三維彈性側壁液艙內液體晃動波面的實驗研究

唐 潔，李晨光，王國玉

(1. 大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023; 2. 中交理工交通技術研究院有限公司，遼寧 大連 116023)

三維彈性側壁液艙內液體晃動波面的實驗研究

唐 潔1，李晨光2，王國玉1

(1. 大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023; 2. 中交理工交通技術研究院有限公司，遼寧 大連 116023)

通過物理模型實驗，對彈性側壁液艙和剛性液艙內液體晃蕩問題進行了研究。由于流固耦合的影響，彈性側壁液艙內液體晃蕩的最低階固有頻率稍小于同尺寸的剛性液艙內液體晃蕩的最低階固有頻率。液艙模型處于縱向簡諧激勵作用下，其中激勵頻率在最低階固有頻率附近。實驗分析兩種相對液深比h/L=0.167和h/L=0.333，在二階模態的次共振和一階模態的共振狀況下，對彈性側壁液艙與剛性液艙內不同測點的波面、振幅譜和晃動波高進行對比分析。結果表明：在淺液深 (h/L=0.167)一階共振下，流固耦合對波面形態的影響比較明顯，彈性側壁液艙內測點晃動波高明顯大于剛性液艙內對應測點波高；而在一般液深(h/L=0.333)一階共振下，水彈性效應減弱，彈性側壁液艙與剛性液艙內對應測點處波高差異較小。

液體晃蕩；剛性液艙；彈性側壁液艙；波高；共振

當外界激勵頻率接近或等于部分裝載容器內液體的固有頻率時，容器內液體發生劇烈的晃蕩現象[1]。在劇烈晃蕩的過程中，液體將會對容器側壁產生劇烈的局部沖擊壓力和傾覆力矩，甚至會造成容器的失穩和強度破壞。近些年來，隨著世界大范圍內對LNG船的使用，由晃蕩引起的LNG船傾覆、泄露等安全穩定性問題日益受到人們的廣泛關注[2]，因此對液體晃蕩問題進行深入研究具有極其重要的科學意義和實用價值。

開展液體晃蕩問題的研究最初是在核工業和航天航空領域內進行的。Abramson[3]首先將線性勢流理論應用到球形和柱形容器內的液體晃蕩問題。隨后，Faltinsen等運用非線性勢流理論[4]和多維模態分析方法[5-6]對水平激勵下矩形液艙內液體晃蕩進行了理論分析。

隨著計算機的發展，許多學者在晃蕩問題的數值模擬方面也做了大量工作。陳正云等[7]采用SPH方法模擬了液艙內的二維液體晃蕩。Wu等[8]建立三維時域有限差分方法，分析了橫蕩和縱蕩耦合作用下的三維液艙內液體晃蕩波面形態與共振模態。方智勇等[9]結合通度系數法和Level-set法對帶有障礙物的液體晃蕩問題進行了研究。寧德志等[10]將高階邊界元法擴展到矩形容器內液體晃蕩問題中。

以上研究一般均假定液艙為剛性液艙，沒有考慮彈性液艙在載荷作用下的變形影響。隨著水彈性力學的發展，部分學者對彈性液艙內液體晃蕩現象進行了實驗研究。蔣梅榮等[11]對二維彈性側壁液艙內的晃蕩波面、壓力進行了研究，并與剛性液艙內實驗結果進行了對比。Jung等[12]在30%和95%兩種載液率條件下，對二維剛性、彈性液艙內晃蕩沖擊壓力進行實驗分析。結果表明，30%載液率條件下，剛性液艙與彈性液艙內液體晃蕩壓力相當；95%載液率條件下，剛性液艙內晃蕩沖擊壓力較彈性液艙約大16%～19%。任冰等[13]對剛性液艙、彈性側壁液艙內晃蕩波面進行研究，分析了彈性側壁變形對晃蕩波面的影響。

