排列組合問題的學(xué)習(xí)總結(jié)與應(yīng)用

【摘要】排列組合問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分，看似簡單的排列組合知識(shí)，在平時(shí)學(xué)習(xí)解決具體的問題時(shí)，有時(shí)會(huì)容易沒有頭緒或者遺漏細(xì)節(jié)，本文根據(jù)所學(xué)習(xí)排列組合的知識(shí)和查閱相關(guān)資料，從排列組合的分組問題、排列組合中分步和分類的問題、排列組合的解題技巧角度總結(jié)和學(xué)習(xí)排列組合的知識(shí)，并通過例題說明這些方法的應(yīng)用，加深對排列組合知識(shí)的了解和提高解決排列組合問題的能力。

【關(guān)鍵詞】分組分配；排列組合；分步；分類

【中圖分類號(hào)】G634.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）11-0291-02

一、排列組合的分組問題

在學(xué)習(xí)排列組合的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到給人數(shù)分組分配和盒子裝不同球的種類數(shù)問題，此處大致總結(jié)幾種常見得分組分類問題及解題方法。

1.不相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)不相同的盒子里，有的盒子裝n1個(gè)小球，有的盒子裝n2個(gè)小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：

2.不相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)不相同的盒子里，每個(gè)盒子里面裝m，其中mr=n，則分配方案為：

3.不相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)相同的盒子里，每個(gè)盒子里面裝m，其中mr=n、，則分配方案為：

4.不相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)相同的盒子里，有的盒子裝n1個(gè)小球，有的盒子裝n2個(gè)小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：

5.相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)不相同的盒子里，有的盒子裝n1個(gè)小球，有的盒子裝n2個(gè)小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：r！

6.相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)不相同的盒子里，每個(gè)盒子里面裝m，其中mr=n、，則分配方案為：1

7.相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)相同的盒子里，每個(gè)盒子里面裝m，其中mr=n、，則分配方案為：1

8.相同的n個(gè)小球，裝進(jìn)r個(gè)相同的盒子里，有的盒子裝n1個(gè)小球，有的盒子裝n2個(gè)小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：1

其中上述問題中，前四種的判斷容易讓人混淆，而6-8四種情況較為簡單，然而當(dāng)每天都在思考復(fù)雜問題的時(shí)候，遇到5-8也會(huì)出現(xiàn)腦筋急轉(zhuǎn)彎似的情況，讓人應(yīng)接不暇，下面通過舉例說明球盒分配分組問題簡單應(yīng)用。

Eg1：有13個(gè)不同的禮物，需要送給三個(gè)人，有一個(gè)人有五個(gè)禮物、另外兩個(gè)人分別有四個(gè)禮物。禮物有幾種分法。

答：禮物本身分組的方法有：種分組方法

人禮物件數(shù)分成有：

所以禮物的分配方法有種。

二、排列組合中分步和分類的問題

排列組合中，對問題進(jìn)行“分類”計(jì)算還是“分步”計(jì)算也是一個(gè)易錯(cuò)的部分。其中“分類”是指對整體分析對象按不同的性質(zhì)分成幾類，每一類都是分析對象獨(dú)立的子集，類與類之間沒有絕對的依存關(guān)系，每一類都是事件的一部分，采用分類計(jì)數(shù)的方法即不同類采用累加的方法；而“分步”是指完成對被分析對象分析的時(shí)候，從前到后依次進(jìn)行，必須把各個(gè)步驟都完成以后，才能完成所給的事件，并且步與步之間又互不影響，即前面采用的方法不影響后面的步驟采用什么方法此時(shí)采用分步的方法即為不同步之間采用累乘的方法。下面通過幾個(gè)例題具體說明分類和分步的應(yīng)用。

Eg2：有七個(gè)人排成一排，其中有兩個(gè)人不在正中間也不在兩邊，有多少不同的重法？

分析：此題為典型的分步計(jì)數(shù)方法：因兩個(gè)人比較特殊，所以首先安排兩個(gè)人的位置，為A42，則剩下的五個(gè)位子分別為五個(gè)人任意做，有A51A41A31A21A11=A55，因此分類的發(fā)放義工為：A42A55。

