數(shù)N，由式（8）得到DFT運算后的頻率分辯率為：

可以由式（9）得到，第 k＝50時，DFT運算后的頻率剛好對應(yīng)為50.5 Hz處的模值，從而可以準(zhǔn)確的得到基波及各次諧波的幅值和相位。

（3）電能計量

電能計量是對電能量的累積，利用所提出的數(shù)字電能計量算法對波形成分進(jìn)行提取，得出電網(wǎng)波形中基波及各次諧波的幅值和相位，利用式（2）得到有功功率，并利用式（1）對有功功率進(jìn)行累積，即可以實現(xiàn)電能量的計量。

1.3 數(shù)字化電能計量新算法誤差分析

（1）頻率提取誤差

頻率提取誤差是由于三次Lagrange插值算法的插值多項式的截斷誤差造成，可以根據(jù)插值余項確定，其截斷的插值余項如下［10］：

（2）波形成分提取誤差

若取1.2中的頻率提取誤差為δf，即電網(wǎng)實際頻率為（f+δf），而計算得到的頻率為 f，則由式（10）計算出的參與DFT運算的點數(shù)誤差為δN，即無誤差時實際上需要有（N+δN）個數(shù)據(jù)點參與DFT算法，造成的頻率分辯率誤差為δ（Δf），則可以利用實際的頻率分辯率（Δf+δ（Δf））根據(jù)連續(xù)時間傅里葉變換得到實際上基波及各次諧波的幅值和相位，對比在頻率分辯率Δf條件下提取的基波及各次諧波幅值和相位，即可以得到波形成分提取誤差。以電壓誤差為例進(jìn)行說明。離散DFT算法得到：

式中u（n）為原波形的采樣點，N為參與DFT運算的點數(shù)，U（k）為第k次波形的有效值。

連續(xù)時間傅里葉變換得到：

式中 u（t）為原波形表達(dá)式，（N+δN）為無誤差時實際上需要參與DFT運算的點數(shù)，Ts為波形的采樣周期，U′（k）為無誤差時第k次波形的有效值。

因此，利用上述兩式即可以得到波形成分分析誤差。

（3）電能計量誤差

得到的各次波形成分，與實際上連續(xù)時間傅里葉變換得到的各次波形成分利用式（1）、式（2）即能得到電能計量誤差。

2 實驗仿真分析

為驗證所提出的算法準(zhǔn)確性和可靠性，通過軟件仿真方法，設(shè)計了信號源，并利用點積和算法、加Hanning窗FFT插值算法、及本文的新算法進(jìn)行電能量計算，發(fā)現(xiàn)在信號源輸出基波或包含諧波的基波條件下，三種算法誤差均接近零，因此，將不再過多的分析。在頻率出現(xiàn)偏差時，利用三種算法進(jìn)行實驗仿真分析，得到誤差如圖3所示。

圖3 頻率波動下三種電能計量算法誤差Fig.3 Three algorithm electricitymetering error under frequency fluctuation

圖中信號源頻率波動為50 Hz的正負(fù)0.2 Hz［14］范圍內(nèi)進(jìn)行變化，電壓為220 kV，電流為1 000 A。

從圖中可以看到所提出的算法，電能計量準(zhǔn)確度，明顯的高于點積和算法，且與加Hanning窗FFT插值算法誤差相近，但是考慮到在數(shù)字電能計量系統(tǒng)中，由于采樣頻率不為2的整數(shù)次冪，加Hanning窗的FFT插值算法需要再補零或減少點數(shù)達(dá)到2的整次冪進(jìn)行運算，不便于實現(xiàn)，而本文提出的算法計算簡單，硬件容易實現(xiàn)，具有實用價值和意義。

3 結(jié)束語

提出了一種數(shù)字電能計量新算法，該算法利用三次Lagrange插值算法進(jìn)行電網(wǎng)基波頻率提取，推導(dǎo)出頻率提取公式，并利用DFT算法的柵欄效應(yīng)，實現(xiàn)電網(wǎng)波形成分的提取進(jìn)行電能計量，該方法實現(xiàn)簡單，精度高，在數(shù)字化電能計量系統(tǒng)中能準(zhǔn)確的計量電能。