上述結果表明，由于流固耦合的影響，彈性液艙內液體晃蕩的波面形態及對艙壁的晃蕩壓力與剛性液艙相比，結果有所差異。這里利用物理模型實驗，對不同液深比和不同激勵頻率作用下三維彈性側壁液艙內的共振晃蕩模態及晃動波面進行研究，并與剛性液艙內對應工況進行相應的對比分析。

1 實驗設計

1.1液艙模型

實驗中分別用有機玻璃制作了剛性和彈性兩種內徑尺寸相同的方形基座液艙，內徑尺寸為48 cm×48 cm×85 cm(長×寬×高)。模型參數見表1，其中d1為頂板和底板有機玻璃厚度，d2為側壁有機玻璃厚度，E為彈性模量，EIz為側壁抗彎剛度，m為空箱質量。由于這兩種厚度的有機玻璃板生產批次不同，使得實驗中測定的E不同。通過計算可知厚度為12 mm的液艙側壁抗彎剛度較4 mm厚側壁的抗彎剛度大42倍，因此可將厚度為12 mm的有機玻璃制成的液艙視為剛性液艙，四周側壁采用厚度為4 mm的有機玻璃制成的液艙視為彈性側壁液艙。液艙模型和坐標系示意如圖1所示。另外在液艙內布置9個浪高儀，固定在液艙頂蓋上，其底端距離液艙底面3 cm。

表1 液艙模型參數Tab. 1 The parameters for the two tanks

圖1 液艙模型和坐標系示意及測點布置俯視圖Fig. 1 The model tank with the sketch of the coordinate system and top view of the tank with wave gauges

1.2實驗設備及組次

實驗設備包括低頻電動振動臺，振動位移反饋系統和CCD圖像采集系統。振動臺面尺寸為50 cm×50 cm，振幅范圍為0～24 cm，頻率范圍為0～1 000 Hz。實驗中將液艙模型固定在振動臺上，隨振動臺一起運動。實驗對液艙施加沿x軸的水平簡諧荷載，振動臺的運動位移為Xe=Asin2πft，其中A和f分別表示為激勵振幅和激勵頻率。

對兩種液艙在不同液深(h=8 cm和h=16 cm)下的一階共振及二階次共振模態進行了實驗研究，振動臺激勵振幅統一為A=6 mm，激勵頻率f由不同工況決定。每一組實驗組次的時間約為3～5 min，每組工況重復3次。

2 實驗結果分析

三維矩形液艙內的液體共振晃蕩頻率，可以使用線性理論解公式計算：

其中，a和b分別表示矩形液艙的寬度和長度，m和n均為正整數，分別表示沿寬度方向及長度方向上的模態數，h表示液深。表2為兩組液深比下液艙內液體的實測一階共振頻率與線性理論值對比。

表2 液艙內一階自振頻率的理論值與實測值Tab. 2 The first analytical and measured natural frequencies of the liquid in the tank

注：差值(%)=(實測值-理論值)/理論值×100%。

從表2可知，當h/L=0.167時，實測值較線性理論值稍大。而h/L=0.333時，實測一階共振頻率均比線性理論值稍小。但彈性側壁液艙內實測一階自振頻率均稍小于剛性液艙一階自振頻率。為了研究液艙內液體一階共振頻率與液深的關系，首先根據式(1)計算液深h從8 cm變化至24 cm的理論一階共振頻率f；然后對彈性側壁液艙和剛性液艙進行實驗，液深從h=8 cm開始，每次增加1 cm液深，采用掃頻的方法[14]，同時進行多次晃蕩實驗，測出晃蕩一階共振頻率，直至液深h=24 cm，并將線性理論值與實測共振頻率繪制成圖2。

從圖2可知，當h/Lgt;0.25時，由于線性理論解忽略了阻尼，使得理論一階共振頻率比實測一階共振頻率稍大；當h/Llt;0.25時，理論一階共振頻率比實測一階共振頻率稍小，可能的原因是，在淺水條件下，會產生波浪破碎等非線性現象，而線性勢流理論卻沒有考慮。

圖2 液深比與一階共振頻率關系圖(A=6 mm,L=48 cm)Fig. 2 The liquid-depth-to-tank-breadth ratio versus first-order natural frequency (A=6 mm, L=48 cm)

