格序環上矩陣環理想的一些性質

寧云轉， 吳雅麗， 楊義川

(北京航空航天大學 數學與系統科學學院, 北京 100191)

格序環上矩陣環理想的一些性質

寧云轉， 吳雅麗， 楊義川*

(北京航空航天大學 數學與系統科學學院, 北京 100191)

討論格序環(即l-環)上的l-矩陣環的l-理想，建立l-環理想與l-矩陣環理想之間的關系.

l-環;l-環理想;l-矩陣環理想

1 引言及預備知識

格序環(簡寫為l-環，具體見定義1.1)是由G.Birkhoff等[1]1956年提出來的一類重要的序代數結構.設R是一個環，n是正整數.易驗證，R上的所有n×n階方陣集

Mn(R)={(mij)n×n|mij∈R}

對于矩陣的普通加法和乘法構成一個環.設R是一個l-環，任意的矩陣環A，B∈Mn(R)，如果對所有的i、j都有aij≥bij(這樣的序叫做通常序)，則矩陣環Mn(R)在通常序下是R上的一個全矩陣l-環[2].

本文將在通常序下，對格序理想與格序矩陣環理想之間的關系進行探討.下面先回顧一些必要的概念.

定義1.1[1]一個偏序環或者po-環是一個帶有偏序關系≤的環R，對任意的a，b，c∈R滿足條件:

(A1)a≤b蘊涵a+c≤b+c,

(A2) 0≤a且0≤b蘊涵0≤ab.

格序環是一個po-環R，并且環R在關系≤下作成格.

定義1.2[3]l-環R的子集I稱為l-理想，如果I是環R的理想且是一個凸子格.

引理1.1[3]設R是一個l-環，P是R的l-理想，則以下條件等價:

(a)R中的任意2個l-理想I、J，有I∩J=P蘊涵I=P或者J=P；

(b)R中的任意2個l-理想I、J，有I∩J?P蘊涵I?P或者J?P；

(c) 任意的a，b∈R，有〈a〉∩〈b〉?P蘊涵a∈P或者b∈P.

定義1.3[3]l-環R的l-理想P稱為不可約格序理想，如果P是一個真l-理想并且滿足引理1.1中的其中一個等價條件.

定義1.4[4]l-環R的l-理想P稱為素格序理想，如果P是一個真l-理想并且對R中任意的l-理想I、J有IJ?P蘊涵I?P或者J?P.

注1.1如果P是格序環R的格序理想且是R作為環的素理想，則P一定是l-環R的素格序理想.事實上，若I、J為格序環R的2個任意的l-理想，并且滿足條件IP且JP，則一定存在a∈I、b∈J使得a?P、b?P，則ab∈IJ，因為P是環的素理想，因此有ab?P，從而IJP.即P是格序環R的素格序理想.但反之不成立，例如:任何一個元素的平方都為正的阿基米德交換格序環的素格序理想就不是一個環素理想[4].

注1.2如果P是l-環R的素格序理想，則P一定是l-環R的不可約l-理想.設I、J為R的任意2個l-理想，且I∩J?P，因為IJ?IR?I且IJ?RJ?J，則有IJ?I∩J，因此有IJ?P,又因為P是l-環的素格序理想，則有I?P或者J?P，由定義1.3知P為l-環的不可約理想.

定義1.5[2]l-環R的l-理想P稱為l-根理想，如果P是R的所有極大真l-理想的交.

注1.3在沒有特殊注明的情況下，本文中涉及到的格序環皆是一般格序環(不一定是交換的或有單位元的).

2 主要結果

引理2.1設R是一個l-環，I是R的l-理想，則Mn(I)是Mn(R)的l-理想.

證明先證Mn(I)是Mn(R)的環理想.任取

A=(aij)，B=(bij)∈Mn(I)，

則有

A-B=(aij-bij)∈Mn(I).

