高中生數學基本活動經驗的獲得研究
——以“基本不等式”教學為例

陳 敏

高中生數學基本活動經驗的獲得研究
——以“基本不等式”教學為例

陳 敏

為了讓高中生獲得更多的數學基本活動經驗，提升數學核心素養，以“基本不等式”的教學為例，提出“模擬（演示）實驗、動手操作、研討探究、數學建模”四個不同層次的獲得數學基本活動經驗的途徑，教師在明確數學活動經驗與學生發展的關系，深刻理解其本質內涵的條件下，把握數學活動經驗的目的性、主動性、深刻性、層次性，遵循學生的認知規律，確保學生數學活動經驗的獲得。

高中數學；基本活動體驗；獲得途徑

《義務教育數學課程標準（2011版）》提出了“四基”，即學生通過學習，獲得必需的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。義務教育階段的教師積極踐行課標精神，教學中注意學生的主體體驗。但高中數學由于內容多、難度大、教學時間緊等原因，教師一般不敢放手讓學生去體驗，擔心學生學習活動完成不了，數學理論掌握不好，造成高中數學教學的現狀是結論告知的多，過程經歷的少；教師講解的多，學生探究的少；解題程式訓練的多，活動體悟到的經驗少。相比小學與初中，高中生基本數學活動經驗的獲得研究具有重要的現實意義。

筆者結合自己的教學實踐認為，數學基本活動經驗離不開數學活動，好的數學活動一般有特定的問題情境和明確的學習目標，有較廣的探索空間，教師要積極引導學生動腦、動口、動手、動情，多種感官協調統一，根據不同的教學內容和教學目標，按數學活動開展和學生經驗獲得的難易綜合程度，多層次地使學生獲得數學基本活動經驗。下面以“基本不等式”的教學為例，談一談“模擬（演示）實驗、動手操作、研討探究、數學建模”等幾種不同層次的數學基本活動經驗的獲得途徑。

一、模擬實驗，重在悟其道

當現實條件不具備，或是沒有必要現場實物操作，或者教學要求不高、思維難度不大時，有些數學實驗教師可以采用計算機動畫仿真模擬，讓學生認真觀察，進行數學抽象。這一過程重在“悟其道”，所謂“悟其道”就是拋去模擬實驗場景的外衣，用數學的觀點與思想方法尋求模擬實驗現象數學解釋，挖掘其背后的數學本質。

如在教學“基本不等式”時，學生做不等臂天平的數學實驗，不可能也沒有必要人手一臺天平，這時教師可以用flash動畫模擬演示，如圖1。

圖1

探究問題：假設有一個兩臂長不等的天平，把一個物體放在該天平的一個托盤上，在另一個托盤上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質量為a，再把物體與砝碼調換，稱得物體的質量為b，通常的做法是用表示物體的實際質量M，這樣合理嗎？物體真實的質量是多少？

事實上，設天平左右臂長分別為l1，l2。根據杠桿原理，Ml1=al2，Ml2=bl1兩式相乘得，M2l1l2=abl1l2，所以即物體的實際質量M=

當然，計算機動畫模擬只是模擬實驗場景，數學實驗沒有實際發生，當實驗物質條件具備時，可以考慮現場演示實驗，由教師或個別學生在講臺上現場演示，其他學生仔細觀察，認真思考，努力尋求現象背后的數學本質。如上述模擬實驗中，如果條件許可，就可以把不等臂天平拿到教室講臺上現場演示，學生觀察后，用數學的方法求出物體的實際質量

二、親手操作，重在解其理

親手操作做數學實驗是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）進行的一種以實際操作為主要特征的數學驗證或探究活動。其目的是讓學生在數學活動中切身體驗數學理論的產生發展過程。親手操作是獲得數學活動體驗的最直接的方法，其重點是理解其中的數學之理。

如在教學“基本不等式”時，可以讓學生做這樣的數學實驗：如圖2，把兩張邊長不等的正方形紙（a≥b＞0）沿對角線對折后拼成右邊的圖形，詢問學生這一圖形同基本不等式0，b＞0）有何關系，能否直觀地看出大多少，等號何時成立。

圖2

三、研討探究，重在得其法

學生經歷數學知識的產生發展過程，積極研討探究，切身體驗，用心感悟，總結提煉，尋求解決問題的一般方法，從而內化為自己的數學能力與數學素養。研討探究活動要用心感悟過程，總結提煉數學問題的一般研究方法是重點。