2.1晃動自由液面

當振動臺以某一頻率做水平簡諧運動時，置于其上的液艙內液體也隨之晃蕩，隨著激勵頻率的改變，液艙內的液體晃動形態也會發生改變。本次分析的兩組液深比分別是h/L=0.167和h/L=0.333，并將不同液艙內二階次共振和一階共振的晃動波面形態進行對比。

以剛性液艙為例：當h/L=0.167時，當激勵頻率fR=0.800 Hz約等于理論二階共振頻率(f0,2=f2,0=1.593 Hz)的二分之一時，液艙內呈現出二階對稱且三維特性顯著的次共振模態，在晃動后期波面變形明顯，并出現破碎現象，如圖3(a)、圖3(b)所示；當激勵頻率fR=0.940 Hz時，剛性液艙內呈現晃蕩非常劇烈的共振模態，艙壁兩側交替出現波浪沖擊、波面破碎等現象，如圖3(c)、圖3(d)所示。不同的是，彈性側壁液艙內在晃動后期(tgt;40 s)激勵出對角晃蕩模態，如圖3(e)所示。當h/L=0.333時，液艙內液體晃蕩在次共振模態下，晃蕩前期波面呈現左右對稱，且在晃蕩后期(tgt;60 s)，剛性液艙內呈現四個角點和中心測點處波面抬高，四邊中心測點處波面下降的模態，如圖3(f)、圖3(g)所示，而彈性側壁液艙內剛好呈現相反的晃蕩波面形態；在共振晃蕩模態下，液艙內呈現波浪破碎、旋轉、翻卷、對角晃蕩等波面復雜的共振狀態，如圖3(h)所示。

圖3 不同液深比液艙內波面狀態Fig. 3 The wave patterns of different liquid-depth-to-tank-breadth ratio in tanks

2.2次共振情況

2.2.1 晃動波面分析

圖4和圖5分別給出了次共振狀態不同液深比下剛性液艙、彈性側壁液艙內部分測點波面歷時曲線對比。從圖4可知，當h/L=0.167時，fR=0.800 Hz時(約為0.5f2,0，f2,0=1.593 Hz)，次共振晃蕩波面波峰波谷不對稱，波峰較尖，波谷較緩，整個液艙內三維現象比較顯著。G1和G7的波面歷時曲線中兩個不同的波峰交替出現，波峰值明顯大于波谷值，其中G1最大波面高度為11.2 cm和最低波面高度為-3.4 cm。由于此時的液面波動屬于二階晃動模態，其波面左右對稱，艙壁中心測點G4的波動也較大，其中G4的最大波面高度為4.0 cm和最低波面高度為-2.4 cm；當h/L=0.333時，fR=0.883 Hz時(約為0.5f2,0，f2,0=1.776 Hz)，液艙內次共振G1和G7的波面峰谷不對稱度小于h/L=0.167下情況，波面變化也明顯小于h/L=0.167情況。在晃動后期，液艙內波面呈現四個角點(G1,G3,G7,G9)和中心測點(G5)處波面抬升，四邊中點(G2,G4,G6,G8)處波面下降的晃動波面形態，其中G1波面高度最大值為5.2 cm，不足h/L=0.167下G1波面最大值的50%。G4的波面高度最大值為2.5 cm和最小值為-1.7 cm。

圖4 不同液深比下剛性液艙次共振狀態下測點波面歷時曲線Fig. 4 Time histories of the free surface elevations in the rigid tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the secondary resonance

圖5 不同液深比下彈性側壁液艙次共振狀態下測點波面歷時曲線Fig. 5 Time histories of the free surface elevations in the elastic tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the secondary resonance

