“變化多端”的矢量三角形

范旺

在高中物理的靜力學中，關于力的矢量運算是很重要的內容。求解力的問題關鍵是要建立起幾個力之間的數學關系（數學方程或幾何關系），把力的關系轉化成數學關系，進而求解。其中三個力形成的矢量三角形是最為常見的一種關系。這個力三角形經常利用力的合成或力的效果分解來得到，然后通過解三角形求解。當這個力三角形中某一個或兩個因素發生改變時，就形成了一個動態的、變化的三角形。下面就這一問題加以討論：

一、合力與其兩分力構成三角形

兩個力的合力的大小介于兩個分力之和與兩個人力之差（絕對值）之間，若兩個力的夾角不等于0和180度時，合力與其兩個分力構成一個三角形。

（1）若合力F一定，把它分解為兩個大小相等的分力（未知），兩個力的夾角發生變化時，兩個分力的大小隨著改變。

如圖，三角形的變化表現為頂點在其底邊的中垂線上滑動，不難看出兩個分力隨夾角的增大而減小，隨夾角的減小而增大。

這與我們體育鍛煉中“引體向上”是一個道理，兩臂夾角越大，越費力。中學物理不少力學問題就是以這個知識點來命題。

例1：用一根輕質細繩將一副質量為m的畫框懸掛在墻壁的釘子上上，細繩的最大張力為mg，如果已知兩掛釘之間的距離為d，則細繩的最短長度是多少？

例2：如圖所示，繩的一端固定在墻上A點，另一端通過定滑輪吊一重物，桿BC可繞B點自由轉動。桿、滑輪、繩子的質量及摩擦均不計。將繩的A端沿墻稍向下移動，則下列判斷中正確的是

A.繩子拉力、BC桿受到的壓力都增大

B.繩子拉力減小，BC桿受到的壓力增大

C.繩子拉力不變，BC桿受到的壓力增大

D.繩拉力、BC桿受到的壓力都不變

（2）合力F一定，且一個分力F1方向一定，另一個分力F2的方向發生變化。

可看三角形的變化是表示F1的線段的一個端點在表示F2方向的射線上滑動，當垂直時，F1取得最小值。

（3）若合力F一定，兩分力夾角一定且小于90度時，則其中一個分力存在最大值。

該力三角形的變化表現為，直角三角形的一個外接圓，一點在圓周上移動，可看出一個分力的最大值為圓的直徑。

二、三個共點力平衡構成三角形

例1.如圖，光滑的擋板和光滑斜面之間夾著一個小球，當緩慢增大角，則小球對斜面和擋板的壓力如何變化？

該題不難看出，所得到的三角形兩力的方向一定，同時其中一力大小確定，另一個力的一個端點在滑動。

例2.光滑半球面固定在水平面上，球心正上方懸掛一輕質小定滑輪。細繩通過定滑輪連接小球，小球靠在半球面上，緩慢拉動細繩，在小球沿球面上升的過程中，球面對小球的支持力和細繩對小球拉力各如何變化？

例3.如圖所示的裝置中，兩根細線共同系住一個小球，兩細繩間有一夾角，細繩AC呈水平狀態，將整個裝置在紙面內順時針緩慢轉過90度，在轉動過程中保持兩繩夾角不變。則兩繩拉力如何變化？

綜上可以看出，由三個力組成的三角形，當其中某些力發生變化時，三角形會隨著改變，因變化的條件不同相應有不同的解決方式。諸如上述，有作圖法，三角形相似，正弦定理，對具體問題要具體分析。