任意的K=(kij)∈Mn(R)，則有

其中

因此，C，C′∈Mn(I),即Mn(I)是Mn(R)的環理想.

再證Mn(I)是凸子格.任取A，B∈Mn(I)，則有

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

任意的C∈[A∧B，A∨B]，C=(cij)，即

aij∧bij≤cij≤aij∨bij，

因為I是l-環理想，則I是凸子格，即有

[aij∧bij，aij∨bij]?I，

因此cij∈I，即C∈Mn(I)，則Mn(I)是凸子格.

綜上所述，引理得證.

引理2.2設R是一個l-環，M是Mn(R)的l-理想，令

I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，

則I是R的l-理想.

證明先證I是R的環理想，任意的a，b∈I，則存在A=(aij)∈M有

a11=a，B=(bij)∈M，

有b11=b，則

a-b=a11-b11∈I.

任意的r∈R，則有

C=(cij)=rA=(raij)∈M，

且c11=ra11=ra，因此ra∈I，即I是R的環理想.

再證I是凸子格.任意的a，b∈I，則存在

A=(aij)，B=(bij)∈M，

使得a11=a，b11=b，因為M是l-理想，則[A∧B，A∨B]∈M，其中

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

由I的定義知a∧b∈I，a∨b∈I，任意的c∈[a∧b，a∨b]，設C=(cij)，其中c11=c，cij=aij，i≠1，j≠1，則C∈[A∧B，A∨B]?M，由I的定義知c=c11∈I，因此I是凸子格.

綜上所述，引理得證.

引理2.3設R是一個有單位元的l-環，M是Mn(R)的l-理想，則存在R的l-理想I，使得M=Mn(I).

證明首先，由引理2.2知，I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}是R的l-理想.

下證M=Mn(I).設Eij表示矩陣元素eij=1，其余元素全為0的n階方陣.任意的A=(aij)∈M，則E1iAEj1∈M，且有E1iAEj1中第一行、第一列元素為aij，由I的定義知aij∈I，即有

A=(aij)∈Mn(I)，

因此M?Mn(I).反過來，任意取

B=(bij)∈Mn(I)，

則有bij∈I，從而存在C=(cij)∈M，使得c11=bij，于是bijEij=Ei1CE1j∈M，從而

B=(bij)=∑bijEij∈M，

因此，Mn(I)?M，即M=Mn(I).

綜上所述，引理得證.

由引理2.1和引理2.3可得：

定理2.1設R是一個有單位元的l-環，則Mn(I)為格序矩陣環Mn(R)的格序矩陣環理想當且僅當I是R的l-理想.

引理2.4設Iij(1≤i≤j≤n)是l-環R的l-理想，且對任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij，則

A-B=(aij-bij)∈M.

因為sgt;j，有ksj=0，從而igt;j時有

當1≤i≤j≤n時，結合aij∈Iij及對任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij，則有

再證M是凸子格.任意的A=(aij)，B=(bij)∈M，則

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

因為Iij(1≤i≤j≤n)是R的l-理想，則Iij為凸子格，即[aij∧bij，aij∨bij]?Iij，因此

A∧B，A∨B∈M.

任意的C=(cij)∈[A∧B，A∨B]，則

cij∈[aij∧bij，aij∨bij]，

因為Iij為凸子格，則cij∈Iij，從而C∈M，即

[A∧B，A∨B]?M.

因此，M是凸子格.

綜上所述，引理得證.

證明令Iij={a∈R|存在A=(aij)∈M使得a=aij}(1≤i≤j≤n).由引理2.2知，Iij是R的l-環理想.對任意的i≤m≤l≤j，設c∈Iml，則存在A=(aij)∈M使得aml=c.于是

EimAElj=amlEij=cEij∈M，

故c∈Iij.從而Iml?Iij.