結合圖5可知，當h/L=0.167時，fR=0.790 Hz時(約為0.5f2,0，f2,0=1.593 Hz)，彈性液艙內出現次共振狀態。對應G1和G7波面歷時曲線與剛性液艙內有所差異，基本呈現鋸齒型分布。其中G1最大波面高度為9.3 cm，較小于剛性液艙內對應測點，而最低波面高度為-3.5 cm。G4的最大波面高度和最低波面高度分別是4.6 cm和-2.8 cm；在h/L=0.333下，fR=0.877 Hz時(約為0.5f2,0，f2,0=1.776 Hz)，G1和G7的波面呈現雙峰變化，且波面波動很小，而G4波動較大。這是由于彈性側壁液艙內液體在晃蕩后期呈現與剛性液艙內晃蕩波面變化相反的規律。其中G1的波面高度最大值為1.8 cm和最小值-1.9 cm，而G4的波面高度最大值為3.3 cm和最小值為-2.3 cm。

根據波面的Fourier展開理論，對圖4、圖5中波面歷時選取后半部分穩定時段，進行快速傅里葉變換(FFT)，得到振幅譜。結果如圖6、圖7所示。

圖6 剛性液艙內部分測點振幅譜Fig. 6 The amplitude spectrum of some measuring points in the rigid tank

由圖6可知，對于剛性液艙，當h/L=0.167時，G1和G7的基頻、二倍頻和三倍頻較大，二倍頻最大，而其他高階倍頻項很小，而對于G4，振幅以二倍頻為主，其他倍頻項較小可不計。當h/L=0.333時，G1和G7的基頻和二倍頻較大，并以二倍頻為主，其他倍頻項幾乎為零，且振幅值明顯較h/L=0.167下對應測點振幅值小；對于G4，振幅以二倍頻為主，其他倍頻項很小，這與h/L=0.167下振幅分布規律一致。對于以下三個測點，振幅均以二倍頻為主，激勵頻率f約為0.5fR,2,0，即“次共振”現象。

圖7 彈性側壁液艙內部分測點振幅譜Fig. 7 The amplitude spectrum of some measuring points in the elastic tank

結合圖7可知，在彈性側壁液艙內，當h/L=0.167時，各測點振幅分布規律與剛性液艙內對應測點振幅分布規律一致，且振幅值相近。當h/L=0.333時，液艙內晃蕩模態與剛性液艙內相反。G1和G7的振幅出現基頻、二倍頻項，并以基頻為主，這與剛性液艙內對應測點振幅分布不同。且主峰幅值明顯小于剛性液艙內對應測點主峰值。對于G4，幅值以二倍頻為主，其他倍頻項可不計，并且幅值也較剛性液艙內對應測點幅值大。

2.2.2 晃動波高分布

圖8給出了次共振狀態下，液艙內各點平均波高分布。當h/L=0.167時，在兩側測點處，即G1～G3和G7～G9，兩液艙內同一測點平均波高基本一致。而中間測點G4～G6處，兩者波高相差接近30%。其中彈性側壁液艙內G4和G6平均波高較大，而剛性液艙內G5處平均波高較大。當h/L=0.333時，各測點平均波高明顯較h/L=0.167工況下小。由于晃蕩后期，剛性液艙內四個角點(G1、G3、G7、G9)和中心測點(G5)波面抬高，而四邊中點(G2、G4、G6、G8)波面降低，而彈性側壁液艙內呈現相反的晃蕩模態，使得兩液艙內平均波高分布相差較大，并且兩者的波高分布具有一定的三維特性。

圖8 液艙內各點平均波高分布Fig. 8 The distribution of average wave heights in the tank

2.3一階共振情況

2.3.1 晃動波面分析

當激勵頻率等于實測一階共振頻率，液艙內液體呈現液體噴濺、沖擊爬升、波浪破碎等劇烈現象的共振晃蕩模態。圖9和圖10分別給出了一階共振狀態下剛性液艙、彈性側壁液艙內不同液深比下部分測點波面高度歷時曲線對比。由圖9可知，在h/L=0.167下，G1和G7的波面變化規律相似，波峰明顯大于波谷。G4的波面波動很小。其中G1最大波面高度為15.8 cm；在h/L=0.333下，隨著液深的變大，液艙內液體晃蕩更加劇烈，測點歷時曲線變化呈現明顯的群性。相對于h/L=0.167下測點波面變化，該液深下對應測點的波面值顯著增大。其中G1最大波面高度為33.3 cm和最低波面高度為-10.1 cm；G4最大波面高度為21.7 cm和最低波面高度為-9.3 cm；G7的對應的波面高度最值分別為32.1 cm和-10.9 cm。

