結構元線性生成的模糊值函數極限的新定義與性質

舒天軍, 莫智文

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

結構元線性生成的模糊值函數極限的新定義與性質

舒天軍, 莫智文*

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

用一種模糊距離給出結構元線性生成的模糊值函數極限的一種新定義,然后應用這種極限定義證明結構元線性生成的模糊值函數極限的加法與數乘運算、局部有界性、唯一性、局部保號性、保不等式性和迫斂性的6個性質定理,最后給出一個判斷結構元線性生成的模糊值函數極限存在的柯西準則定理.

模糊距離; 結構元; 模糊值函數; 極限

自從L. A. Zadeh于1965年提出模糊集合理論以來,經過50多年的發展,模糊系統理論及其應用成果顯著,且不斷完善,其中關于模糊值函數極限的定義,一些學者做了研究[1-15],其理論依據是擴張原理.對于模糊值函數的一個分支,結構元線性生成的模糊值函數的概念由郭嗣琮[16]提出.文獻[10]根據結構元線性生成的模糊值函數的表達式,給出了結構元線性生成的模糊值函數極限的一種定義.本文將利用文獻[11]給出的模糊距離,結合模糊集的分解定理得出一種新的方法定義結構元線性生成的模糊值函數的極限,然后對結構元線性生成的模糊值函數極限的相關性質進行研究,并給出一個結構元線性生成的模糊值函數極限存在的充要條件.

1 預備知識

定義1.1[9]E是實數域R上的模糊集,隸屬函數記為E(x),x∈R.如果E(x)滿足下述性質：

1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;

2) 在區間[-1,0)和(0,1]上,E(x)分別是單調增右連續函數和單調降左連續函數;

3) 在區間(-∞,-1)或(1,+∞)上,E(x)=0,則稱模糊集E為R上的模糊結構元.

顯然,模糊結構元E是R上的正則凸模糊集,是有界閉模糊集.

h(x)+ω(x)E,?x∈D,ω(x)gt;0}.

2 N(Ef)中模糊值函數極限的新定義和性質

由定義2.1容易證明.

由定義2.2和定理2.1不難推出定理2.2.

當0lt;|x-x0|lt;δ2時有

令δ=min{δ′,δ1,δ2},則當0lt;|x-x0|lt;δ時有

即證

2) 類似于證明1).

令δ=min{δ′,δ1},則當0lt;|x-x0|lt;δ時有

所以

則

且

可以推出

且

則有

且

所以

當0lt;|x-x0|lt;δ2時有

令δ=min{δ1,δ2},則當0lt;|x-x0|lt;δ時有

則

且

有

且

所以

即證.

則有

且

從而

當0lt;|x-x0|lt;δ2時有

則有

且

從而

令δ=min{δ′,δ1,δ2},則當0lt;|x-x0|lt;δ時有

由ε的任意性可推出A≤B,即證

).

定理2.8(迫斂性) 若

且在x0的某空心鄰域U0(x0)內有

則

證明因為

ε.

3 N(Ef)中模糊值函數極限的存在條件

證明必要性 設

[1] ZHANG G. Fuzzy continuous function and it’s properties[J]. Fuzzy Sets and Systems,1991,43(2):159-171.

[2] BURGIN M. Theory of fuzzy limits[J]. Fuzzy Sets and Systems,2000,115(3):433-443.

[3] BURGIN M. Neoclassical analysis:fuzzy continuity and convergence[J]. Fuzzy Sets and Systems,1995,75(3):291-299.

[4] 劉宇. 區間值函數與模糊值函數的極限[J]. 東北師大學報(自然科學版),1994,26(3):19-23.

[5] 畢淑娟,吳從炘. 模糊數的運算性質及模糊數的距離與極限[J]. 模糊系統與數學,2000,14(3):40-44.

[6] 張廣全. Fuzzy數的Fuzzy距離與Fuzzy極限[J]. 模糊系統與數學,1992,6(2):21-28.

[7] 郭嗣琮. 模糊值函數極限與連續的模糊結構元表示[J]. 海南師范大學學報(自然科學版),2008,21(4):351-356.

[8] 郭興梅,張慧. 模糊值函數的極限與性質[J]. 滁州學院學報,2013,15(5):21-23.

[9] 郭嗣琮. 模糊值函數分析學的結構元方法(I)[J]. 遼寧工程技術大學學報,2002,21(5):670-674.

[10] 李安國,金紅偉,張志宏,等. 模糊極限的一種新定義[J]. 遼寧工程技術大學學報,2004,23(6):845-847.

[11] 郭嗣琮. 基于結構元理論的模糊數學分析原理[M]. 沈陽:東北大學出版社,2004:97-113.

[12] 殷鳳,王鵬飛. 模糊值函數極限(連續)及導數的新定義[J]. 中北大學學報(自然科學版),2011,32(6):662-666.

[13] 劉浪. 論模糊數的模糊距離[J]. 湘潭師范學院學報(自然科學版),2006,28(1):5-7.

[14] 劉慧林,馮汝鵬. 新的模糊數的模糊距離[J]. 模糊系統與數學,2005,19(2):106-109.

[15] 張锍仁. Fuzzy數的Fuzzy度量空間[J]. 北京師范大學學報(自然科學版),1999,35(2):162-166.

[16] 郭嗣琮. 模糊值函數分析學的結構元方法(II)[J]. 遼寧工程技術大學學報,2002,21(6):808-810.

[17] GOETSCHEL R, VOXMAN W. Elementary fuzzy calculus[J]. Fuzzy Sets and Systems,2005,19(1):82-86.

[18] PURI M L, RALESCU D A. Differentials on fuzzy functions[J]. J Math Anal Appl,1983,91(2):552-558.

[19] KALEVA O. Fuzzy differential equation[J]. Fuzzy Sets and Systems,1987,24(3):301-317.

[20] 楊喬,贠慧萍. 基于新模糊數的模糊距離的多屬性決策方法[J]. 華北水利水電學院學報,2006,27(3):107-109.

[21] 王茹. 基于新的模糊距離在多屬性決策上的應用[J]. 湖北汽車工業學院學報,2007,21(3):58-60.

[22] 楊綸標,高英儀,凌衛新. 模糊數學原理及應用[M]. 廣州:華南理工大學出版社,2001:117-125.

[23] 華東師范大學數學系. 數學分析上冊[M]. 3版. 北京:高等教育出版社,1981:23-55.

2010MSC：94D05; 03B52; 03E72; 28E10

(編輯 李德華)

New Definition and Properties of Fuzzy Valued Function Limit Based on Structural Element

SHU Tianjun, MO Zhiwen

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Using a kind of fuzzy distance, we give a new definition for the limit of fuzzy valued function which is generated structural element and use it to prove six theorems, which are addition together with multiplication, local boundedness, uniqueness, local protection, local protection and forcing convergence of the limit of fuzzy valued function which is generated structural elements. Finally, a Cauchy criterion theorem for the existence of the limit of fuzzy valued function which is generated structural elements is given.

Fuzzy distance; structural element; Fuzzy valued function; limit

O159

A

1001-8395(2017)06-0747-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.007

2016-08-10

國家自然科學基金(11671284)和教育部博士點專項基金(20135134110003)

*通信作者簡介：莫智文(1962—),男,教授,主要從事人工智能、模糊語言、粗糙集、量子信息處理的研究,E-mail:mozhiwen@263.net