在教學過程中，先是通過不等臂天平的演示實驗抽象出數學問題：算術平均數與幾何平均數的大小關系如何；然后是猜想驗證，利用特殊值歸納猜想的大小關系，學生自主判斷、探究、證明（基本呈現比較法、分析法、綜合法的雛形）；接著是演繹證明，利用不等式證明的基本方法（比較法、分析法、綜合法）嚴格證明得到數學結論最后是理解賞析，賞析基本不等式的平衡和諧之美、數形結合之美。甚至教師還可以進一步縱深引導：從平衡和諧美的角度，你還能提出兩個正數的其他“平均數”嗎？它們與算術平均數與幾何平均數的大小關系如何？三個正數呢？n個正數呢？從而使學生對于基本不等式的認識更加深入全面。事實上，以上數學理論的探究過程：動手操作（或是模擬實驗）→數學抽象→猜想驗證→演繹證明→數學理論→理解賞析，就是數學問題的一般研究方法。

四、數學建模，重在盡其用

學習數學不是為了學而學，其最終目的是學以致用，即綜合運用數學知識、觀念、方法建立數學模型，解決實際問題。通過數學學習，學生能從數學的角度發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，學會“用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”。事實上，數學核心素養從本質上講就是個體面對復雜的、不確定的情境時，綜合運用數學知識、觀念、方法解決實際問題所表現出來的關鍵能力與必備品質。它是學生在數學學習的過程中逐步形成的。數學建模和數學探究等綜合實踐活動是學生獲得數學活動經驗的有效方式，也是培育學生數學核心素養的重要途徑。

如在“基本不等式”學習時，教師可以鼓勵學生到學校文印室或是校外印刷廠調研在排版面積一定的條件下紙張的用量問題：

如圖3，一份矩形印刷品的排版面積為A，它的左右兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為b的空白。如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的用量最少？

圖3

解析：設排版矩形的長和寬分別是 x，y，則 xy=A，紙張的面積為

以上是結合“基本不等式”的教學，提出“模擬（演示）實驗、親手操作、研討探究、數學建模”等幾種不同層次的數學基本活動體驗的獲得途徑。不難看出，“模擬（演示）實驗”中數學活動沒有實際發生，或僅僅觀察到教師的實驗操作，所獲得的經驗是淺層次的，實際課堂教學也比較容易實現。“動手操作”則是每個學生人手一套實驗儀器、工具、材料等，課堂教學物質條件要求更高，但是學生動手操作，獲得的是摸得著的切身體驗。以上兩種多數情況下都是為達成某一個具體的教學目標而進行的，學生獲得的是一些孤立的個別的數學活動體驗。而“研討探究”則是把這些孤立的個別的數學活動體驗串起來，總結提煉，尋求解決問題的一般方法。最后“數學建模”是對于客觀現實世界，數學地觀察、數學地分析、數學地解決、數學地表達，這是數學教學的價值追求，這種經驗的獲得需要一個循序漸進的過程，不可一蹴而就。當然以上這些不同層次的學生數學基本活動經驗的獲得，一定要結合不同的教學內容和教學目標，適合的才是最好的。

除此以外，教師引導學生參與數學活動，獲得數學活動經驗還要注意以下幾個問題：一是目的性，活動是為教學目標的達成服務的，不同的目標定位會設計出不同的活動，也就會產生不一樣的教學效果；二是主動性，實踐證明，要使活動更加積極有效，就必須注意學生學習體驗的主動性，如果學生被教師牽著鼻子走，照著教師的要求，按部就班進行體驗，學生獲得不了真正屬于自己的數學活動經驗；三是多樣性，活動方式包括課外數學閱讀、數學實驗、撰寫小論文與實驗報告、數學儀器、工藝品的制作、數學游戲等，其中數學建模和數學探究等綜合實踐活動是學生數學活動體驗的有效方式；四是深刻性，教師創設的數學活動，不能片面追求形式的“美麗”，要注重數學內涵的“魅力”，學生不僅僅是“做數學”，還要“思數學”，更要“悟數學”，把握數學活動情景背后的數學之理。

總之，教師只有明確數學活動經驗與學生發展的關系，深刻理解數學問題的本質內涵，了解基本的高中生基本數學活動經驗的獲得途徑，遵循學生的認知規律，才能確保學生數學活動經驗的獲得。

G633.6

A

1005-6009（2017）67-0034-03

陳敏，江蘇省錫山高級中學（江蘇無錫，214174）教師，高級教師，無錫市學科帶頭人。