圖9 不同液深比下剛性液艙共振狀態下測點波面歷時曲線Fig. 9 Time histories of the free surface elevations in the rigid tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the resonance

圖10 不同液深比下彈性側壁液艙共振狀態下測點波面歷時曲線Fig. 10 Time histories of the free surface elevations in the elastic tank with different liquid-depth-to-tank-breadth ratios under the resonance

從圖10可知，在h/L=0.167下，由于彈性側壁液艙內液體在晃蕩后期激勵出對角晃蕩模態，實驗中G1和G9為主對角點，其波面高度明顯比G7大。由于液艙內水深只有h=8 cm，當G1的波峰很大時，由于浪高儀離液艙底部只有3 cm，當處于波谷值浪高儀脫離液面，因此歷時曲線中波谷處為直線，沒有測量波面值。其中G1最大波面高度為23.0 cm，較剛性液艙內G1最大波面高度約大45.6%；當h/L=0.333時，彈性側壁液艙內晃蕩現象與剛性液艙內基本一致，波面變化顯著比h/L=0.167下對應測點波面大。其中G1最大波面高度為32.5 cm，最低波面高度為-10.3 cm；G4最大波面高度為24.0 cm，最低波面高度為-9.1 cm；G7對應的波面最值分別為25.1 cm和-9.0 cm。

當液艙內液體處于共振晃蕩模態時，波面出現水躍、破碎、翻卷等劇烈現象，波面成分呈現多倍頻項，但以基頻和二倍頻為主，其他倍頻項可忽略不計。由圖11可知，對于剛性液艙，當h/L=0.167時，G1和G7以基頻為主，二倍頻幅值小于基頻幅值，其他倍頻項很小。而G4則以二倍頻為主，其他倍頻項幾乎為零。當h/L=0.333時，液艙內液體晃蕩更加劇烈，振幅值顯著增大。G1的基頻幅值約為h/L=0.167下對應測點幅值的3倍；對于G4，基頻幅值約為h/L=0.167下對應測點主峰幅值的5倍。各測點振幅分布均以基頻為主，二倍頻較小，其他倍頻項幅值很小。

圖11 剛性液艙內部分測點振幅譜Fig. 11 The amplitude spectrum of some measuring points in the rigid tank

結合圖12，在彈性側壁液艙內，當h/L=0.167時，在一階共振晃蕩后期出現對角晃蕩模態(G1為主對角點)，因此G1的基頻幅值較剛性液艙內對應測點幅值大，同時G7為副對角點，其主峰幅值較剛性測點對應測點幅值小，且G1和G7幅值均以基頻為主，這與剛性液艙內對應測點一致。對于G4，幅值以基頻為主，二倍頻也較大，這與剛性液艙內對應測點振幅分布不同。當h/L=0.333時，液艙內測點振幅均以基頻為主，二倍頻較小，其他倍頻項可不計，與剛性液艙內對應測點分布規律一致，幅值大小相近。

圖12 彈性側壁液艙內部分測點振幅譜Fig. 12 The amplitude spectrum of some measuring points in the elastic tank

