EP-陣的新特征

熊 瑤， 曹元元， 程瀅潔

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

EP-陣的新特征

熊 瑤， 曹元元， 程瀅潔

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

利用Core-逆和廣義Core-逆, 研究了EP-陣的性質, 得出了EP-陣的一些新的刻畫.

Core-逆；廣義Core-逆；EP-陣；群逆

1 引言與預備引理

AA#=A,A#AA#=A#,AA#=A#A.

A#不一定存在，若A#存在則唯一.A#存在的充要條件是r(A)=r(A2)[1].

其中R(A)表示矩陣A的值域. EP-陣這個概念是由Schwerdtfeger H在文[2]中給出的, Bakalary O M和Trenkler G在文獻[3]中收集了EP-陣的刻畫, 并給出了一些EP-陣和加權EP-陣新的刻畫, EP-陣也與正交投影算子, 群逆陣, 雙正規矩陣, 星-劍矩陣, 雙劍矩陣等, 有著緊密的聯系[1, 3～ 7].

在文獻[4]中, Hartwig R E與Spindelb?ck K在研究,A*，A+可交換時, 提出了矩陣的Σ-K-L分解, 該分解如下:

引理1[4]設A∈n×n, 且r(A)=r, 則存在酉矩陣U∈n×n使得,

其中Σ=diag(σ1,σ2,…,σr),σi>0(i=1,2,…,r),K∈r×r,L∈r×(n-r)且

KK*+LL*=Ir

由(1)可以計算出,

如果有條件r(A)=r(A2), 那么A#存在且有:

引理2[9]設A∈n×n,r(A)=r, 且A的Σ-K-L分解由式(1)給出, 則當且僅當L=0.

Bakalary O M和Trenkler G在文獻[2]中給出了廣義Core-逆的定義. 當A∈n×n, 用A?表示A的Core-逆. 文中給出了一些Core-逆的性質, 也對矩陣A的Core-逆的偏序做了介紹和研究.

下面給出A?與A的定義及在Σ-K-L分解下的計算公式:

定義1[10]設A∈n×n, 若A?∈n×n滿足AA?=PA且R(A?)?R(A), 其中

下面給出A?與A的定義及在Σ-K-L分解下的計算公式:

引理3[10]如果A∈n×n且A具有式(1)的分解形式, 那么

定義2[11]設A∈n×n, 若A∈n×n滿足A=(APA)+, 其中PA=AA+, 則稱A為A的廣義Core-逆.

2014年Bakalary O M和Trenkler G在文獻[11]提出了廣義Core-逆, 廣義Core-逆是Core-逆的推廣. 當A∈n×n, 用A表示A的廣義Core-逆, 對于任意方陣的廣義Core-逆都存在. 該文也是利用Σ-K-L分解研究來廣義Core-逆的性質.

引理4[11]如果A∈n×n且A具有式(1)的分解形式, 那么

A

該文在第2部分給出用A?來刻畫EP-陣的特征, 第3部分給出了用A來刻畫EP-陣的特征.

2 用 A?刻畫EP-陣的特征

定理1 設A∈n×n, 則下列命題彼此等價:

2)AA+A?=A#;

3)A+AA?=A#;

4)A?AA*=A*;

5)A?A+=A+A?;

6)A+A?=(A?)2;

7)A+A*=A?A*;

8)A+(A?)K=(A?)KA+;

9)AA?A+=A*AA?;

10)AA?A+=A?A+A;

其中KK*+LL*=Ir,K∈r×r,L∈r×(n-r),Σ=diag(σ1,σ2,…,σr),σi>0,i=1,2,3,…,r,r(A)=r.

1) ? 2) 由引理2可知L=0, 則KK*=Ir, 即K*=K-1. 這樣.

這樣L=0,再由L=0,有KK*=Ir, 即K*=K-1,

這樣L=0, 可直接計算

這樣L=0, 再由L=0, 則有KK*=Ir, 即K*=K-1, 直接計算

所以有A+A?=A?A+.

這樣L=0, 再由L=0, 可得K*=K-1,直接計算

這樣L=0, 再由L=0得,K*=K-1,

這樣L=0 , 再由L=0得,K*=K-1, 從而

從而8)成立.

這樣L=0, 再由L=0得,K*=K-1,

這樣9)成立.

這樣L=0, 再由L=0得,K*=K-1,

這樣10)成立.

這樣L=0, 再由L=0得,K*=K-1,

3 用A刻畫EP-陣的特征

定理2 設A∈Cn×n, 則下列命題等價:

2)A=AA*(A*)；

3)A=A*(A*)A；

4)A=A2A.

AA*(A*)

2)?3)AA*(A*)

這樣L=0, 再由L=0有KK*=Ir, 則K可逆,ΣK可逆, 即(ΣK)*可逆, 則

3)?4)A*(A*)

A2A

4)?1)A2A

適當添加條件后，可得到下面定理3 .

定理3 設A∈n×n, 則的充要條件是A=AA2且AA=PA.

證明：?A

A

由(2)式可得 (ΣK)+ΣK=Ir

由(3)式可得 (ΣK)+ΣL=0

[2]Schwerdtfeger H. Introduction to linear algebra and the theory of matrices[M]. Groningen:Noordnoff, 1950.

[3]Tian Y, Wang H. Characterizations of EP matrices and weighted-EP matrices[J]. Linear Algebra & Its Applications, 2011, 434(5):1295～1318.

[4]Robert E Hartwig, Klaus Spindelb?ck. Matrices for which A*and A+commute[J]. Linear & Multilinear Algebra, 1983, 14(3):241～256.

[5]Campbell S L, Meyer C D. EP operators and generalized inverses[J]. Canadian mathematical bulletin-Bulletin canadien de mathématiques, 1975, 18(18):327～333.

[6]Campbell S L, Meyer C D. Generalized Inverses of Linear Transformations[M]. Boston:the Pitman Press, 1979.

[7]Spindelb?ck K. Partial isometries, contractions and EP matrices[J]. Linear & Multilinear Algebra, 1983, 13(4):295～310.

[8]Baksalary O M, Trenkler G. Characterizations of EP, normal, and Hermitian matrices[J]. Linear & Multilinear Algebra, 2008, 56(3):299～304.

[9]Baksalary O M, Trenkler G. On k-potent matrices[J]. Electronic Journal of Linear Algebra Ela, 2013, 26(2):446～470.

[10]Oskar Maria Baksalary, G?tz Trenkler. Core inverse of matrices[J]. Linear & Multilinear Algebra, 2010, 58(6):681～697.

[11]Baksalary O M, Trenkler G. On a generalized core inverse[J]. Applied Mathematics & Computation, 2014, 236(236):450～457.

NewcharacteristicsofEPmatrices

XIONG Yao,CAO Yuan-yuan,CHENG Ying-jie

(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

In this paper, we use core-inverse and generalized core inverse to obtain the properties of EP matrices and some new characteristics of EP matrices.

core inverse; generalized core inverse; EP matrices; group inverse

O151.2

A

2096-3149(2017)04- 0056-06

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.04.012

2017—07—29

熊瑤(1988— ), 女, 湖北荊州人, 碩士研究生, 主要研究方向為廣義逆理論及其應用.