Eg3：有25個(gè)人排成5×5的方隊(duì)，現(xiàn)從中選擇3個(gè)人，這三個(gè)人不在同一行并且也不在同一列，則不同的選法有多少種？

分析：此題也為分步計(jì)數(shù)方法：首先第一步先選擇一個(gè)人有25種，第二部選擇第二個(gè)人有25-9=16種，第三步選擇一個(gè)人有16-5=9種方法，因?yàn)?個(gè)人沒有先后順序，所以最后去掉三個(gè)人的順序的不同的選法有：25×16×9÷3！=600。

Eg4：在“歡樂今宵”的電視節(jié)目中，有兩個(gè)信箱，信箱中放著競猜中的觀眾來信，甲信箱中裝有30封，乙信箱中裝有20封，現(xiàn)在由主持人抽取獎(jiǎng)品確定幸運(yùn)觀眾，如果先確定一個(gè)幸運(yùn)觀眾，然后再從兩個(gè)信箱各確定一個(gè)幸運(yùn)觀眾，請問抽取的幸運(yùn)觀眾有幾種不同的結(jié)果？

分析：此題為分類計(jì)數(shù)方法：分成兩類，其中第1類，第一位幸運(yùn)觀眾在甲箱中抽選，選定幸運(yùn)之星，然后再在兩箱中各抽取一位，此時(shí)幸運(yùn)觀眾有30×29×20÷2=8700種情況；第2類是第一名幸運(yùn)觀眾在乙箱中抽選，此時(shí)有20×19×30÷2=5700種情況。因此共有不同的抽取結(jié)果數(shù)為：8700+5700=1440。（注：除以二是因?yàn)槿疫\(yùn)關(guān)總沒有先后順序）。

三、排列組合的解題技巧

此處主要總結(jié)學(xué)習(xí)排列組合解題時(shí)的集中常見技巧，例如特殊元素優(yōu)先處理、特殊位置優(yōu)先考慮、排除法、擋板法等，下面通過幾個(gè)例子說明一下這幾種常用的解題技巧。

Eg5：有六雙不同顏色的手套，從中任意取4只手套，恰好有一雙是同色的取法有多少種？

分析：此題為特殊元素特殊處理的類型，采用前面所講的分步計(jì)數(shù)原則，先取一雙同色的手套有C61種，剩下十只手套任選一只C101，剩下的從兩雙手套之外在選一只C81，由于后面兩只手套不考慮先后順序，所以去除它們之間的先后順序可得一共的取法有：種。

Eg6：從10個(gè)人中選4人參加會(huì)議，其中在甲、乙、丙三個(gè)人中至少有1人參加會(huì)議，問參加會(huì)議人有多少種不同的選擇？

分析：此題為排除法，即求甲、乙、丙三個(gè)人中至少有1人參加會(huì)議得對立面，即三個(gè)人都不參加會(huì)議的情況數(shù)，有C74，所以甲、乙、丙三個(gè)人中至少有1人參加會(huì)議得情況有種。

Eg7：把十個(gè)蘋果發(fā)給八個(gè)人，每人至少有一個(gè)蘋果，請問有幾種不同的分蘋果方案？

分析：此題為擋板法，此問題可以等價(jià)為，把十個(gè)蘋果排成一排，在十個(gè)蘋果的九個(gè)空隙處讓七個(gè)人“插隊(duì)”，第八個(gè)人在蘋果最后面，在人前面和該人前面一個(gè)人后面的蘋果歸該人所有，所以分配方法為。

四、總結(jié)（下轉(zhuǎn)250頁）

（上接291頁）本文總結(jié)學(xué)習(xí)了排列組合的相關(guān)知識(shí)，主要從排列組合的分組問題、排列組合中分步和分類的問題、排列組合的解題技巧角度總結(jié)和學(xué)習(xí)排列組合的知識(shí)，并通過例題說明這些方法的簡單應(yīng)用，通過排列組合相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)總結(jié)，提高了對本部分的內(nèi)容的理解。

參考文獻(xiàn)

[1]田秋成.組合數(shù)學(xué)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[2]朱秀芝.分組與分配問題解法探討[J].新課程（教研），2010，（6）：76

[3]張金華.排列組合幾個(gè)常見問題淺析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2011，（35）：17～18.

[4]張亞軍.插板法解一類排列組合題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003，，（8）：50.

作者簡介：朱文睿（1999年10月29日—），男，漢族，四川省成都市人，成都西北中學(xué)學(xué)生，研究方向：數(shù)學(xué)與教育。endprint