用M′表示等式的右邊.任取A=(aij)∈M，則aij∈Iij(1≤i≤j≤n).則A∈M′，M?M′.反過來，若A=(aij)∈M′，則aij∈Iij(1≤i≤j≤n)，因此，存在相應的矩陣B=(bij)∈M，使得bij=aij，于是

aijEij=bijEij=EiiBEjj∈M，

綜上所述，結論得證.

由引理2.4和引理2.5可得：

定理2.2設R是一個有單位元的l-環，則

是格序矩陣環Mn(R)的上三角l-矩陣理想當且僅當Iij是R的l-理想，且滿足對任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij.

引理2.6設R是一個l-環，Ii(i=1，2，…，n)是R的l-理想，則

{diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n)}

M={diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n)}

由引理2.6可得

定理2.3設R是一個l-環，則

{diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n}

引理2.7設R是一個有單位元的l-環，I是R的素l-理想，則Mn(I)是Mn(R)的素l-理想.

證明由引理2.1知Mn(I)是Mn(R)的l-理想.現在只需證Mn(I)是Mn(R)的素理想.設M1、M2為Mn(R)的任意2個l-理想，且

M1M2?Mn(I).

假設M1Mn(I)，M2Mn(I)，由引理2.3知存在I1、I2使得

M1=Mn(I1)，M2=Mn(I2).

對于任意的A=(aij)∈Mn(I1)且A?Mn(I)，有aij∈I1且存在k、l使得akl?I，于是有I1I，對于任意的B=(bij)∈Mn(I2)且B?Mn(I)，有bij∈I2且存在m、n有bmn?I，同樣有I2I.因為I是R素格序理想，則I1I2I.

任意的c∈I1I2必然存在a∈I1、b∈I2使得c=ab，設A′=(aij)，其中a11=a，aij=0(i≠1，j≠1)，B′=(bij)，其中b11=b，bij=0(i≠1，j≠1)，設C=AB，則

c11=c，cij=0,i≠1，j≠1，

因此C∈Mn(I1)Mn(I2).由題設知

Mn(I1)Mn(I2)?Mn(I)，

于是C∈Mn(I)，即c=ab∈I，從而可得I1I2?I，與I1I2I矛盾，因此假設不成立.

綜上所述，結論成立.

引理2.8設R是一個有單位元的l-環，M是Mn(R)的素l-理想，令I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}.則I是R的素l-理想.

證明由引理2.2知I必是l-理想.下面證明其為素l-理想，設I1、I2是R的任意2個格序環理想，且I1I2?I.由引理2.3知，對I1、I2存在

M1=Mn(I1)，M2=Mn(I2)，

因為I1I2?I，則M1M2?M，又因為M為素格序理想，則Mn(I1)?M或者Mn(I2)?M.不妨設Mn(I1)?M成立，任意的a∈I1，則存在

A=(aij)∈Mn(I1)，

使得a11=a，因為Mn(I1)?M，則A∈M，由I的定義知a∈I，從而I1?I，即I是R的素l-理想.

綜上所述，結論得證.

引理2.9設R是一個有單位元的l-環，M是Mn(R)的素l-理想，則存在R的素l-理想I，使M=Mn(I).

證明由引理2.7、引理2.8及引理2.3得證.

由引理2.7和引理2.9可得：

定理2.4設R是一個有單位元的l-環，則Mn(I)為Mn(R)的素l-理想當且僅當I是R的素l-理想.

引理2.10設R是一個有單位元的l-環，I是R的極大l-理想，則Mn(I)是Mn(R)的極大l-理想.

證明假設Mn(I)不是Mn(R)的極大l-理想，則存在Mn(R)的格序理想M，且滿足

Mn(I)MMn(R)，

由引理2.3知存在l-理想

J={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a},

使得M=Mn(J).從假設知I?J，且存在B=(bij)∈Mn(J)但B=(bij)?Mn(I)，則存在i、j使得bij?I，因此，IJ.再由假設顯然可得到JR，這與題設中I是R的極大l-理想矛盾.因此，假設不成立，即Mn(I)是Mn(R)的極大l-理想.

