古代數學名著《九章算術》簡介

肖學軍

《九章算術》是中國古代第一部數學專著，是“算經十書”中最重要的一種.所謂“算經十書”，就是指漢唐之間出現的10部古代算書.《九章算術》成書于公元1世紀左右.該書內容十分豐富，系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，其中，“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則.這是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系.

《九章算術》全書采用問題集的形式，收錄了246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題，其中每道題都包括問（題目）、答（答案）、術（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術.這些問題依照性質和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股這九章.它們的主要內容分別是：

第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法，包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環等8種圖形面積的計算方法.另外，還系統地講述了分數的四則運算法則以及求分子分母最大公約數的方法等.

第二章“粟米”：主要解決谷物糧食的按比例折換的問題，提出比例算法，稱為今有術.

第三章“衰分”：講述比例分配問題；“衰分”章提出的比例分配法則，稱為衰分術.

第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等問題；還介紹了開平方、開立方的方法.

第五章“商功”：主要涉及土石工程、體積計算；除給出各種立體體積公式外，還有工程分配方法.

第六章“均輸”：主要內容是如何合理攤派賦稅，用衰分術解決賦役的合理負擔問題.今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例，比例分配，復比例，連鎖比例在內的整套比例理論.西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法.

第七章“盈不足”：即雙設法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，并給出了若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法.這也是處于世界領先地位的成果，傳到西方后，影響極大.

第八章“方程”：提出了一次方程組問題.采用分離系數的方法表示線性方程組，相當于現在的矩陣.解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致.這是世界上最早的完整的線性方程組的解法.在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則.這一章還引入和使用了負數，并提出了正負術即正負數的加減法則，與現今代數中的法則完全相同.解線性方程組時，實際還施行了正負數的乘除法.這是世界數學史上的一項重大成就，第一次突破了正數的范圍，擴展了數系，外國則到7世紀，印度的婆羅摩笈多才認識負數.

第九章“勾股”：提出利用勾股定理求解的各種問題.其中絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的，提出了勾股數問題的通解公式.在西方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況，直到公元3世紀，丟番圖才取得相近的結果，這已比《九章算術》晚了約3個世紀.勾股章最后一題給出的一組公式，在國外直到19世紀末才由美國的數論學家迪克森得出.

《九章算術》還流傳到了日本、朝鮮和阿拉伯地區，對其古代的數學發展產生了很大的影響.

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）endprint