2.3.2 晃動波高分布

圖13給出了一階共振狀態下兩液艙內平均波高對比。當h/L=0.167時，液體沿激勵方向沖擊液艙側壁，并發生劇烈破碎。兩側壁處測點波高(G1～G3和G7～G9)明顯較中間測點(G4～G6)大。在晃蕩后期，彈性側壁液艙內出現以G1和G9為主對角點的對角晃蕩，且平均波高較G3和G7波高大；而剛性液艙內沒有出現對角晃蕩。其中，彈性側壁液艙內G9處平均波高較剛性液艙內對應測點波高約大40%。當h/L=0.333時，隨著液艙內水深增大，共振時晃蕩更加劇烈，以旋轉、對角以及垂直激勵方向的晃蕩交替出現的模態為主，主對角點G1和G9的平均波高明顯較h/L=0.167下對應測點大。同時波高三維特性分布更加明顯，垂直激勵方向波高分布更加不均勻，即為G1的平均波高明顯較G2和G3的波高大，G9的平均波高明顯較G7和G8的波高大，中心測點G5的平均波高顯著較G4和G6的平均波高小，但兩液艙內對應測點的波高卻相差不大。

圖13 液艙內平均波高分布Fig. 13 The distribution of the average wave heights in the tank

3 結 語

通過物理模型實驗，對比分析了不同液深比(h/L)下，彈性側壁液艙和剛性液艙內次共振、一階共振模態下波面形態和波面振幅及晃動波高。結果表明：

1) 當h/Llt;0.25時，受液面波動非線性特征影響，實測一階共振頻率較線性理論值稍大，且h/L越小，二者差值越大。當h/Lgt;0.25時，受液體阻尼的影響，實測值較線性理論值稍小。由于晃動波面作用下液艙側壁變形的影響，彈性側壁液艙實測一階共振頻率均稍小于剛性液艙情況。

2) 在次共振情況下，當h/L=0.167時，彈性側壁液艙和剛性液艙內液體晃蕩模態、振幅分布和晃動波高分布規律基本一致；當h/L=0.333時，彈性側壁液艙和剛性液艙內液體呈現相反的晃蕩波面形態，振幅和晃動波高分布規律差異較大。其中h/L=0.167下的晃蕩較為劇烈，對應測點波面波高明顯大于h/L=0.333下工況。

3) 一階共振情況下，當h/L=0.167時，彈性側壁液艙內晃蕩后期激勵出對角晃蕩模態，而剛性液艙沒有激勵出，兩液艙內一階共振晃蕩模態相差較大，振幅和晃動波高分布不同；而在h/L=0.333下，晃動波高顯著較h/L=0.167下對應測點大，彈性側壁液艙與剛性液艙晃蕩模態基本一致，波高分布三維性顯著，中心測點G5波高較小，但兩液艙內對應測點晃動波高相差不大。

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Experimental study on sloshing waves in 3D tanks with elasticity

TANG Jie1, LI Chenguang2, WANG Guoyu1

(1. The State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China; 2. CCCC amp; DLUT Institute of Transportation Technology Co., Ltd., Dalian 116023, China)

This paper presents the experimental investigation of the three-dimensional resonant sloshing in a square-base elastic and rigid tank. Due to the influence of the fluid-structure interaction, the lowest natural frequency of the liquid in the elastic tank slightly deviates from that in the rigid tank of the same size. The model tanks are excited in 1-D harmonic longitudinal motion and the excitation frequency is in the vicinity of the lowest natural frequency of the liquid. Two relative fill levels (h/L) with liquid-depth (h)-to-tank-breadth (L) ratios of 0.167 and 0.333 are considered. For the cases of the secondary resonance of the second mode and the resonance of the first mode, the wave elevation and amplitude spectrum at different measuring points in the rigid and elastic tanks are compared and analyzed. The analysis results indicate that for the shallow water depth (h/L=0.167), the effects of the fluid-structure interaction play an important role in the wave regimes and the wave height in the elastic tank is obviously larger than that in the rigid tank in the case of the first mode resonance. While for the moderate water depth (h/L=0.333), the hydro-elastic effect has little effect on the wave regimes and there is little difference between the wave height in the elastic tank and that in the rigid tank.

liquid sloshing; rigid tank; elastic tank; wave height; resonance

1005-9865(2017)06-0045-10

TV139.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.06.006

2017-03-27

國家自然科學基金資助項目(51179030；51221961)

唐 潔(1992-)，男，湖南人，碩士研究生，主要從事波浪與結構物的相互作用研究。E-mail：tangjie@mail.dlut.edu.cn