三種相依隨機序列的M估計的漸近正態性

余新新，胡宏昌，劉 香

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

三種相依隨機序列的M估計的漸近正態性

余新新，胡宏昌，劉 香

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

隨機變量的漸近正態性是統計學中研究的熱點之一.利用負相協(NA)、負超可加相依(NSD)、漸近幾乎負相依(AANA)三種相依隨機序列的性質及一些不等式，在適當的條件下得到了三種相依隨機序列的M估計的漸近正態性.這些結果推廣了獨立隨機變量序列的相應結論.

相依隨機序列；M估計；漸近正態性

0 引言

關于獨立同分布隨機變量的漸近性質的研究已經有許多經典的結果,如林正炎、陸傳榮和蘇中根[1]系統講述了獨立隨機變量序列的中心極限定理.然而在實際生活中，多數變量是相依的，所以很多人關注相依隨機變量的漸近性質.負相協(NA)、負超可加相依(NSD)、漸近幾乎負相依(AANA)隨機序列就是常見的相依變量.

Joag-Dey K和Proschan F[2]提出了NA的概念，而NSD是較NA更為廣泛的一種隨機變量，Hu[3]提出了NSD的概念，并給出了NSD的一些基本性質.文獻[4]指出了NA序列是AANA序列.文獻[5]討論了非平穩同分布NA序列的中心極限定理的一些結果.文獻[6]研究了相協隨機變量函數的部分和的中心極限定理.文獻[7]給出了NA部分和之隨機變量和的中心極限定理.本文在前人的基礎上研究了三種相依序列的漸近正態性.下面給出三種相依隨機序列及M估計的概念.

定義1[2]稱實值隨機變量X1,…,Xn(n≥2)是NA的，如果對于{1,…,n}的任意兩個不相交的非空子集A1與A2,都有

cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≤0

其中f1與f2是任何兩個使得協方差存在的且對每個變元均非降(或對每個變元均非升)的函數.稱隨機變量序列{Xj,j∈}是NA序列,如果對每個n≥2，變量X1,…,Xn都是NA的.

定義2[3]稱{X1,X2…,Xn}是NSD的，如果滿足

定義3[8]稱{Xn,n≥1}是AANA的，如果存在非負q(n)→0(n→∞)，對任意的n,k≥1都有

其中f和g是任何兩個使上述方差存在且對每個變元均為非降的連續函數.稱{q(n)≥1}為該AANA序列的混合系數.

1 主要結果

假設{X1,…,Xn}為NA(或NSD或AANA)隨機變量序列，為了本節定理的證明，下面給出定理所需要的一些基本條件：

3)Xj,j≥1在L2上一致可積；

5) 存在嚴格上升的自然數序列{nk},對某個α∈(0,1)滿足

定理1 {X1,…,Xn}是NA或AANA隨機變量序列，分布函數為F(x)，且滿足條件(1)～(2)和條件(4)～(7)，則

定理2 {X1,…,Xn}是NSD隨機變量序列，分布函數為F(x)，且滿足條件(1)～(7)，則

定理3 {X1,…,Xn}是NA或AANA隨機變量序列，分布函數為F(x)，且滿足條件(1)～(2)、(4)～(5)和條件(8)～(9)，則

定理4 {X1,…,Xn}是NSD隨機變量序列，分布函數為F(x)，且滿足條件(1)～(5)和條件(8)～(9)，則

2 主要結果的證明

為了證明本節的結果，需要用到如下引理：

引理1[10]設{X1,X2…,Xn;n≥1}為NA(或NSD或AANA)隨機變量序列，f1,f2,…是非降(或者非增)的連續函數，則{fn(Xn),n≥1}仍是NA隨機序列.

定理1的證明 假設ψ(x,t)關于t是非增的，則λFn(t)也是非增的.因此由引理2得

為了得到漸近正態性，需要證明

其中tz,n=t0+zσn-1/2,σ=σ(T,F),(6)式等價于證明

因此

-n1/2λF(tz,n)/Sz,n→z,n→∞

即

其中Φ為標準正態分布函數.

也就是要證明

因為{Xi}是NA隨機變量序列，所以由引理1可知{Yni}也是NA隨機變量序列.利用文獻[5]中定理的證明方法可以證明(8)式，在此略.定理2的證明過程和定理1類似，這里也不再證明.

定理2的證明 因為ψ(x,t)關于t是可微的，由中值定理得

要證(3)式，只需要證明

由引理3得

要證式(3)，只需證明

即證,

[1]林正炎,陸傳榮,蘇中根.概率極限理論基礎[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

[2]Joag-Dev K, Proschan F. Negative association of random variables with applications[J]. The Annals of Statistics, 1983,11(1):286～295.

[3]Hu T Z. Negatively superadditive dependence of random variables with applications[J]. Chinese Journal of applied probability and Statistic, 2000,16:133～144.

[4]Chandra T K, Ghasal S. The strong law of number for weighted averages under dependence assumptions[J]. Journal of Theoretical Probability, 1996,19(3):797～809.

[5]蘇 淳，遲 翔.非平穩NA序列中心極限定理的一些結果[J].應用數學學報，1998,21(1)：9～21.

[6]Zhao Y L, Qin Y S, Shen X X. Central limit theorem for sums of the functions with associated random variables[J]. Journal of zhejiang Normal University,2015,38(3):1～8.

[7]Zou G Y. Central Limit Theorem for Random Sum of Partial Sums of NA Sequences[J]. Journal of shenyang University of Chemical Technology, 2016,30(1):1～4.

[8]Chandra T K, Ghasal S. Extensions of the strong law of number of Marcinkiewicz and Zygmund for dependent variables[J]. Acta Mathematical Hungarica, 1996,71(4):327～336.

[9]Robert J Serfling. Approximation Theorems of Mathematical Statistics[M]. New fork:John Wiley & Sons, 1980.

[10]Yuan D M, An J. Rosenthal type inequalities for asymptotically almost negatively associated random variables and applications[J].Science in China Series A, 2009,52(9):1887～1904.

AsymptoticnormalityofM-estimatesforthreekindsofdependentrandomsequences

YU Xin-xin，HU Hong-chang，LIU Xiang

( College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

Asymtotic normality of random variables is a hot problem in Statistic. In this paper, using the properties of three dependent random sequences for negatively associated (NA), negatively superadditive dependent(NSD) and asymptotically almost negatively associated (AANA), and some inequalities, we obtain asymptotic normality of M-estimates for the three dependent random sequences under appropriate conditions. Theses results extend the corresponding conclusion of independent random variables sequences.

dependent random sequences;M-estimates;asymptotic normality

O211.4

A

2096-3149(2017)04- 0062-05

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.04.013

2017—07—28

國家自然科學基金(11471105)，湖北師范大學科研團隊(T201505)，湖北省教育廳科學技術研究項目(Q20172505，D20172501)

余新新(1994— )，女，河南駐馬店人，碩士研究生,主要研究方向為統計學.