綜上所述，結論得證.

引理2.11設R是一個有單位元的l-環，M是Mn(R)的極大l-理想，令I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，則I是R的極大l-理想.

證明假設I不是R的極大l-理想，則存在R的理想J，滿足IJR，由引理2.3知M=Mn(I)，并且J對應格序矩陣環理想Mn(J).因為IJ，則存在a∈J且a?I，取

A=(aij)，a11=a，aij∈I,i≠1，j≠1.

則A∈Mn(J)，A?Mn(I)，因此

M=Mn(I)Mn(J).

同理Mn(J)Mn(R).這與M是Mn(R)的極大理想矛盾，假設不成立.即I是R的極大格序理想.

綜上所述，結論得證.

引理2.12設R是一個有單位元的l-環，M是Mn(R)的極大l-理想，則存在R的極大l-理想I，使得M=Mn(I).

證明由引理2.10、引理2.11以及引理2.3得證.

由引理2.10和引理2.12可得:

定理2.5設R是一個有單位元的l-環，則Mn(I)為Mn(R)的極大l-理想當且僅當I是R的極大l-理想.

結合定義1.5、引理2.11、引理2.12及定理2.5可得：

定理2.6設R是一個有單位元的l-環，I是R的l-根理想，則Mn(I)是Mn(R)的l-根理想.

定理2.7設R是一個有單位元的l-環，M是Mn(R)的l-根理想，令I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，則I是R的l-根理想.

定理2.8設R是一個有單位元的l-環，則Mn(I)是Mn(R)的l-根理想當且僅當I是R的l-根理想.

3 結束語

文中矩陣環上的格序假定是通常序，其中的一些結果需要用到環的乘法單位元的存在性.下面列出幾個問題，有興趣的讀者可以閱讀近期相關的一些文章，如文獻[5-7]等.

1) 能否構造出相關結果在無單位環的情形下不成立的反例？

2) 能否在矩陣環上構造出相容的線性序？

3) 能否構造出不同構于通常序的相容格序？

[1] BIRKHOFF G, PIERCE R S. Lattice-ordered rings[J]. Anais Da Academia Brasileira De Ciências,1956,28:41-69.

[2] BIRKHOFF G. Lattice Theory[M]. 3rd. New York:American Math Soc,1967.

[3] KLAUS K. The representation of lattice-ordered groups and rings by sections in sheaves[C]//Lectures on the Applications of Sheaves to Ring Theory,1971:1-98.

[4] DIEM J M. A radical for lattice-ordered rings[J]. Pacific J Math,1968,25(1):71-82.

[5] KITAMURA Y, TANAKA Y. Partially ordered rings II[J]. Tsukuba J Math,2016,39(2):181-198.

[6] SCHWARTZ N, YANG Y C. Fields with directed partial orders[J]. J Algebra,2011,336(1):342-348.

[7] YANG Y C. A lattice-ordered skew field is totally ordered if squares are positive[J]. Am Math Monthly,2006,113(3):265-266.

2010MSC:06F25; 06B10; 15A33

(編輯 余 毅)

Some Properties of l-ideals of Lattice-ordered Matrix Rings over an l-ring

NING Yunzhuan, WU Yali, YANG Yichuan

(SchoolofMathematicsandSystemScience,BeihangUniversity,Beijing100191)

In this paper, we discuss thel-ideals ofl-matrix rings over anl-ring and establish the relationship betweenl-ideals of thel-rings andl-ideals of the matrix rings.

l-ring;l-ideal ofl-ring;l-ideal ofl-matrix ring

O153.1

1001-8395(2017)06-0722-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.002

2016-12-03

國家自然科學基金(11271040)

*通信作者簡介:楊義川(1970—)，男，教授，主要從事邏輯代數、序代數、軟計算及其應用的研究，E-mail：ycyang@buaa.edu.cn